2024-2025学年江苏省淮安市七年级下学期期中数学检测试卷合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省淮安市七年级下学期期中数学检测试卷合集2套（附解析），共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，左边的图案通过平移后得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2+a+＝（a+）2
B．6a3b＝3a2•2ab
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a3+2a2＝5a2B．a•a2＝a3
C．3a6÷a2＝3a3D．
4．（3分）下列每组数表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．2，3，6B．3，4，6C．3，4，7D．5，7，12
5．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝75°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．85°C．105°D．115°
6．（3分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠D+∠BCD＝180°D．∠D＝∠5
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
8．（3分）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如8＝32﹣12，24＝72﹣52，因此8，24都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（ ）
A．66B．88C．98D．100
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.米，将0.用科学记数法表示为 ．
10．（3分）一个多边形的每个内角都是150°，这个多边形是 边形．
11．（3分）如果多项式x2﹣kx+16是完全平方式，则常数k的值为 ．
12．（3分）已知m+3n﹣3＝0，则2m•8n的值是 ．
13．（3分）对于任意非零有理数a、b，规定a⊗b＝（ab）2﹣（2a）b，那么的值是 ．
14．（3分）如图，∠1和∠2是△ABC的两个外角，若∠A＝40°，∠1＝125°，则∠2＝ °．
15．（3分）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，使C、D落在AB边上的C′、D′处，已知∠AMD'＝30°，∠BNC'＝10°，则∠A+∠B＝ °．
16．（3分）如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝3BE，点D是AC的中点，若S△ADF﹣S△BEF＝5，则S△ABC＝ ．
三、解答题（本题共11小题，共102分）
17．（8分）计算
（1）﹣32+（π+1）0+2﹣1；
（2）．
18．（8分）化简：
（1）（x4）2÷x2；
（2）（x+2）（2x﹣1）．
19．（8分）将下列各式分解因式：
（1）ab2﹣a；
（2）3x2﹣6xy+3y2．
20．（8分）先化简，再求值：（3x﹣2）（3x+2）+（x﹣2）2，其中x＝2．
21．（8分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．现将△ABC平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）在图中画出平移后的△DEF；
（2）分别连接AD、BE，则AD与BE的数量关系为 ，位置关系为 ；
（3）直接写出四边形ABED的面积为 ．
22．（8分）如图，AD平分∠BAC，过点D作∠EDA＝∠EAD，交AB于点E．问：DE与AC平行吗？试说明理由．
23．（8分）如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，求∠2的度数．
24．（8分）如图，DF∥AC，点E在DF上，点B在AC上，∠1＝∠2，请将说明∠C＝∠D的过程补充完整．
解：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴ ∥ （ ），
∴∠C＝∠ABD（ ）．
∵DF∥AC（已知），
∴∠ABD＝∠ （ ），
∴∠C＝∠D（等量代换）．
25．（12分）如图，已知在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC和AB边上的高，它们交于点F．
（1）若∠A、∠ABC和∠ACB的度数之比为2：3：4．
①则∠A＝ °，∠ABC＝ °；
②∠BFC＝ °；
（2）若∠BAC＝50°，则∠BFC＝ °；
（3）∠BFC与∠BAC之间满足怎样的数量关系？请说明理由．
26．（12分）将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若a﹣b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a﹣b＝3，所以（a﹣b）2＝9，即a2﹣2ab+b2＝9．
又因为ab＝1，所以a2+b2＝11．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．
（1）简单应用：若x+y＝10，x2+y2＝60，求xy的值；
（2）实际应用：如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE．连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a+b＝8，ab＝15．求阴影部分的面积；
（3）拓展应用：若（2023﹣m）2+（m﹣2012）2＝85，（2023﹣m）（m﹣2012）的值．
