数学（湖南卷）-2025年中考第二次模拟考试

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．B．3.14C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的分类，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．A，C，D先化简，再判断．
【详解】解：A、，是有理数，故不符合题意；
B、3.14是有理数，故不符合题意；
C、，是有理数，故不符合题意；
D、，是无理数，故符合题意；
故选：D．
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是轴对称图形，中心对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．人口问题已经成为严峻的全球性问题，人口老龄化加剧明显。根据统计，2024年我国出生人口约为8822100人，则出生人口可以用科学记数法表示为（ ）人
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键．
【详解】解：依题意，2024年我国出生人口约为8822100人，
则出生人口可以用科学记数法表示为，
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方、二次根式的化简与减法、同底数幂的除法、单项式乘以多项式，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据幂的乘方、二次根式的化简与减法、同底数幂的除法、单项式乘以多项式的运算法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
5．湖南省特立中学为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从九年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如下表：
则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（ ）
A．7和7B．7和8C．8和7D．8和8
【答案】C
【分析】本题考查了求众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：由表格知，答对题数为7道的有8人，人数最多，
所以本次测试学生答对题数的众数是7；
因为共有24人，
所以中位数是排序后第12，13名的平均数，即，
故选：C．
6．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
7．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可．
【详解】A、当时，，
一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意；
B、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项B错误，不合题意
C、，
随的增大而减小，选项C错误，不符合题意；
D、，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意；
故选：D．
8．《百骏图》是中国十大传世名画之一，其图共绘有100匹姿势各异的骏马，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
根据装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：C．
9．如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（ ）
A．8B．6C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案．
【详解】解：连接、，
点A是的中点，
，设垂足为点，
，
，
和所对的弧都是，
，
，且，
，
，
，
在中，,，，，
，
是的直径，
，
故选A．
10．汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有个圆点，图②中共有个圆点，图③中共有个圆点，图④中共有个圆点…依此规律则图⑩中共有圆点的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意知，图①中共有个圆点，图②中共有个圆点，图③中共有个圆点，…可知图⑩中圆点个数为，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，图①中共有个圆点，
图②中共有个圆点，
图③中共有个圆点，
图④中共有个圆点，
…
∴图⑩中共有圆点，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．分解因式：
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的除法运算，把除法化为乘法运算，再约分即可．
【详解】解：；
故答案为：
13．已知点与点关于x轴对称，则的结果为 ；
【答案】9
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．正确把握横纵坐标的符号是解题关键．
【详解】
解：点与关于轴对称，
，，
．
故答案为：9．
14．如图两处被池塘阻隔，为测量两地的距离，在地面上选一点，连结，分别取的中点．测得，则两地的距离为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可得出答案．
【详解】解：∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
15．已知等腰三角形的底边长和腰长分别是16和10，则这个等腰三角形的面积为 ．
【答案】48
【分析】本题考查等腰三角形的性质，过A作于H，由等腰三角形的性质推出，由勾股定理得到，由三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】解：如图：，
过A作于H，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：48．
16．已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键熟练掌握，是解题的关键．
根据根据一元二次方程根与系数的关系求解则可，，，将整理得到，代入即可．
【详解】解：分别是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：．
17．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为
【答案】
【分析】本题考查了反比例的应用，首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可．
【详解】解：，
则C的坐标是，
设反比例函数的解析式是，
把C的坐标代入得，
则反比例函数解析式是，
∵上口宽，
∴点F的横坐为，
当时，．
答：整个冷却塔的高是．
故答案为：．
18．如图，在正方形中，、、分别是边、、上的点，，垂足为，下列结论中：①为线段的中点；②；③；④，正确的结论有 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，取特殊点即可判断①；利用直角三角形两锐角互余即可判断②；过点作于点M，则四边形是矩形，证明，即可判断③④．
【详解】解：①如图，当点重合，重合时，
则点与点重合，
此时，，故①错误；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③过点作于点M，则四边形是矩形，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④由③知，四边形是矩形，
∴，，
∵在正方形中，，
∴
∴，故④正确；
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26题每题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】
【分析】本题考查负整数指数幂，零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂，零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
．
20．解不等式组，并写出它的最大整数解．
【答案】不等式组的解为，最大整数解为
【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再找到其最大整数解即可．
【详解】解：,
解不等式①：
，
解不等式②：
，
不等式组的解为，最大整数解为．
21．某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（：；：；：；：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
