浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试卷（Word版附解析），文件包含浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题Word版含解析docx、浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 设集合 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 求出 ，求出集合 即可求出 .
【详解】由 可知 ，
当 时， ，
解得 或 ，即 ．
故 .
故选：D．
2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合特例及平方数和绝对值的定义，根据充分条件和必要条件的概念判断即可.
【详解】若 ， ，满足 ，但 不成立；
若 ，则 ，则 成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 （ ）
第 1页/共 24页
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定条件结得到 ，再结合向量数量积的定义求解即可.
【详解】由题意得 ，两边平方得 ，
整理得 ，由向量数量积的公式得 ，
而 ，故 ，
因为 ，所以 ，即 ，故 B 正确.
故选：B
4. 函数 的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性、特殊值即单调性可以排除错误答案.
【详解】 的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，
所以 为奇函数，故排除 A；
第 2页/共 24页
因为 ，故排除 D；
当 时， ， 在 单调递增，故排除 B，
故选：C.
5. 等差数列 的前 n 项和为 满足 若 成等比，则 （ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】运用等差数列的前 n 项和公式及基本量关系求得 再根据等比数列性质公式求得
结合等差数列的通项公式求解即可.
【详解】设等差数列 的公差为 d，
由 得 ，
解得 ，
所以
成等比，∴ ，
∴ ，
，显然 ，否则这与 成等比数列矛盾，
故解得
故选：B.
6. 某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成
绩进行横向对比，经过对全校 300 名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物
理成绩大于等于 60 分的人数为（ ）
第 3页/共 24页
A. 270 B. 240 C. 180 D. 150
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率之和为 1 得到方程，求出 ，进而求出物理成绩大于等于 60 分的人数.
【详解】 ，解得 ，
故物理成绩大于等于 60 分的人数为 .
故选：B.
7. 欧拉公式 是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的 取 就得到了欧拉恒等式，数学
家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，由复数的几何意义和模长公式可得 ，结合 的范围，
即可得出答案.
【详解】解析：设 ，则 ，
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
第 4页/共 24页
所以 的最大值为 .
故选：D.
8. 下列选项中，曲线 与 在 上的交点个数不一样
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图像平移变换的知识可知，曲线 与 在
上的交点个数，与 与 在 上的交点个数一致，故而分别作出
， ， ， 时 与 在同一坐标系上的大致图像，即可判断交
点个数从而得解.
【详解】 的图象是由 向右平移 个单位得到的图象，
的图象是由 向右平移 个单位得到的图象，
又当 时， ，
所以曲线 与 在 上的交点个数，与 与
在 上的交点个数一致，
对于 ，令 ，得 ，
又 ，所以 ，
作出 在 上的大致图象，如图，
第 5页/共 24页
对于 A，当 时，在 的图象中作出 的图象，
易知此时 与 在 上的交点个数为 ；
对于 B，当 时，在 的图象中作出 的图象，
易知此时 与 在 上的交点个数为 ；
对于 C，当 时， ，
当 时， ；当 时， ；
在 的图象中作出 的图象，
第 6页/共 24页
易知此时 与 在 上的交点个数为 ；
对于 D，当 时，在 的图象中作出 的图象，
易知此时 与 在 上的交点个数为 ；
综上，满足 ABD 选项时两曲线交点个数为 ，满足 C 选项时两曲线交点个数为 .
故选：C.
二、多选题（每小题 6 分，全对得 6 分，部分选对得部分分，共 18 分）
9. 已知定圆 ，点 是圆 所在平面内异于 的定点，点 是圆 上的动点，若线段
的中垂线交直线 于点 ．则点 的轨迹可能为（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 双曲线 D. 圆
【答案】AC
【解析】
【分析】根据点 的不同，结合图形以及椭圆和双曲线的定义进行判断即可.
【详解】由题知， ，圆 半径为 ，连接 ，
则 ，
当 在圆内时，如图所示，
第 7页/共 24页
所以 ，
可得点 的轨迹为到 两定点之间的距离之和为 的椭圆；
当 在圆 上时，如图， 为圆 的弦，
则点 的轨迹是点 ，
当点 在圆 外时，如图，
则 ，
所以点 的轨迹为到 两定点之间距离之差的绝对值为 的双曲线.
