2025年江苏省盐城市东台市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年江苏省盐城市东台市中考一模数学试题（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，计24分）
1. 如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应 的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向黄色区域的概率是 ( )
A. B.
C. D.
2. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A. 圆柱体B. 圆锥体C. 正方体D. 球体
3. 下面对关于一元二次方程的表述错误的是（ ）
A. 判别式的值为16B. 方程有一根是1
C. a不等于0D. a不等于2
4. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A. 图像位于第一、第三象限B. 图像必经过点（4，）
C. 图像不可能与坐标轴相交D. y随x的增大而减小
5. 如图，点是菱形边的中点，点在边上，连接，过点作交对角线于点，交于点．若，，则线段的长为（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影部分片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且AB＝OB，则∠ACB的度数为（ ）
A. 60°B. 45°C. 30°D. 22.5°
8. 如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．当AB=1时，L2016等于（ ）
A B. C. D. ．
二、填空题（每小题3分，计30分）
9. 设，分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为________．
10. 二次函数图象的顶点坐标为___________．
11. 在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数图像上，则的值是______．
12. 我国数学家祖冲之是第一个将圆周率计算精确到小数点后七位的人，他将圆周率精确到3.1415926．若从该数据的8个数字中随机抽取一个数字，则所抽到的数字是1的概率是_______．
13. 如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．
14. 如图所示，点A、B在直线上，，、的半径均为，以每秒的速度自右向左运动，与此同时，的半径不断增大，其半径r（）与时间t（秒）之间的关系为（），则当点出发后______秒两圆相切．
15. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是______，方程的根是______．
16. 已知关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2=0有实根，则k的取值范围为_____．
17. 如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，与关于直线对称，点G是上一点，连接交、于点K、H，，，若，则的长为_______________．
18. 如图，双曲线与线段交于点、两点，点坐标为，连接，的面积为6，则______．
三、解答题（共9题，计96分）
19. 计算：tan30°
20. 小鸣想每天多做几套数学题，妈妈想通过一个游戏决定小鸣多做题的数量：在一个不透明的盒子中放入三张卡片，每张卡片上写着一个实数，分别为3，，2（每张卡片除了上面的实数不同以外其余均相同），妈妈让小鸣从中任意取一张卡片，如果抽到的卡片上的数是有理数，就让小鸣每天做五套，否则就多做十套．
（1）请你直接写出按照妈妈的规则小鸣每天做五套数学题的概率；
（2）小鸣想和妈妈重新约定游戏规则：自己从盒子中随机抽取两次，每次抽取一张卡片，第一次抽取后记下卡片上的数，再将卡片放回盒中抽取第二次，如果抽取的两数之积是有理数，自己每天做五套数学题，否则每天做十套．用列表法或树状图法求按此规则小鸣每天做十套数学题的概率．
21. 如图，阳阳要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处1.4m的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度m，m，求钟塔的高度．
22. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数；参考数据：，，）
23. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上．画出绕点顺时针旋转后的（点、的对应点分别为、），并求出线段在旋转过程中扫过的面积．（结果保留）
24. 在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，从袋子中随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x，然后放回；再摸出一个小球，把小球上的数字记为y．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）若把x作为一个两位数的十位数字，把y作为这个两位数的个位数字，求这个两位数大于20的概率．
25. 定义：对于y关于x的函数，函数在 范围内的最大值，记作 如函数，在范围内，该函数的最大值是6， 即，．
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数 （a为常数）
（1）若．
①直接写出该函数的表达式，并求 的值；
②已知 求p的值．
（2）若该函数的图象经过点， 且， 求k的值．
26. 如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．
27. 如图（1），在矩形中，．
（1）____；
（2）若点P是线段上一点，当是等腰三角形时，求的长；
（3）如图（2），点E是边上一点，且，则：①=_____；
②如图（3）分别以为边作矩形，若，求长．
二〇二五年初中毕业与升学考试
第一次调研考试数学试题
一、单选题（每小题3分，计24分）
1. 如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应 的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向黄色区域的概率是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵转盘被等分成6个扇形区域，
而黄色区域占其中的一个，
∴指针指向黄色区域的概率=．
故选A．
2. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A. 圆柱体B. 圆锥体C. 正方体D. 球体
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵三视图中有两个视图为矩形，
∴这个几何体为柱体，
∵第3个视图的形状为圆，
∴这个几何体为圆柱体，
故选A．
3. 下面对关于的一元二次方程的表述错误的是（ ）
A. 判别式值为16B. 方程有一根是1
C. a不等于0D. a不等于2
【答案】C
【解析】
【分析】由一元二次方程的定义得到，即，求出的值，对方程进行验根，即可得到结论.