27．（14分）柳树湾公园某处河道两岸所在直线互相平行（AB∥CD），在河道两岸安装探照灯P和灯Q，灯P和灯Q在如图所示的位置．若灯P的光束自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q的光束自QD逆时针旋转至QC便立即回转．设灯P转动的速度是6度/秒，灯Q转动的速度是2度/秒．
（1）灯P自PA转至PB需要的时间为 秒，灯Q自QD转至QC需要的时间为 秒；
（2）若灯Q先转动10秒，灯P才开始转动．
①如图1，灯P转动20秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ；
②当灯Q的光束第一次到达QC之前，请求出灯P开启多长时间两灯的光束互相平行？
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，左边的图案通过平移后得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平移的性质，平移不改变图形的大小、形状和方向，据此选择即可得到答案．
【解答】解：根据分析可知，图形D与原图大小、形状和方向都相同，所以平移原图后可得到图形D．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用平移设计图案，正确掌握平移性质是解题关键．
2．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2+a+＝（a+）2
B．6a3b＝3a2•2ab
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a3+2a2＝5a2B．a•a2＝a3
C．3a6÷a2＝3a3D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3a3与2a2不能合并，故A不符合题意；
B、a•a2＝a3，故B符合题意；
C、3a6÷a2＝3a4，故C不符合题意；
D、（﹣a）2＝a2，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（3分）下列每组数表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．2，3，6B．3，4，6C．3，4，7D．5，7，12
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、2+3＜6，长度是6cm、2cm、3cm的木棒不能组成三角形，故A不符合题意；
B、3+4＞6，长度是3cm、4cm、6cm的木棒能组成三角形，故B符合题意；
C、3+4＝7，长度是3cm、4cm、7cm的木棒不能组成三角形，故C不符合题意；
D、5+7＝12，长度是5cm、12cm、7cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
5．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝75°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．85°C．105°D．115°
【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝75°，再利用平行线的性质可得：∠3＝∠CEF＝75°，然后利用平角定义进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝75°，
由题意得：CD∥EF，
∴∠3＝∠CEF＝75°，
∴∠2＝180°﹣∠CEF＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠D+∠BCD＝180°D．∠D＝∠5
【分析】根据平行线的判定定理进行解答．
【解答】解：A、∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1＝∠2，所以应是AD∥BC，故本选项错误；
B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），故本选项正确；
C、∵∠B+∠BDC＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故本选项错误；
D、∠5＝∠D，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠ABE的度数，由BD是△ABC的高线，可得出∠ADB＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠ABD的度数，再利用∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD，即可求出∠DBE的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝×80°＝40°．
∵BD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝40°﹣30°＝10°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出∠ABE及∠ABD的度数是解题的关键．
8．（3分）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如8＝32﹣12，24＝72﹣52，因此8，24都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（ ）
A．66B．88C．98D．100
【分析】先设两个连续奇数为：2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，再将四个选项一一代入计算验证即可．
【解答】解：设两个连续奇数为：2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），
则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，
当8n＝66，解得n为分数，不符合题意；