第 8页/共 24页
故选：AC
10. 如图是一个边长为 1 正方体的平面展开图，M 为棱 的中点，点 N 为正方形 内（包含边界）
的动点，若 平面 ，下列结论正确的为（ ）
A. 点 N 的轨迹和正方形 的内切圆相切
B. 存在唯一 点 N，使得 M，N，G，D 四点共面
C. 无论点 N 在何位置，总有
D. 长度 取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】把展开图折叠成正方体，利用正方体中的线面位置关系对选项进行逐一判断.
【详解】将展开图折叠成正方体，如图所示：
连接 ， ， ，则 ， .
第 9页/共 24页
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ，则 ， ，
所以 ， 不在面 内， 面 ，则 面 ，
同理有 ， 不在面 内， 面 ，则 面 ，
而 相交且都在面 内，故平面 平面 .
要使 平面 ，则点 在线段 上，故 点的轨迹为线段 ，故 A 错误；
当点 与点 重合时， ，又 ，所以 四点共面，
由图可知，点 与点 不重合时， 与 异面，所以 B 正确；
在正方体的结构特征，以 为原点，分别以 所在直线为
轴，建立空间直角坐标系.
因为正方体边长为 ，则各点坐标为： ， ， ， ， .
. .
. 可得 ，所以 . 同
理可得 . 因为 ，且 平面
， ， ，即 垂直于平面 内两条相交直线，所以 平面 ,又平面
平面 ， 平面 ，又 平面 ，所以 ，所以 C 正确；
当点 为 中点时， 的长度最小，连接 ，
则 ， ，
当点 与点 （或 ）重合时， 的长度最大，此时 ，
所以 长度的取值范围为： ，故 D 正确.
故选：BCD
11. 已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的图象关于原点对称
第 10页/共 24页
B. 的值域为
C. 当 时， 桓成立
D. 若 在 上恰有 1012 个不同解，则符合条件的 a 只有一个
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用奇函数的定义可判断 A 的正误，利用换元法结合正弦函数的性质可判断 B 的正误，利用导数
考虑 的单调性后可判断 C 的正误，对于 D，先判断 的周期性，再利用导数刻画函数
的单调性得到函数图象，结合 两根特征就小根的范围分类讨论后可得参数的范围，从而可判
断 D 的正误.
【详解】对选项 A：因为
所以 A 正确；
对选项 B：设 ，则 可表为 ，
因为 ，
故 为 上的奇函数，而 时， 均为增函数，
故 为 上的增函数，而 为 上的增函数，
故 为 上的增函数，故 为 上的增函数，
因为 是增函数，所以 ，
所以 的值域为 ，所以 B 不正确；
对选项 C：设 ，
则 （不恒为零），
第 11页/共 24页
所以 在 上递减，所以 即 ，所以 C 正确；
对选项 D：因为 ，
所以 关于 对称，又 的图象关于原点对称，
故 是周期函数且周期 ，而 ，
所以 在 上递增，可作出 草图，如下图
设 ，则 ，该方程两根 满足 ，
显然 均不为 0 且最多仅有一个属于 ，
不妨设 ,
若 时，方程 在区间[ 上有 1013 个实数根；
若 时，方程 在区间[ 上有 2026 个实数根；
若 时， 在区间 上有 2024 个实数根；
若 时，方程 在区间 上有 1012 个实数根；
代入方程可得： ，唯一，
所以 D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：嵌套方程的零点问题，一般可先考虑外方程的根的特征，再考虑内方程的根，本质
上就是换元处理.
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
第 12页/共 24页
12. 若“ ”是假命题，则实数 a 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据“ ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，利用二次函数与一元二
次不等式的关系即可求出实数 a 的取值范围.
【详解】由题意得：“ ” 真命题，
所以 ，解得 或 .
