中考数学一轮复习备考知识清单10 一次函数(含答案)

这是一份中考数学一轮复习备考知识清单10 一次函数(含答案)，共8页。学案主要包含了一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移，一次函数的解析式，一次函数与一次方程，一次函数的应用等内容，欢迎下载使用。
一、一次函数的图象与性质
二、一次函数图象的平移
【拓展】
同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系
三、一次函数的解析式
四、一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式（组）
一次函数与一元一次方程的关系
1.一次函数与一元一次方程的关系
（1）从“数”上看：函数中，当时，的值方程的解.
（2）从“形”上看：函数的图象与轴的交点的横坐标方程的解
2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数
（2）画图象：画出一次函数的图象
（3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解.
【注意】
对于一次函数，已知的值，求的值，或已知的值求的值，就是把问题转化为关于或的一元一次方程来求解.
【拓展】
方程的解函数中，时的值；方程的解函数的图象与直线的交点的横坐标.
一次函数与一元一次不等式的关系
因为任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围.
一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下：
例如：一次函数与一元一次不等式
【拓展】
直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围.如图所示，方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为.
一次函数与二元一次方程（组）的关系
一次函数图象上点的坐标
二元一次方程的解
一次函数
二元一次方程
相互转化
1.
一一对应
2.二元一次方程组（都不为0，且,都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标.
【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线.
3.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
（1）变函数：把方程组化为一次函数与.
（2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象.
（3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标.
（4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解.
【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解.
五、一次函数的应用
方法点拨
1.解正比例函数的图象与性质问题
形如（是常数，）的函数叫做正比例函数.正比例函数（是常数，）的图象是一条经过原点的直线.当时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；
当时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小.正比例函数图象上的任意一点中都满足函数解析式.
2.解一次函数的图象与性质问题
一次函数（是常数，）的图象是一条直线.当时，其图象一定经过第一、三象限，随的增大而增大，这时直线由左至右上升；当时，其图象一定经过第二、四象限，随的增大而减小，这时直线由左至右下降；
3.两个一次函数图象的识别方法
方法一：选定一个函数图象确定的符号，看另一个函数图象的位置是否符合.
方法二：按同号和异号四种情况讨论，看两个图象是否同时符合，若符合，则正确；若不符合，则错误.
方法三：确定两个一次函数各自的的符号，看结果是否一致，若一致，则正确；若不一致，则错误.
4.比较函数值大小的方法
对于函数值的大小比较问题，一般有三种方法：一是直接法，即直接代入函数解析式求出对应的函数值进行比较；二是利用函数的增减性比较函数值的大小；三是画出一次函数图象，在函数图象上标出点，直接观察图象比较大小.
5.求直线与坐标轴围成的几何图形的面积的方法
先求出直线与直线、直线与坐标轴的交点坐标，再利用数形结合的方法求解，计算时要注意线段的长与坐标的关系.
6.解一次函数与方程（组）之间关系的问题
对于一次函数来说，当时，就是关于的一元一次方程，反之，一元一次方程就是一次函数当时的一种特殊情况，而两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解.
【方法总结】
关于的一元一次方程的解，实际上可以看作是一次函数的函数值时对应的值.
7.解一次函数与不等式之间关系的问题
①对于一次函数，从图象上看，的解集是直线位于轴上方部分相应的取值范围；的解集是直线位于轴下方部分相应的取值范围.
②对于一次函数和，从图象上看，不等式的解集就是直线位于直线上方部分对应的的取值范围；不等式的解集就是直线位于直线下方部分对应的的取值范围.
根据两个一次函数的图象来确定其所对应的有关不等式的解集，实质上是确定其中一个函数图象在另一个函数图象上（下）方所有点的横坐标构成的集合.
【方法总结】
要比较两个一次函数值的大小，可借助不等式加以解决.
8.一次函数图象的平移规律
（1）上、下平移：直线向上平移个单位长度得到直线；直线向下平移个单位长度得到直线.简记为：上加下减（只改变）.
（2）左、右平移：直线向左平移个单位长度得到直线；直线向右平移个单位长度得到直线.简记为：左加右减（只改变）.
9.解一次函数的实际应用问题
利用一次函数解决实际问题的关键是把实际问题进行抽象概括、获取信息，进而建立一次函数模型解决问题.这类问题主要有两种：一种是题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解；另一种是题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格和图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质求解.
【注意】应用一次函数解决实际问题的关键是：（1）确定函数与自变量之间的解析式；（2）确定实际问题中自变量的取值范围，即实际问题的答案要符合实际情况.
概念
一般地，形如（是常数，）的函数，叫作一次函数（特别地，当时，是正比例函数）
的作用
的符号函数增减性或图象的倾斜方向；直线的倾斜程度
的作用
的符号直线与轴交点的位置
图象
经过的象限
一、二、三
一、三
一、三、四
一、二、四
二、四
二、三、四
增减性
随的增大而增大
随的增大而减小
与坐标轴的交点
令，求对应的值，与轴的交点坐标为；
令，求对应的值，与轴的交点坐标为
平移情况
解析式变化情况
【温馨提示】
（1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”；
（2）直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到
向上平移个单位
向下平移个单位
向左平移个单位
向右平移个单位
的关系
与的关系
与相交
，
与相交于轴上的一点
，
与平行
待定系数法的步骤
（1）设：设所求一次函数的解析式为；
（2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组
（3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式
常见类型
（1）两点型：直接运动待定系数法求解；
（2）平移型：由平移前后不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可
一次函数与一元一次不等式的关系
数的角度
不等于的解集在函数中，时的取值范围
不等式的解集在函数中，时的取值范围
形的角度
不等式的解集直线在轴上方的部分所对应的的取值范围
不等式的解集直线在轴下方的部分所对应的的取值范围
判断等量关系为一次函数的情况
（1）函数图象是直线（或直线的一部分）；
（2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数；
（3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位
常见类型
（1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案；
（2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值.
注意：根据实际情况确定变量的取值范围