当8n＝88，解得n＝11，符合题意；
当8n＝98，解得n为分数，不符合题意；
当8n＝100，解得n为分数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.米，将0.用科学记数法表示为 8.23×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.用科学记数法表示为8.23×10﹣7．
故答案为：8.23×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（3分）一个多边形的每个内角都是150°，这个多边形是 十二 边形．
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝12．
所以多边形是十二边形，
故答案为：十二．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
11．（3分）如果多项式x2﹣kx+16是完全平方式，则常数k的值为 ±8 ．
【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．
【解答】解：∵x2﹣kx+16是完全平方式，
∴x2﹣kx+16＝（x±4）2，
∴x2﹣kx+16＝x2±8x+16，
∴﹣k＝±8，
∴k＝±8，
故答案为：±8．
【点评】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
12．（3分）已知m+3n﹣3＝0，则2m•8n的值是 8 ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则解答即可．幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：∵m+3n﹣3＝0，
∴m+3n＝3，
∴2m•8n＝2m•（23）n＝2m•23n＝2m+3n＝23＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
13．（3分）对于任意非零有理数a、b，规定a⊗b＝（ab）2﹣（2a）b，那么的值是 3 ．
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣×4）2﹣（﹣×2）4
＝（﹣2）2﹣（﹣1）4
＝4﹣1
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
14．（3分）如图，∠1和∠2是△ABC的两个外角，若∠A＝40°，∠1＝125°，则∠2＝ 95 °．
【分析】根据∠1求出∠ABC，然后再根据三角形外角的性质求出∠2即可．
【解答】解：∵∠1＝125°，
∴∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵∠A＝40°，
∴∠2＝∠A+∠ABC＝40°+55°＝95°．
故答案为：95．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
15．（3分）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，使C、D落在AB边上的C′、D′处，已知∠AMD'＝30°，∠BNC'＝10°，则∠A+∠B＝ 160 °．
【分析】由折叠的性质得，∠DMN＝∠D'MN，∠CNM＝∠C'NM，结合已知∠AMD'＝30°，∠BNC'＝10°即可求出∠DMN＝75°，∠CNM＝85°，根据四边形内角和为360°即可求出∠A+∠B的度数．
【解答】解：由折叠的性质得，∠DMN＝∠D'MN，∠CNM＝∠C'NM，
∵∠AMD'＝30°，∠BNC'＝10°，
∴∠DMD'＝150°，∠CNC'＝170°，
∴∠DMN＝75°，∠CNM＝85°，
在四边形CDMN中，∠DMN+∠CNM+∠C+∠D＝360°，
∴∠C+∠D＝360°﹣75°﹣85°＝200°，
在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B＝360°﹣200°＝160°，
故答案为：160．
【点评】本题考查了折叠的性质，四边形内角和的度数，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝3BE，点D是AC的中点，若S△ADF﹣S△BEF＝5，则S△ABC＝ 20 ．
【分析】连接CF，根据点D是AC的中点得S△ABD＝S△CBD，S△ADF＝S△CDF，进而得S△AFB＝S△CFB，再根据EC＝3BE得S△CFE＝3S△BFE，S△ACE＝3S△ABE，设S△BFE＝a，则S△CFE＝3a，S△AFB＝4a，S△ABE＝5a，S△ACE＝3S△ABE＝15a，然后根据S△ADF﹣S△BEF＝5得S△CDF＝S△ADF＝5+a，则S△ACE＝S△ADF+S△CDF+S△CFE＝5a+10，由此得5a+10＝15a，据此解出a即可得S△ABC的值．
【解答】解：连接CF，如图所示：
∵点D是AC的中点，
∴S△ABD＝S△CBD，S△ADF＝S△CDF，
∴S△ABD﹣S△AFD＝S△CBD﹣S△CFD，
即S△AFB＝S△CFB，
∵EC＝3BE，
∴S△CFE＝3S△BFE，S△ACE＝3S△ABE，
设S△BFE＝a，则S△CFE＝3a，
∴S△AFB＝S△CFB＝S△BFE+S△CFE＝4a，
∴S△ABE＝S△AFB+S△BFE＝5a，
∴S△ACE＝3S△ABE＝15a，
∵S△ADF﹣S△BEF＝5，
∴S△CDF＝S△ADF＝5+a，
∴S△ACE＝S△ADF+S△CDF+S△CFE＝5+a+5+a+3a＝5a+10，
∴5a+10＝15a，
解得：a＝1，
∴S△ABE＝5a＝5，S△ACE＝15a＝15，
∴S△ABC＝S△ABE+S△ACE＝20．
【点评】此题主要考查了三角形的面积，熟练掌握同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于底边的比是解决问题关键，根据图形的面积构造方程组是解决问题的难点．
三、解答题（本题共11小题，共102分）
17．（8分）计算
