2025年山西省吕梁市石楼县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年山西省吕梁市石楼县中考一模数学试题（原卷版+解析版），共32页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．满分120分，答题时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 下面各数中，比小的数是（ ）
A. 4B. C. D. 1
2. 小华是一名热爱环保的中学生，他注意到了学校里张贴的四个宣传标志．他发现这些标志不仅传递了环保的理念，而且蕴含了数学的对称美．下面四个图形是学校里张贴的宣传标志，分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志．在这四个标志中，是轴对称图形的是．（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，这是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A B. C. D.
5. 已知直线过点，，则和的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
6. 如图，点都在上，且半径，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 某中学书法兴趣小组12名成员的年龄情况如下表．
则这个小组成员年龄数据的众数是（ ）
A. 4B. 13C. 2D. 16
8. 如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ）
A. 四条边相等的四边形是菱形B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
10. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 分解因式：_______．
12. 随着进入山西电力市场的虚拟电厂聚合用户增加至122户，聚合容量增至201.38万千瓦，最大可调节负荷达到25.63万千瓦，山西省虚拟电厂规模正式进入百万千瓦级行列．将效据“25.63万”用科学记数法表示为_______．
13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与可变电阻（单位：）满足反比例函数关系，当电阻时，电流．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻最小应是_______．
14. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号、、、的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是_______．
15. 如图，在矩形中，E是边上的一点，将矩形沿折叠，使点C落在点F处，延长，交的延长线于点H．若，，，则的长为_______
三、解答题（本题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）解不等式：．
17 先化简，再求值：，其中．
18. 某校为了了解学生对课外活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，将学生参与的课外活动分为四类（每个学生必须参与，且只参与其中一类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）本次被抽取的学生人数为_______．
（2）补全条形统计图．
（3）求扇形统计图中类课外活动所对应的圆心角度数．
（4）若该校有学生1500人，估计该校参与类课外活动的学生人数．
19. 每年的5月15日是“全国低碳日”，2024年的主题是“绿色低碳、美丽中国”，鼓励市民骑自行车出行，减少碳排放．某社区在这一天对平时骑自行车出行和开车出行的总数1000人进行统计，结果显示骑自行车出行的人数比平时增加了，而开车出行的人数比平时减少了，已知活动当天骑自行车出行的人数比开车出行的人数多360人．求平时骑自行车出行的人数和开车出行的人数．
20. 高科技的发展与技术创新为我们的生活带来无限可能．某数学兴趣小组用无人机来测量大楼楼顶上的信号塔的高度（通过调查已经获得该大楼的高度为44米）．如图，具体的测量过程是无人机先垂直上升至距水平地面的点E，这时测得信号塔底端C的俯角为；无人机再向信号塔沿水平方向飞行到达点F，此时测得信号塔顶端D的仰角为．请根据以上数据，计算信号塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
21 阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应任务．
任务：
（1）如图5，在中，是的平分线．若，则_______．
（2）请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整．
（3）如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长．
22. 综合与实践
我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点B的坐标为．若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长、高的矩形．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）判断此纯电货车_______（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由．
（3）为确保在车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？
23 综合与探究
【问题背景】
如图1，在矩形中，对角线与交于点O，且．
【问题探究】
（1）求证：为等边三角形．
（2）如图2，将沿方向平移，得到，且交于点交于点N．在平移过程中，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究】
（3）如图3，继续平移，使得顶点E与点O重合，然后将绕点顺时针旋转，此时边交于点K，直接写出此时的长．
2024−2025学年九年级学业水平质量监测（一）
数学
注意事项：
1．满分120分，答题时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 下面各数中，比小的数是（ ）
A. 4B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【详解】解：A、由正数大于一切负数可知，不符合题意；
B、由两个负数比较大小，绝对值大的数反而小可知，，符合题意；
C、由两个负数比较大小，绝对值大的数反而小可知，，不符合题意；
D、由正数大于一切负数可知，不符合题意；
故选：B．
2. 小华是一名热爱环保的中学生，他注意到了学校里张贴的四个宣传标志．他发现这些标志不仅传递了环保的理念，而且蕴含了数学的对称美．下面四个图形是学校里张贴的宣传标志，分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志．在这四个标志中，是轴对称图形的是．（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，涉及合并同类项、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法运算，根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法运算法则逐项验证即可得到答案，熟记相关运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算正确，符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
4. 如图，这是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三视图的知识，根据三视图的形成，从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在三视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．准确把握俯视图是从上面看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．
【详解】解：俯视图是从上面看组合体，得到的平面图形，如图所示：
故选：A．