∴实数 a 的取值范围为
故答案为：
13. 将正整数 n 分解成两个正整数 ， 的积，即 ，当 ， 的两数差的绝对值最小时，称
为正整数 n 的最优分解，如 为 20 的最优分解．当 为 n 的最优分解时，定义
，则数列 的前 2025 项和为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用最优分解的思想，结合分类讨论，就可得到数列通项，从而求和即可.
【详解】当 ， 时， ，所以 ；
当 ， 时， ，所以 ；
所以数列 的前 2025 项和为：
.
故答案为： .
14. 已知椭圆 ， 、 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上的任意一点，记 为
在椭圆 上的切线，过 作直线 ，垂足为 ，则 面积的最大值为________
【答案】
第 13页/共 24页
【解析】
【分析】证明出直线 的方程为 ，求出点 的纵坐标，设直线 与直线 的交点为 ，
求出点 的纵坐标以及 的值，结合中位线的性质可得出 ，由此可知 在以点 为
圆心，半径为 的圆上运动，可得出点 到 轴距离的最大值，再结合三角形的面积公式求解即可.
【详解】设点 ，其中 ，先证明出直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
在椭圆 中， ， ，则 ，可得 、 ，
因为 ，则直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ，即
易知直线 的方程为 ，设直线 与直线 的交点为 ，
联立 可得 ，即 ，
因为
，
故点 为线段 的中点，
第 14页/共 24页
因为 ，由中垂线的性质可得 ，
所以， ，
连接 ，因为 为 的中点，则 ，
即点 在以点 为圆心，半径为 的圆上运动，故点 到 轴距离的最大值为 ，
因此， 面积的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于推导出点 为 的中点，结合中位线的性质得出点 的轨迹，
进而求解.
四、解答题（本题共 7 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示， ， 为直线岸线， 千米， 千米，
，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧 ，过弧 上一点 P 按线段 和 修建养殖网
箱，已知 ．
第 15页/共 24页
（1）求岸线上点 A 与点 B 之间的直线距离；
（2）如果线段 上的网箱每千米可获得 2 万元的经济收益，线段 上的网箱每千米可获得 4 万元的经
济收益．记 ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？
【答案】（1） 千米
（2） 万元
【解析】
【分析】（1）由余弦定理计算即可；
（2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值.
【小问 1 详解】
在 中，由余弦定理，得
即岸线上点 与点 之间的直线距离为 千米．
【小问 2 详解】
在 中， ，
则 ，
设两段网箱获得的经济总收益为 万元，则
因为 ，所以 ，所以
所以两段网箱获得的经济总收益最高接近 万元．
16. 如图，由半径为 2 的四分之一圆面绕其半径所在直线 旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为 ，
是几何体侧面上不在 上的动点， 是 的直径， 为 上不同于 ， 的动点， 为 的
第 16页/共 24页
重心， .
（1）证明： 平面 ；
（2）当三棱锥 体积最大时，求直线 与面 所成角 正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）连接 并延长交 于 点，连接 ，然后根据条件证明 即可；
（2）当三棱锥 体积最大时，平面 平面 ，且 和 为等腰直角三角形，
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，然后算出 的坐标和平面 的法向量的坐标即可.
【详解】（1）连接 并延长交 于 点，连接 ，
因为 为 的重心，
所以 .
因为 ，
所以 ，
则 ，
所以 .
又 面 ， 面 ，
所以 面. ；
第 17页/共 24页
（2）当三棱锥 体积最大时，
平面 平面 ，且 和 为等腰直角三角形，
则 .
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设面 的法向量为 ，
则
取 ，则 ， ，故 .
设 与面 所成角为 ，
则 .
17. 已知函数 （ 且 ）
（1）判断 的单调性；
（2）若 m，n 为方程 的两个根 ，求 的最小值．
【答案】（1）答案见解析
第 18页/共 24页
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的正负即可判断函数单调性；
（2）利用 得到 是关于 的方程 的两个不同的实根，从而
得到 ， ，从而表示出 ，构造函数求解，即可得答案.
【小问 1 详解】
根据题意， ，
令 ，可得 或 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 和 上单调递减.
【小问 2 详解】
由 ， ，
可得 ， 是关于 的方程 的两个不同的实根，
其中 ，得 ，
故 ， ，即 .