（1）﹣32+（π+1）0+2﹣1；
（2）．
【分析】（1）分别根据有理数的乘方的定义，零指数幂的定义以及负整数指数幂的定义计算即可；
（2）逆向运用积的乘法运算法则计算即可．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【解答】解：（1）﹣32+（π+1）0+2﹣1
＝﹣9+1+
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝1×
＝．
【点评】本题考查了实数的运算以及积的乘方，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）化简：
（1）（x4）2÷x2；
（2）（x+2）（2x﹣1）．
【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂除法；
（2）运用多项式乘多项式的运算方法进行求解．
【解答】解：（1）（x4）2÷x2
＝x8÷x2
＝x6；
（2）（x+2）（2x﹣1）
＝2x2﹣x+4x﹣2
＝2x2+3x﹣2．
【点评】此题考查了幂的乘方、同底数幂除法和多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．
19．（8分）将下列各式分解因式：
（1）ab2﹣a；
（2）3x2﹣6xy+3y2．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）ab2﹣a
＝a（b2﹣1）
＝a（b+1）（b﹣1）；
（2）3x2﹣6xy+3y2
＝3（x2﹣2xy+y2）
＝3（x﹣y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
20．（8分）先化简，再求值：（3x﹣2）（3x+2）+（x﹣2）2，其中x＝2．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝9x2﹣4+x2﹣4x+4
＝10x2﹣4x，
当x＝2时，原式＝10×22﹣4×2＝40﹣8＝32．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
21．（8分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．现将△ABC平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）在图中画出平移后的△DEF；
（2）分别连接AD、BE，则AD与BE的数量关系为 AD＝BE ，位置关系为 AD∥BE ；
（3）直接写出四边形ABED的面积为 16.5 ．
【分析】（1）根据平移的性质找到对应点D，E，F，顺次连接即可求解；
（2）根据平移的性质即可求解；
（3）根据割补法求得四边形ABED面积即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求：
（2）分别连接AD，BE，则AD与BE的数量关系为 AD＝BE，位置关系为AD∥BE，
故答案为：AD＝BE；AD∥BE．
（3）四边形ABED的面积＝＝16.5，
故答案为：16.5．
【点评】本题考查了平移作图问题，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
22．（8分）如图，AD平分∠BAC，过点D作∠EDA＝∠EAD，交AB于点E．问：DE与AC平行吗？试说明理由．
【分析】根据角平分线定义及等量代换求出∠EDA＝∠CAD，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【解答】解：DE∥AC，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠EDA＝∠EAD，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴DE∥AC．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
23．（8分）如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，求∠2的度数．
【分析】过点B作BE∥l1，过点C作CF∥l2，则BE∥CF∥l1∥l2，由平行线的性质可得出∠1＝∠ABE＝40°，∠CBE＝∠BCF，再由∠α＝∠β可得出∠ABE＝∠DCF＝∠1，根据CF∥l2即可得出结论．
【解答】解：过点B作BE∥l1，过点CF∥l2，则BE∥CF∥l1∥l2，
∵BE∥l1，
∴∠1＝∠ABE＝40°．
∵CF∥BE，
∴∠CBE＝∠BCF．
∵∠α＝∠β，
∴∠ABE＝∠DCF＝∠1．
∵CF∥l2，
∴∠2＝180°﹣∠DCF＝180°﹣40°＝140°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
24．（8分）如图，DF∥AC，点E在DF上，点B在AC上，∠1＝∠2，请将说明∠C＝∠D的过程补充完整．
解：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠3（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴ BD ∥ CE （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠C＝∠ABD（ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵DF∥AC（已知），
∴∠ABD＝∠ D （ 两直线平行，内错角相等 ），
∴∠C＝∠D（等量代换）．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）．
∵DF∥AC（已知），
∴∠ABD＝∠D（两直线平行，内错角相等），
∴∠C＝∠D（等量代换）．
故答案为：对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；D；两直线平行，内错角相等．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