5. 已知直线过点，，则和的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，依据题意，先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据点的横坐标的大小进行判断即可．解题的关键是掌握一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
【详解】解：∵直线，，
∴随增大而增大，
又∵，
∴．
故选：A．
6. 如图，点都在上，且半径，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、垂直定义及直角三角形两锐角互余等知识，先由圆周角定理得到，结合垂直定义，由直角三角形两锐角互余即可得到答案，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
，，
，
，
，则，
故选：C．
7. 某中学书法兴趣小组12名成员年龄情况如下表．
则这个小组成员年龄数据的众数是（ ）
A. 4B. 13C. 2D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了众数，掌握众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据是解题关键．根据众数的定义求解即可．
【详解】解：这个小组成员年龄13岁有4人，人数最多，
即众数是13，
故选：B．
8. 如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反射问题，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握反射角等于入射角是解题关键．延长与交于点，由反射定理可得，结合平行线的性质得到，再利用对顶角相等和三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长与交于点，
由反射定理可得，
，，
，
，
，
，
即太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是，
故选：D．
9. 如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ）
A. 四条边相等的四边形是菱形B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定定理是解题关键．由作法可知，①可得，②可得，则，即可得到答案．
【详解】解：由作法可知，
则判定四边形是菱形的依据是四条边相等的四边形是菱形，
故选：A．
10. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由直径所对的角是直角得到，再由等腰三角形性质确定，利用等腰三角形性质及三角形内角和定理求出所对的圆心角，最后由弧长公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：连接、，如图所示：
为半圆的直径，
，
，
是的角平分线，即，
，
，
，
，
，则，
的长为，则的长为，
故选：D．
【点睛】本题考查求弧长，涉及直径所对的角是直角、等腰三角形性质、圆周角与弧的关系、三角形内角和定理、弧长公式等知识，熟记圆周角定理及其推论、弧长公式等知识是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握公式法分解因式是关键．
运用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：,
故答案为： ．
12. 随着进入山西电力市场的虚拟电厂聚合用户增加至122户，聚合容量增至201.38万千瓦，最大可调节负荷达到25.63万千瓦，山西省虚拟电厂规模正式进入百万千瓦级行列．将效据“25.63万”用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：25.63万，
故答案为：．
13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与可变电阻（单位：）满足反比例函数关系，当电阻时，电流．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻最小应是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题是反比例函数的应用，先求反比例函数关系式，再由电流不能超过10A列不等式，求出结论，并结合图象．解题的关键是会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．
【详解】解：如图，
设反比例函数关系式为，
∵当电阻时，电流，
∴，
解得：，
∴反比例函数关系式为，
当时，则，
∴，
∴用电器可变电阻最小应．
故答案为：．
14. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号、、、的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键．先根据题意列表，再由列表得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】解：列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的情况，其中所标元素能组成“（一氧化氮）”的情况有2种，
即所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是，
故答案为：
15. 如图，在矩形中，E是边上的一点，将矩形沿折叠，使点C落在点F处，延长，交的延长线于点H．若，，，则的长为_______
【答案】
【解析】
【分析】利用矩形性质，折叠的性质，以及解直角三角形得到，，进而得到，记交于点，结合等腰三角形性质得到，设，则，，利用勾股定理求出的值，再证明，利用相似三角形性质求解，即可解题．
【详解】解：四边形为矩形，，，
，，，
由折叠的性质可知，，，，，
，
，
解得，
，
，
记交于点，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形性质，折叠的性质，等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，以及解直角三角形，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
三、解答题（本题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算、解不等式等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值和不等式的解法是关键．
（1）利用负整数指数幂、特殊角的三角函数、绝对值法则、二次根式的性质化简进行计算即可；
（2）按照去分母、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可．
【详解】（1）解：
（2）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，涉及因式分解、分式的混合运算、二次根式混合运算等知识，先由分式混合运算法则化简分式，再将代入化简后的结果，利用分母有理化求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算方法是解决问题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
18. 某校为了了解学生对课外活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，将学生参与的课外活动分为四类（每个学生必须参与，且只参与其中一类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）本次被抽取的学生人数为_______．
（2）补全条形统计图．
（3）求扇形统计图中类课外活动所对应的圆心角度数．
（4）若该校有学生1500人，估计该校参与类课外活动的学生人数．
【答案】（1）200人；
（2）见解析 （3）
（4）估计该校参与类课外活动的学生人数为人．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，利用样本估计总体．
（1）利用类课外活动的学生人数除以所占百分比求解即可；
（2）先求出类课外活动的学生人数，再补全条形统计图即可；
（3）用类课外活动的学生人数占比求解即可；
（4）用该校总人数乘以类课外活动的学生人数占比求解即可．
【小问1详解】
解：人，
故答案为：200人；
小问2详解】
解：类课外活动的学生人数为人，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：，
即类课外活动所对应的圆心角度数为；
【小问4详解】
解：人，
答：估计该校参与类课外活动的学生人数为人．