【详解】可化为：，
方程是一元二次方程，
，
即
，
把代入，
则方程的左右两边相等，
故、、正确.
故选：
【点睛】此题考查了一元二次方程（、、是常数且）的根的判别式.当，方程有两个不相等的实数根；.当，方程有两个相等的实数根；.当，方程没有实数根.同时考查了一元二次方程的定义.
4. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A. 图像位于第一、第三象限B. 图像必经过点（4，）
C. 图像不可能与坐标轴相交D. y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵k=4＞0，
∴图象位于第一、第三象限，故该选项正确，不符合题意；
B、∵4×1=4=k，
∴图象必经过点（4，1），故该选项正确，不符合题意；
C、∵x≠0，∴y≠0，
∴图象不可能与坐标轴相交，故该选项正确，不符合题意；
D、∵k=4＞0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，故该选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5. 如图，点是菱形边的中点，点在边上，连接，过点作交对角线于点，交于点．若，，则线段的长为（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质得，，再证是中位线，得，然后证是的中位线，得，即可得出结论．
【详解】解：四边形是菱形，，
，，
是菱形边的中点，，
∴
是的中点，
是中位线，
，
，
，
，
，
∴
是的中点，
是的中位线，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
6. 如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影部分片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（ ）
A. ，
B ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，直角梯形的性质和二次函数的最值问题．过点D作，垂足为点H，与相交于点M．证明，利用相似三角形的性质得到．再利用矩形的面积公式得到，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点D作，垂足为点H，与相交于点M．
∵，四边形为矩形，
∴四边形为矩形，四边形为矩形．
∴，，．
∴，，．
∵，
∴，．
∴，
∴，即．
∴．
∴．
∴当时，矩形的面积最大，此时．
所以，矩形两边长x，y值为15，12．
故选：D．
7. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且AB＝OB，则∠ACB的度数为（ ）
A. 60°B. 45°C. 30°D. 22.5°
【答案】C
【解析】
【分析】由AB＝OB，OA＝OB，可得△OAB是等边三角形，即可得∠AOB＝60°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ACB的度数．
【详解】解：∵AB＝OB，OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°．
故选C．
【点睛】此题考查了圆周角定理与等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
8. 如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．当AB=1时，L2016等于（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】B
【解析】
【详解】根据题意得：l1== ，
l2==，
l3===π，
则L2016=，
故选B．
点睛：用弧长公式，分别计算出l1，l2，l3，…的长，能根据所得寻找其中的规律是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，计30分）
9. 设，分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为________．
【答案】2022
【解析】
【分析】本题主要考查根与系数的关系和方程的解，先由方程的解的概念和根与系数的关系得出，，将其代入原式计算可得．
【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
故答案为：2022．
10. 二次函数图象的顶点坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案．
【详解】解：二次函数图象顶点坐标为，
故答案为：．
11. 在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数图像上，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】将点向下平移5个单位长度得到点，再把点B代入反比例函数，利用待定系数法进行求解即可．
【详解】将点向下平移5个单位长度得到点，则，
∵点恰好在反比例函数的图像上，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
12. 我国数学家祖冲之是第一个将圆周率的计算精确到小数点后七位的人，他将圆周率精确到3.1415926．若从该数据的8个数字中随机抽取一个数字，则所抽到的数字是1的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接由概率公式求解即可．
【详解】解：所抽到的数字是1的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键．
13. 如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．
【答案】70
【解析】
【详解】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1， ∴∠A1OA=100°．
又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．
14. 如图所示，点A、B在直线上，，、的半径均为，以每秒的速度自右向左运动，与此同时，的半径不断增大，其半径r（）与时间t（秒）之间的关系为（），则当点出发后______秒两圆相切．
【答案】，，，
【解析】
【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，一元一次方程的应用，根据两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，分两次首次外切，首次内切，再次内切，最后外切四种情况考虑，即可作答．
【详解】①当首次外切时，如图，
有，
解得：；
②当首次内切时，如图，
有，
解得：；
③当再次内切时，如图，
有，
解得：；
④当再次外切时，如图，
有，
解得：；
∴当点B出发后秒、秒、秒和秒时，两圆相切.