25．（12分）如图，已知在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC和AB边上的高，它们交于点F．
（1）若∠A、∠ABC和∠ACB的度数之比为2：3：4．
①则∠A＝ 40 °，∠ABC＝ 60 °；
②∠BFC＝ 140 °；
（2）若∠BAC＝50°，则∠BFC＝ 130 °；
（3）∠BFC与∠BAC之间满足怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）①根据∠A、∠ABC和∠ACB的度数之比为2：3：4，设∠A＝2α，∠ABC＝3α，∠ACB＝4α，再根据三角形的内角和定理可求出α＝20°，进而可得∠A和∠ABC的度数；
②先求出∠ABD＝50°，再根据三角形的外角定理可得∠BFC的度数；
（2）先求出∠ABD＝40°，再根据三角形的外角定理可得∠BFC的度数；
（3）先求出∠ABD＝90°﹣∠BAC，再根据三角形的外角定理∠BFC＝∠BEC+∠ABD，据此可得出∠BFC与∠BAC之间满足的数量关系．
【解答】解：（1）①∵∠A、∠ABC和∠ACB的度数之比为2：3：4，
∴可设∠A＝2α，∠ABC＝3α，∠ACB＝4α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴2α+3α+4α＝180°，
解得：α＝20°，
∴∠A＝2α＝40°，∠ABC＝3α＝60°，
故答案为：40；60．
②∵∠A＝40°，BD、CE分别是AC和AB边上的高，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝50°，
∵∠BFC是△BEF的一个外角，
∴∠BFC＝∠BEC+∠ABD＝90°+50°＝140°，
故答案为：140．
（2）∵∠BAC＝50°，BD、CE分别是AC和AB边上的高，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAC＝40°，
∵∠BFC是△BEF的一个外角，
∴∠BFC＝∠BEC+∠ABD＝90°+40°＝130°，
故答案为：130．
（3）∠BFC与∠BAC之间满足的数量关系是∠BFC+∠BAC＝180°，理由如下：
∵BD、CE分别是AC和AB边上的高，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∵∠BFC是△BEF的一个外角，
∴∠BFC＝∠BEC+∠ABD＝90°+90°﹣∠BAC＝180°﹣∠BAC，
即∠BFC+∠BAC＝180°．
【点评】此题主要考查了三角形高的定义，三角形的内角和定理和三角形的外角定理，准确识图，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角定理是解决问题的关键．
26．（12分）将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若a﹣b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a﹣b＝3，所以（a﹣b）2＝9，即a2﹣2ab+b2＝9．
又因为ab＝1，所以a2+b2＝11．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．
（1）简单应用：若x+y＝10，x2+y2＝60，求xy的值；
（2）实际应用：如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE．连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a+b＝8，ab＝15．求阴影部分的面积；
（3）拓展应用：若（2023﹣m）2+（m﹣2012）2＝85，（2023﹣m）（m﹣2012）的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求解即可；
（2）由题可知：阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积+正方形BGFE的面积﹣△DAM的面积﹣△MGF的面积，代入求解即可；
（3）设2023﹣m＝a，m﹣2012＝b，则a+b＝11，（2023﹣m）2+（m﹣2012）2＝85，因此a2+b2＝85，可得（2023﹣m）（m﹣2012）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2，代入求解即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝10，x2+y2＝60，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴102＝60+2xy，
解得：xy＝20．
（2）∵M是AG的中点，AB＝a，BG＝b，且a+b＝8，ab＝15，
∴AM＝MG＝＝4，
由题可知：阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积+正方形BGFE的面积﹣△DAM的面积﹣△MGF的面积，
∴阴影部分的面积＝a2+b2﹣×4×a﹣×4×b
＝（a+b）2﹣2ab﹣2×（a+b）
＝82﹣2×15﹣2×8
＝18．
（3）设2023﹣m＝a，m﹣2012＝b，则a+b＝11，
∵（2023﹣m）2+（m﹣2012）2＝85，
∴a2+b2＝85，
∴（2023﹣m）（m﹣2012）
＝ab
＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2
＝（112﹣85）÷2
＝36÷2
＝18．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式和完全平方公式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