(1)求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图；
(2)已知该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在到分钟（含分钟）的学生有多少人？
(3)若组中有名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】(1)（人），补全图形见解析；
(2)人；
(3)．
【分析】根据条形统计图中组有人，扇形统计图中组人数占总人数的，计算出抽查的学生的总人数为人，用总人数减去组、组、组的人数，求出组的人数，根据组的人数补全条形统计图；
根据条形统计图可知被抽查到的学生中参加家务劳动的时间在到分钟的人数共有人，占被抽查的总人数的，利用样本估计总体，可得：全校参加家务劳动的时间在到分钟的人数有人；
利用列表法把所有可能出现的情况表示出来，共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，所以可知抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
【详解】（1）解：本次抽样的学生人数为（人），
组的人数为（人），
补全条形统计图如下图所示；
（2）解：（人），
估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在到分钟（含分钟）的学生约人；
（3）解：由题意得，有名女生，名男生，
列表如下：
共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，
抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用样本的数据估计总体数据、列表法求概率．解决本题的关键是先求出样本数据，再利用样本数据估计总体数据．
22．如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，过点作，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可．
【详解】（1）四边形是平行四边形，
．
点是的中点，
是的中位线．
．
又，
四边形是平行四边形．
，
，
．
四边形是矩形．
（2），
，
，
，
，
矩形的面积．
23．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼高，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，在楼底端D点测得A的仰角为，，在顶端E点测得A的仰角为，．
(1)求两楼之间的距离；
(2)求发射塔的高度．
【答案】(1)两楼之间的距离为
(2)发射塔AB的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角的问题，熟练解直角三角形是解题的关键．
（1）过点E作于点F，即可求得，可得答案；
（2）利用解直角三角形，可得，再减去，即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点E作于点F，
，，
，
由题可知：四边形为矩形，
，故两楼之间的距离为；
（2）解：在中，，
，
，
故发射塔的高度为.
24．某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某品牌火腿的市场行情．下表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题．
【答案】（1）火腿的售价为60元/千克；（2）当火腿的售价定为70元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大．
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
问题1：设火腿的售价为x元/千克，根据每千克火腿的利润×销售量=1600列出方程，解方程求出x的值即可；
问题2：该店当日销售火腿所获利润为y元，根据该店每天的利润=每千克火腿的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【详解】解：问题1：设火腿的售价为x元/千克，
由题意得：，
解得：或，
∵要让顾客得到更大的实惠，
∴，
答：火腿的售价为60元/千克；
问题2：该店当日销售火腿所获利润为y元，
由题意得：
，
∵，
∴当时，y最大，最大值为1800，
答：当火腿的售价定为70元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大．
25．如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)145
【分析】1连接OC，由圆周角定理得∠ACO+∠OCB=90°，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；
2根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；
3设OH为x，则CH为5-x，根据勾股定理可得方程，求得OH的长，再根据三角形中位线定理可得答案．
此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键．
【详解】（1）解：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∵∠BCF=∠BAC，
∴∠BCF+∠OCB=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵点C是BD⏜中点，
∴CD⏜=BC⏜，
∴∠CAD=∠BAC，
∵∠BCF=∠BAC，
∴∠CAD=∠BCF，
∵CD⏜=CD⏜，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠BCF=∠CBD，
∴BD∥CF，
∴∠ABD=∠F，
∵AD=AD，
∴∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=∠F.
（3）解：如图：连接线OC，交BD于H，
∵BD∥CF，OC⊥CF，
∴OC⊥BD于点H，
设OH为x，则CH为5-x，根据勾股定理，
62-(5-x)2=52-x2，
解得：x=75，
∴OH=75，
∵OH是中位线，
∴AD=2OH=145.
26．对于函数定义变换：当时，函数值不变；当时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”．
如：一次函数，关联函数为，这个关联函数的转折点是．
(1)已知一次函数，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点．
(2)已知二次函数，点在它的“关联函数”的图象上，求a的值.
(3)在平面直角坐标系内，有点、，请直接写出a的取值范围是多少时，二次函数的关联函数与线段MN恰有两个公共点．
【答案】(1)关联函数为，关联函数的转折点为，
(2)或1
(3)或
【分析】（1）令，求出直线与轴的交点坐标，根据“关联函数”的定义求解．
（2）令，求出抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线开口方向求出其关联函数解析式，将分别代入其关联函数解析式中求解．
（3）作关于轴的对称的线段，由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，结合图象求解．
【详解】（1）令，
解得，
其关联函数为，关联函数的转折点为，．
（2）令，
解得，，
抛物线与轴交点坐标为，，
抛物线开口向上，
关联函数，
将代入得，
解得，，
将代入得，
解得，
或1．
（3），
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
点、关于直线对称，
如图，作关于轴的对称的线段，

当时，，抛物线顶点在线段上，
当时，，抛物线顶点在线段上，
满足题意，
当抛物线经过点，时，将代入得，
解得，

将代入得，
解得，

符合题意，

综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
答对题数（道）
6
7
8
9
10
人数
3
8
6
5
2
男
男
女
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
（女，女）
某校社会实践调查记录表
团队名称
智多星
活动时间
2024.10.2
活动地点
某火腿销售店
实践内容
调查火腿市场行情，帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠
调研信息
火腿的进价为40元/千克．
当火腿售价为50元/千克时，每天可销售100千克．
若每千克火腿每涨价1元，销售量每天就会减少2千克．
解决问题
问题1
涨价后，若该店某天销售火腿获利1600元，则火腿的售价为多少元/千克？
问题2
当火腿的售价定为多少元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大？