19. 每年的5月15日是“全国低碳日”，2024年的主题是“绿色低碳、美丽中国”，鼓励市民骑自行车出行，减少碳排放．某社区在这一天对平时骑自行车出行和开车出行的总数1000人进行统计，结果显示骑自行车出行的人数比平时增加了，而开车出行的人数比平时减少了，已知活动当天骑自行车出行的人数比开车出行的人数多360人．求平时骑自行车出行的人数和开车出行的人数．
【答案】平时骑自行车出行的人数为人，平时开车出行的人数为人．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设平时骑自行车出行的人数为人，根据“骑自行车出行的人数比平时增加了，而开车出行的人数比平时减少了，已知活动当天骑自行车出行的人数比开车出行的人数多360人”，列方程求解即可．
【详解】解：设平时骑自行车出行的人数为人，则平时开车出行的人数为人，
则，
解得：，
（人），
答：平时骑自行车出行的人数为人，平时开车出行的人数为人．
20. 高科技的发展与技术创新为我们的生活带来无限可能．某数学兴趣小组用无人机来测量大楼楼顶上的信号塔的高度（通过调查已经获得该大楼的高度为44米）．如图，具体的测量过程是无人机先垂直上升至距水平地面的点E，这时测得信号塔底端C的俯角为；无人机再向信号塔沿水平方向飞行到达点F，此时测得信号塔顶端D的仰角为．请根据以上数据，计算信号塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交于点，结合解直角三角形先得到，进而得到，，最后根据求解，即可解题．
【详解】解：延长交于点，
结合题意可知，
大楼的高度为44米， 无人机垂直上升至距水平地面的点E，
，
，
，
，
，
，
，
．
21. 阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应任务．
任务：
（1）如图5，在中，是的平分线．若，则_______．
（2）请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整．
（3）如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）补全证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由阅读材料中的三角形内角平分线性质定理得到，结合勾股定理求出，设，，由列方程求解即可得到答案；
（2）类比三角形内角平分线性质定理的证明，采用“面积法”即可得到答案；
（3）由三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理及已知线段长得到，进而求出、，再由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示：
由三角形内角平分线性质定理可得，，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
设，，
则，解得，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：过点作，过点作，垂足分别为，如图4，
平分，
，
．
，
；
【小问3详解】
解：如图所示：
在中，由三角形内角平分线性质定理可得，；
在中，由三角形外角平分线性质定理可得，；
，
，
，
，
设，
则由可得，，
解得，
，
，
若是的平分线，是的外角的平分线，
，
是线段的中点，
．
【点睛】本题考查阅读理解，涉及三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理、三角形面积公式、一元一次方程、勾股定理、角平分线性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，读懂题意，理解三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理是解决问题的关键．
22. 综合与实践
我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点B的坐标为．若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长、高的矩形．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）判断此纯电货车_______（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由．
（3）为确保在车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
（3）支柱抬高的高度至少需要大于米．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式。二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）由题意可知，，，利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得，进而求出时的函数值，与货车的高度比较即可；
（3）设支柱抬高的高度为米，则改造后棚顶横截面的解析式为，由题意可知当时，，进而求出的取值范围即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，，，
则，解得：，
该二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
由题意可知，，，，
则，
当时，，
，
此纯电货车不能完全停到车棚内；
【小问3详解】
解：设支柱抬高的高度为米，则改造后棚顶横截面的解析式为，
要求改造后车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，
当时，，
，
解得：，
即支柱抬高的高度至少需要大于米．
23. 综合与探究
【问题背景】
如图1，在矩形中，对角线与交于点O，且．
【问题探究】
（1）求证：为等边三角形．
（2）如图2，将沿方向平移，得到，且交于点交于点N．在平移过程中，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
【深入探究】
（3）如图3，继续平移，使得顶点E与点O重合，然后将绕点顺时针旋转，此时边交于点K，直接写出此时的长．
【答案】（1）见解析；（2）菱形；（3）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据特殊角的正切值得到，即可证明结论；
（2）由矩形的性质得到，进而得到，根据平移的性质可证四边形是平行四边形，再证明，求出，，进而得到，即四边形是菱形；
（3）利用旋转和三角形内角和定理，得出平分，再结合角平分线的性质，得到，，设，利用勾股定理，得出，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
又，
为等边三角形；
（2）解：在矩形中，
，，
，
，
，
由平移的性质可知，，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，，
，
平行四边形是菱形；
（3）解：如图，是平移后顶点E与点O重合时的位置，令与的交点为，过点作，过点作，
由旋转的性质可得，，，，，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，即平分，
，，
，
在中，，，
，，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
在中，．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，平移的性质，角平分线的性质，二次根式的运算等知识，掌握相关知识点是解题关键．
年龄/岁
12
13
14
15
16
人数
1
4
3
2
2
三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则．
三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则．
上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明．
三角形内角平分线性质定理的证明
证明：如图3，过点作，垂足分别为．
平分，
，
．
，
．
三角形外角平分线性质定理的证明
证明：如图4，过点作，垂足分别为．
平分，
，
……
年龄/岁
12
13
14
15
16
人数
1
4
3
2
2
三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则．
三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则．
上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明．
三角形内角平分线性质定理的证明
证明：如图3，过点作，垂足分别为．
平分，
，
．
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三角形外角平分线性质定理的证明
证明：如图4，过点作，垂足分别为．
平分，
，
……