27．（14分）柳树湾公园某处河道两岸所在直线互相平行（AB∥CD），在河道两岸安装探照灯P和灯Q，灯P和灯Q在如图所示的位置．若灯P的光束自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q的光束自QD逆时针旋转至QC便立即回转．设灯P转动的速度是6度/秒，灯Q转动的速度是2度/秒．
（1）灯P自PA转至PB需要的时间为 30 秒，灯Q自QD转至QC需要的时间为 90 秒；
（2）若灯Q先转动10秒，灯P才开始转动．
①如图1，灯P转动20秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ；
②当灯Q的光束第一次到达QC之前，请求出灯P开启多长时间两灯的光束互相平行？
【分析】（1）依据由题，对于P：t＝＝30（秒），对于Q：t＝＝90（秒），进而得解；
（2）①依据题意，Q先转动10秒，此时Q旋转的度数为：10×2°＝20°，此时P才开始转动，从而当P转动20秒时，Q在20秒内又转动了40°，而P旋转了120°，即∠APM＝120°，故Q一共旋转的度数为60度，即∠MQD＝60°，又作MN∥AB，从而可得∠NMQ＝∠MQD＝60°，结合MN∥AB，则∠BPM＝∠PMN，∠APM+∠PMN＝180°，进而∠BPM+∠MQD＝∠PMN+∠NMQ＝∠PMQ，又∠APM＝120°，进而计算可以得解；
②依据题意，由①可得，只要射线PM与射线QM存在交点M，则有∠PMQ＝∠APM+∠MQD，从而若想两束光线平行，则如图2所示，可得∠BPG+∠HQD＝180°，再设灯P开启t后两灯光束平行，从而∠DQH＝20°+2t，∠APG＝6t，则∠BPG＝180°﹣6t，进而（180°﹣6t）+（20°+2t）＝180°，计算即可得解．
【解答】解：（1）对于P：t＝＝30（秒），对于Q：t＝＝90（秒）．
故答案为：30；90．
（2）①∵Q先转动10秒，
∴此时Q旋转的度数为：10×2°＝20°，此时P才开始转动．
∴当P转动20秒时，Q在20秒内又转动了40°，而P旋转了120°，即∠APM＝120°．
综上，Q一共旋转的度数为：20+40＝60（度），即∠MQD＝60°，而P转动了120°．
如图1，作MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠NMQ＝∠MQD＝60°．
∵MN∥AB，
∴∠BPM＝∠PMN，∠APM+∠PMN＝180°．
∴∠BPM+∠MQD＝∠PMN+∠NMQ＝∠PMQ．
∵∠APM＝120°，
∴∠PMN＝180°﹣∠APM＝60°．
∴∠PMQ＝∠PMN+∠NMQ＝60°+60°＝120°．
②由①可得，只要射线PM与射线QM存在交点M，则有∠PMQ＝∠APM+∠MQD．
∴若想两束光线平行，则如图2所示，
可得∠BPG+∠HQD＝180°．
设灯P开启t后两灯光束平行，
∴∠DQH＝20°+2t，∠APG＝6t．
∴∠BPG＝180°﹣6t．
∴（180°﹣6t）+（20°+2t）＝180°．
∴t＝5．
∴灯P开启5秒后两灯的光束平行．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用、平行线的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/20 7:41:21；用户：试用号；邮箱：；学号：
2024-2025学年江苏省淮安市七年级下学期期中数学检测试卷（二）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案写在答题纸上）
1．（3分）下列是二元一次方程的是（ ）
A．2x2＝y﹣1B．x﹣3y＝5C．2x﹣1＝3D．3x+4
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（mn）2＝m2n2B．m2+m3＝m5
C．m2÷n2＝1D．m2•m3＝m6
3．（3分）不等式3x+5＞8的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）若am＝3，则a2m的值为（ ）
A．6B．27C．3D．9
5．（3分）已知3a+4b＝7，则6a+8b﹣2的值为（ ）
A．7B．12C．﹣12D．5
6．（3分）某饮料标签上标有“脂肪含量≤0.8%”，那么100克该饮料中最多含有脂肪多少克？（ ）
A．0克B．2克C．1.6克D．0.8克
7．（3分）育才中学初一年级某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了184元购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）计算可知：71＝7，72＝49，73＝343，…，以此可以推断出72023的个位数字是（ ）
A．3B．9C．7D．1
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分；请将答案写在答题纸上）
9．（3分）计算：a4÷a2＝ ．
10．（3分）在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为 ．
11．（3分）若m＜n，则﹣3m+2 ﹣3n+2（用“＞”，“＝”或“＜”填空）．
12．（3分）计算：＝ ．
13．（3分）若（x+2）（x﹣4）＝x2+ax﹣8，则a的值为 ．
14．（3分）已知二元一次方程组的解满足x﹣y＝1，则k的值是 ．
15．（3分）已知二元一次方程x﹣2y＝7，当x＞1时，y的取值范围是 ．
16．（3分）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为6，宽为5的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分周长和是 ．
三、解答题（本大题共10小题，6+6+4+5+6+6+7+10+12+10＝72分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）（a+2）（2a﹣1）．
18．（6分）因式分解：
（1）4a2﹣12a；
（2）a2b+2ab+b．
19．（4分）解二元一次方程组：．
20．（5分）解不等式组，并利用数轴确定解集．