故答案为：，，，．
15. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是______，方程的根是______．
【答案】 ①. 9 ②. -3
【解析】
【分析】由一元二次方程根的判别式与其根的关系可知： ，代入列方程，求出m值，再求根即可．
【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴可得∶ ，
即： ，
解得：m=9，
则原方程为：，
，
，
故答案为：m=9，方程的根为-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根之间的关系： 方程有两个不相等的实数根 ， 方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，方程有实数根，以及解一元二次方程，正确运用元二次方程根的判别式与根之间的关系是解题的关键．
16. 已知关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2=0有实根，则k的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，且k-5≠0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（k-5）=44-8k≥0，且k-5≠0，
解得：k≤且k≠5，
故答案为k≤且k≠5．
【点睛】此题考查根的判别式问题，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
17. 如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，与关于直线对称，点G是上一点，连接交、于点K、H，，，若，则的长为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据矩形的性质、轴对称的性质可得，从而可得，设，则，，，再解直角三角形可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据平行线的判定与性质可得，从而可得，解直角三角形可得，根据线段和差可得，据此可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，，
与关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
解得，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握轴对称的性质和解直角三角形的方法是解题关键．
18. 如图，双曲线与线段交于点、两点，点坐标为，连接，的面积为6，则______．
【答案】．
【解析】
【分析】将已知点坐标代入函数解析式中，得到，通过三角形面积的表示得到关于a的一元二次方程，求解出a和k的值，得到反比例函数解析式以及A、B点的坐标，通过待定系数法求出直线AB解析式，进一步求得交点坐标，最后根据两点间距离公式求得对应线段长再求解即可．
【详解】解：将点代入中，得，
线段的长度，
设的高为h，
则，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴双曲线，，，
设直线的解析式为： ，
∴ ，解得，
则直线的解析式为：，
令，
得： ，
令代入中，
得：，∴，
∴，
，
则．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用、解一元二次方程与二元一次方程组等知识点，其中利用三角形的面积求解出系数k的值是解题的关键．
三、解答题（共9题，计96分）
19. 计算：tan30°
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，化简绝对值，负整数指数幂，分别进行判断，即可得到答案.
【详解】解：原式=2+ =；
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，化简绝对值，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.
20. 小鸣想每天多做几套数学题，妈妈想通过一个游戏决定小鸣多做题的数量：在一个不透明的盒子中放入三张卡片，每张卡片上写着一个实数，分别为3，，2（每张卡片除了上面的实数不同以外其余均相同），妈妈让小鸣从中任意取一张卡片，如果抽到的卡片上的数是有理数，就让小鸣每天做五套，否则就多做十套．
（1）请你直接写出按照妈妈的规则小鸣每天做五套数学题的概率；
（2）小鸣想和妈妈重新约定游戏规则：自己从盒子中随机抽取两次，每次抽取一张卡片，第一次抽取后记下卡片上的数，再将卡片放回盒中抽取第二次，如果抽取的两数之积是有理数，自己每天做五套数学题，否则每天做十套．用列表法或树状图法求按此规则小鸣每天做十套数学题的概率．
【答案】（1）；（2）列表见解析，则按此规则小鸣每天做十套数学题的概率是
【解析】
【分析】（1）先找出有理数的个数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两数之积为有理数的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）按照妈妈的规则小鸣每天做五套数学题的概率是；
（2）列表如下：
所有等可能的情况有9种，其中抽取的两数之积是有理数的情况有5种，
则按此规则小鸣每天做五套数学题的概率是，
则小鸣每天做十套数学题的概率是．
【点睛】本题考查的知识点是用列表法或树状图法求事件的概率，比较简单，易于掌握．
21. 如图，阳阳要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处1.4m的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度m，m，求钟塔的高度．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，后利用相似三角形性质求出即可.
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故钟塔的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等是解题的关键.
22. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数；参考数据：，，）
【答案】该岛礁的高为300米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，记岛礁顶端A在海平面位置为，连接、，根据斜坡的坡度，可设米，米，继而表示出的长度，再由，可列得关于的方程，解出即可得出答案．
【详解】解：如图，记岛礁顶端A在海平面位置为，连接、，
斜坡的坡度，
，
故可设米，米，
在中，，米，
，
解得：（米），
经检验，是方程的解，
（米），
答：该岛礁的高为300米．
23. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上．画出绕点顺时针旋转后的（点、的对应点分别为、），并求出线段在旋转过程中扫过的面积．（结果保留）
【答案】图见解析，
【解析】
【分析】根据要求画出线段顺时针旋转后的对应线段，连接即可；根据网格利用勾股定理求出的长度，线段旋转扫过的面积是扇形，根据扇形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图，即为所求．
，
线段在旋转过程中扫过的面积；
故答案为：．
【点睛】本题考查平面直角坐标系图形的变换及求扇形的面积，解题的关键是根据网格利用勾股定理求出半径，熟练掌握扇形面积计算公式：．
24. 在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，从袋子中随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x，然后放回；再摸出一个小球，把小球上的数字记为y．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）若把x作为一个两位数的十位数字，把y作为这个两位数的个位数字，求这个两位数大于20的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）画出树状图，即可求解，
（2）根据数状图，可得出大于20的数的个数，以及两位数的个数，再根据概率公式即可求解，
【小问1详解】
解：画树状图如下：
则所有可能出现的结果为
【小问2详解】
解：把x作为一个两位数的十位数字，把y作为这个两位数的个位数字，
则共有9个不同的两位数，且大于20的数有6个，
则这个两位数大于20的概率为：，
25. 定义：对于y关于x的函数，函数在 范围内的最大值，记作 如函数，在范围内，该函数的最大值是6， 即，．
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数 （a为常数）
（1）若．
①直接写出该函数的表达式，并求 的值；
②已知 求p的值．
（2）若该函数的图象经过点， 且， 求k的值．
【答案】（1）①；②
（2）的值是12，或2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与正比例函数的图形与性质，根据二次函数的对称轴，a的正负判断出二次函数开口方向，找到最大值是解答本题的关键．
（1）①先求出二次函数解析式，根据二次函数对称轴，开口方向即可找到范围内的最大值，进而得出结果；
②根据二次函数对称轴，开口方向即可知当时，，即可求出p值；
（2）根据函数图象经过点，得到，分两种情况分别求解即可．
【小问1详解】
解：①，
．
该函数的图象对称轴为直线，且开口向上，
在范围内，当时，有最大值，
当时，，即．
②，该函数的图象对称轴为直线，且开口向上，
又当时，，
，解得，．
，
；
【小问2详解】
函数图象经过点，
，即，
当，函数为正比例函数，随的增大而减小，
，
，即；
当时，函数为二次函数，函数图象开口向下，对称轴为直线．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
，
若，则，解得，，
；
若，则，解得，
；
综上所述，的值是12，或2．
26. 如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B2C2；
（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图，求出直线A1B1，B2C2，A2B2，列出方程组求出点E、F坐标即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图，
∵B2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0），
设直线A1B1的解析式为y=kx+b，
，解得，
∴直线A1B1的解析式为y=5x-5，
同理直线B2C2的解析式为y=x+1，直线A2B2的解析式为y=-x+1，
由解得：，
∴点E（，），
由解得：，
∴点F（，），
∴，，
由平移和旋转的性质知A1B1⊥A2B2，
∴S△B2EF=，
∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
27. 如图（1），在矩形中，．
（1）____；
（2）若点P是线段上一点，当是等腰三角形时，求的长；
（3）如图（2），点E是边上一点，且，则：①=_____；
②如图（3）分别以为边作矩形，若，求的长．
【答案】（1）8 （2）4或5或
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）先根据正弦的定义得出，设，再根据勾股定理计算即可；
（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和勾股定理分别计算即可；
（3）①设，过P作交于N、M，则，通过证明，根据相似三角形的性质可得，，进而证明，再根据相似三角形的性质求解即可；
②连接，记与的交点为O，连接，
先证明，，进而得出，再通过证明，再利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
在矩形中，，，
∴，，
∴设，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案是：8；
【小问2详解】
由（1）知，，
在矩形中，，
要使是等腰三角形，有三种情况讨论如下：
①当时，；
②当时，，
∵，
∴，
∴，
∴；
③当时，如图（2），过点D作于Q，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为4或5或；
【小问3详解】
①设，如图（3），过P作交于N、M，则．
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴
故答案是：；
②如图（3），连接，记与的交点为O，连接，

∵四边形和是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线，运用分类讨论的思想是解题的关键．
3
2
3
9
3
6
3
2
4
2
6
4
8