数学（常州卷）-2025年中考第二次模拟考试

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．
10．
11．21
12．
13．
14．8
15．
16．/38度
17．/
18．
三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）
【详解】解：（）原式
；
（）原式
．
20．（6分）
【详解】
解：由①得
，
由②得
，
原不等式组的解集为；
解集在数轴上表示为：
21．（8分）
【详解】（1）解：调查学生的总数为：（人），
喜爱诗歌的人数为：（人）．
补充条形统计图如下：
（2）解：“寓言”所对应的扇形圆心角是：；
（3）解：该校2600名学生中，喜爱“小说”的有：
（人）．
22．（8分）
【详解】（1）解：依题意，一共有三部电影，
故淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率．
故答案为：．
（2）解：依题意，将《哪吒之魔童闹海》《射雕英雄传：侠之大者》《唐探1900》分别记为，且记笑笑和淘气分别为，运用表示两个人的选择情况，列表如下，
∴由表可知，等可能出现的结果为：、、、、、、、、，一共有种．笑笑和淘气两名同学选择观看同一电影的情况有种，即、、．
∴笑笑和淘气两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
23．（8分）
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴的度数为．
24．（8分）
【详解】（1）解：把代入中，得：
，
又∵在一次函数的图象上，
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
设点的坐标为，则，
，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
．
25．（8分）
【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于，
由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，，
所以的长度就是与之间的距离，
在中，，，
∴，
同理可得，
∴，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，
根据题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人．
26．（10分）
【详解】（1）解：①连接，设与轴交于点，
∵的半径为2，
∴，，
∴
∴
∵，
∴，则，
∵
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴点是点关于弦的“等边旋转点”
故答案为：，是；
②根据新定义可得，则是等边三角形，
∴到的距离最小值即的长，
∵，，
∴的最小值为；
如图所示，当与相切时，轴，此时点与点重合，
∵是等边三角形，
∴
∴
故答案为：；．
（2）解：由（1）可得，，则是半径为的圆的一条切线在半径为的圆的内部，
如图所示，连接，则，
当运动时，构成的图形是以为圆心，半径为，的同心圆的圆环
∵若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”， 设是上任意一点，
∵，即点为轴上的点，则绕上一点顺时针得到的点在上，即是等边三角形，
∴在以为圆心，半径为，的同心圆的圆环内时（包括边界），符合题意，
如图所示，
当时，先求得最小值，如图所示，其中旋转后对应的线段在圆环内，
当与重合，且时，在半径为的上，此时
当距离最远时，此时重合，如图所示，连接，过点作轴于点，
∵是等边三角形，，，
∴，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴
当时，∵上任意一点旋转后对应的点在圆环内，则线段在圆环内，
先求得最小值，即的最大值，则重合，
如图所示，在半径为的上时，是等边三角形则最小值，

如图所示，当在半径为的上且与其相切时，取得最大值时，如图所示，连接，
∴，
∵
∴
解得：
∴
综上所述：的取值范围为：或
27．（10分）
【详解】（1）解：
，
，
当时，，
令，
，
解得：或，
，．
（2）解：∵，．
∴，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
∴直线的解析式为
作点B关于y轴的对称点F，连接，如图，
①当点P在x轴下方时，如图中点处，
连接交于E，
点B、点F关于y轴的对称，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
设点E坐标为，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得：，（舍去）
∴；
②当点P在x轴上方时，如图中点处，
∵，
∴与关于x轴对称，
，
同理可求经过的直线的解析式为，
联立得，
解得：（舍去），，
∴
综上，点P的坐标为或．
（3）解：设，，，
，
，
，
，
设直线的解析为，则有
，
解得：，
，
设直线的解析为，
经过，
同理可求，
直线的解析为，

，
直线的解析为，
联立，
整理得：，
，
，
联立，
整理得：，
，
得：
，
，
，
直线的解析式为，
直线必与直线平行，
故这条直线的函数解析式为．
28．（10分）
【详解】（1）解：（1）由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
由题意得：四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴y关于x的函数关系式为；
（3）解：①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置，如图：
②∵正方形、正方形、矩形、矩形，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴的面积．
∵矩形的面积为12，
∴，
∴的面积．1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
C
D
A
B
B
C