21．（6分）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）﹣3x2，其中．
22．（6分）小明、小丽两人同时解方程组，请根据两人对话，求出ab的值．
23．（7分）某公司要将800吨货物运往甲地．已知A型车每辆可装25吨，B型车每辆可装30吨．现公司决定租用10辆A型车，在每辆车不超载的前提下，要把这批货物一次性运完，至少需要租用B型车多少辆？
24．（10分）数学活动课上，老师把一个边长a+b的正方形分割成4块，如图所示．
（1）请用两种不同方法表示阴影部分面积：方法1： ；方法2： ．
（2）根据阴影部分面积关系，可以得到等式： ．
（3）根据（2）中的等式，解决如下问题：
①已知a2+b2＝10，ab＝3，求（a+b）2．
②若（5﹣x）x＝3，求（5﹣x）2+x2的值．
25．（12分）又是一年春光好，江淮大地植树忙，某商家销售A，B两种果苗，进价分别为70元，50元，如表是近两天的销售情况：
（1）求A，B两种果苗的销售单价；
（2）若该商家购进这两种果苗总计50棵，购进费用不超过2900元，则最多购进A种果苗多少棵？
（3）在（2）的条件下，要想使得该商家销售这50棵果苗的利润不低于1345元，请你写出相应的购买方案，并说明理由．
26．（10分）【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c满足a2+b2＝c2，那么a，b，c称为一组“完美数”．例如，32+42＝52，则称3，4，5是一组“完美数”．
【问题解决】：
（1）下列数组：①1，2，3；②5，7，8；③5，12，13，其中是“完美数”的有 （直接填序号）；
（2）“完美数”有很多的构造方法．求证：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2﹣n2，2mn，m2+n2一定是“完美数”；
（3）①若按（2）中的方法构造出的一组“完美数”中最大数与最小数的和为50，则m＝ ；
②若按（2）中的方法构造出的一组“完美数”中最大数是2t2+14t+25（t是任意正整数），则这组“完美数”中的最小数为 （用含t的代数式表示）．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案写在答题纸上）
1．（3分）下列是二元一次方程的是（ ）
A．2x2＝y﹣1B．x﹣3y＝5C．2x﹣1＝3D．3x+4
【分析】含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程，根据定义判断即可．
【解答】解：A、最高次数是2，不符合定义，故不符合题意；
B、符合定义，故符合题意；
C、只含有一个未知数，不符合定义，故不符合题意；
D、不是方程，不符合定义，故不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（mn）2＝m2n2B．m2+m3＝m5
C．m2÷n2＝1D．m2•m3＝m6
【分析】根据积的乘方运算可判断A，根据合并同类项可判断B，根据同底数幂的除法可判断C，根据同底数幂的乘法可判断D，从而可得答案．
【解答】解：（mn）2＝m2n2，故A符合题意；
m2+m3≠m5，m2与m3不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
m2，n2不是同底数幂的除法，运算错误，故C不符合题意；
m2•m3＝m5，运算错误，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，熟记运算法则是解本题的关键．
3．（3分）不等式3x+5＞8的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：∵3x+5＞8，
∴3x＞8﹣5，
∴3x＞3，
则x＞1，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4．（3分）若am＝3，则a2m的值为（ ）
A．6B．27C．3D．9
【分析】由a2m＝（am）2，再把am＝3代入即可．
【解答】解：∵am＝3，
∴a2m＝（am）2＝32＝9，
故选：D．
【点评】本题考查的是幂的乘方的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键．
5．（3分）已知3a+4b＝7，则6a+8b﹣2的值为（ ）
A．7B．12C．﹣12D．5
【分析】将6a+8b﹣2变形为2（3a+4b）﹣2，然后再整体代入计算即可．
【解答】解：∵3a+4b＝7，
∴6a+8b﹣2
＝2（3a+4b）﹣2
＝2×7﹣2
＝12．
故选：B．
【点评】本题主要考查了代数式求值，掌握代数式的求值方法是解答本题的关键．
6．（3分）某饮料标签上标有“脂肪含量≤0.8%”，那么100克该饮料中最多含有脂肪多少克？（ ）
A．0克B．2克C．1.6克D．0.8克
【分析】由“脂肪含量≤0.8%”，可得最高含量的百分比，再列式计算即可．
【解答】解：由题意可得：100克该饮料中最多含有脂肪100×0.8%＝0.8（克），
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的含义，有理数的乘法运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．
7．（3分）育才中学初一年级某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了184元购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据花了184元钱购买甲乙两种奖品共20件，列方程组．
【解答】解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
由题意得，．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
8．（3分）计算可知：71＝7，72＝49，73＝343，…，以此可以推断出72023的个位数字是（ ）
A．3B．9C．7D．1