故
，
设 ，
，
设 ，
则 ，所以 为 上的增函数，
第 19页/共 24页
则 .，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
所以 ，即 ，
所以 为 上的增函数，
的最小值为 ，
故 的最小值为 .
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求 最小值时，要利用 得到 ， 是关
于 的方程 的两个不同的实根，从而得到 ， ，从而表
示出 ，构造函数求解.
18. 已知过点 的双曲线 的渐近线方程为 .如图所示，过双曲线 的右焦点 作与坐
标轴都不垂直的直线 交 的右支于 两点.
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）已知点 ，求证： ；
（3）若以 为直径的圆被直线 截得的劣弧为 ，则 所对圆心角的大小是否为定值？若是，
求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
第 20页/共 24页
（2）证明见解析 （3）是，定值为
【解析】
【分析】(1)利用双曲线的渐近线方程可设出双曲线的方程，再将点 的坐标代入即可求解；
(2)要证 ，只需证 即可；
(3)构造直角三角形，利用锐角三角函数即可求出定值.
【小问 1 详解】
因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以设双曲线方程为 ，又双曲线过点 ，
则 ，
所以双曲线的方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
由(1)可知 ， 的斜率存在且不为 0，所以设 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
设 ，由题意得 ，
所以 ，且 ，
所以
第 21页/共 24页
，
所以 ，即 得证.
【小问 3 详解】
由(2)可知 恒成立， ，
所以圆心到 的距离 ，
半径 ，
设 所对圆心角为 ，
则 ，
因为 为劣弧，所以 ，
所以 ，所以 ，即 所对圆心角的大小为定值 .
19. 设 p 为素数，对任意的非负整数 n，记 ， ，
其中 ，如果非负整数 n 满足 能被 p 整除，则称 n 对 p“协调”．
（1）分别判断 194，195，196 这三个数是否对 3“协调”，并说明理由；
（2）判断并证明在 ， ， ，…， 这 个数中，有多少个数对 p“协调”；
（3）计算前 个对 p“协调”的非负整数之和．
【答案】（1）194，196 对 3“协调”，195 对 3 不“协调”
（2）有且仅有一个数对 p“协调”，证明见解析
（3）
【解析】
第 22页/共 24页
【分析】（1）根据 n 对 p“协调”的定义，即可计算 ，即可求解，
（2）根据 n 对 p“协调”的定义以及整除原理可证明引理，证明每一列里有且仅有一个数对 p“协调”，即可
根据引理求证．
（3）将 这 个数分成 p 组，每组 p 个数，根据引理证明每一列里
有且仅有一个数对 p“协调”，即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
，所以 ，
，所以 ，
所以 194，196 对 3“协调”，195 对 3 不“协调”.
【小问 2 详解】
先证引理：对于任意的非负整数 t，在 中有且仅有一个数对 p“协调”．证
明 如 下 ： 设 ， 由 于 pt 是 p 的 倍 数 ， 所 以 ， 所 以
，即 对于 这一项的系数为 ，
所以 ，
根据整除原理可知，在 中有且仅有一个数能被 p 整除，
所以在 中有且仅有一个数对 p“协调”．
接下来把以上 个数进行分组，分成以下 p 组（每组 p 个数）：
根据引理可知，在以上每组里恰有 1 个数对 p“协调”，所以共有 p 个数对 p“协调”．
【小问 3 详解】
继续考虑 这 个数分成 p 组，每组 p 个数：
第 23页/共 24页
由（2）的引理可知每一行里有且只有一个数对 p“协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对 p“协调”．
证明如下：
设某一列第一个数为 ，
则 ，所以 ，
同理当 时， ，所以当 时，
集合 中的 p 个数中有且只有 1 个数对 p“协调”．
注意到数阵中每一个数向右一个数增加 1，向下一个数增加 p，
所 以 p 个 数 对 p“协 调 ”的 数 之 和 为 ：
，
进一步，前 个对 p“协调”的非负整数之和为：
【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义所给的关系式的特性，抽象特性和计算特性，抽象特
性是将定义可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求
解.