【分析】由71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，••••••可得个位数为4个数循环，从而可得答案．
【解答】解：∵71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，••••••
∴个位数为4个数循环，
而2023÷4＝505……3，
∴72023的个位数字是3．
故选：A．
【点评】本题考查的是乘方的含义，数字规律的探究，归纳出个位数为4个数循环是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分；请将答案写在答题纸上）
9．（3分）计算：a4÷a2＝ a2 ．
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．
【解答】解：原式＝a4﹣2＝a2．
故答案为：a2．
【点评】此题考查了同底数幂的除法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法法则．
10．（3分）在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为 7.7×10﹣4 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00077＝7.7×10﹣4，
故答案为：7.7×10﹣4．
【点评】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．（3分）若m＜n，则﹣3m+2 ＞ ﹣3n+2（用“＞”，“＝”或“＜”填空）．
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：∵m＜n，
∴﹣3m＞﹣3n，
∴﹣3m+2＞﹣3n+2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
12．（3分）计算：＝ 5 ．
【分析】先把原式化为×5，再计算即可．
【解答】解：×5101＝×5＝（﹣1）100×5＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法的逆用，熟记法则并灵活应用是解本题的关键．
13．（3分）若（x+2）（x﹣4）＝x2+ax﹣8，则a的值为 ﹣2 ．
【分析】利用多项式乘多项式去括号后即可得到答案．
【解答】解：∵（x+2）（x﹣4）＝x2﹣2x﹣8，
又（x+2）（x﹣4）＝x2+ax﹣8，
∴a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，正确掌握计算法则是解题的关键．
14．（3分）已知二元一次方程组的解满足x﹣y＝1，则k的值是 4 ．
【分析】将方程组中的两个方程相减，得到2x﹣2y＝6﹣k，结合x﹣y＝1即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴①﹣②得2x﹣2y＝6﹣k，
∵x﹣y＝1，
∴6﹣k＝2（x﹣y）＝2，
解得k＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了特殊法解二元一次方程组，正确掌握方程组与x﹣y＝1的关系是解题的关键．
15．（3分）已知二元一次方程x﹣2y＝7，当x＞1时，y的取值范围是 y＞﹣3 ．
【分析】由x﹣2y＝7可得x＝2y+7，再利用x＞1，可得2y+7＞1，从而可得答案．
【解答】解：∵x﹣2y＝7，
∴x＝2y+7，
∵x＞1，
∴2y+7＞1，
∴2y＞﹣6，
解得：y＞﹣3．
故答案为：y＞﹣3．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解的含义，一元一次不等式的解法，利用x＞1建立不等式是解本题的关键．
16．（3分）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为6，宽为5的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分周长和是 20 ．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，则可用x，y表示出左侧阴影部分的周长和右侧阴影部分的周长，再相加即可．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
则左侧阴影部分的长为x，宽为5﹣2y；右侧阴影部分的长为2y，宽为5﹣x，
∴左侧阴影部分的周长为（x+5﹣2y）×2＝2x+10﹣4y；右侧阴影部分的周长为（2y+5﹣x）×2＝4y+10﹣2x，
∴图②中两块阴影部分周长和是2x+10﹣4y+4y+10﹣2x＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查整式加减的应用．利用数形结合的思想是解题关键．
三、解答题（本大题共10小题，6+6+4+5+6+6+7+10+12+10＝72分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）（a+2）（2a﹣1）．
【分析】（1）先分别计算有理数的乘方，零指数幂与负整数指数幂，再合并即可；
（2）按照多项式乘以多项式的法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
＝﹣8+1﹣（﹣3）
＝﹣8+1+3
＝﹣4；
（2）（a+2）（2a﹣1）
＝2a2﹣a+4a﹣2
＝2a2+3a﹣2．
【点评】本题考查的是有理数的乘方，零指数幂与负整数指数幂的含义，多项式乘以多项式的运算，熟记运算法则是解本题的关键．
18．（6分）因式分解：
（1）4a2﹣12a；
（2）a2b+2ab+b．
【分析】（1）提取公因式4a即可；
（2）先提取公因式b，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）4a2﹣12a＝4a（a﹣3），
（2）a2b+2ab+b＝b（a2+2a+1）＝b（a+1）2．
【点评】本题考查的是提公因式分解因式，综合提公因式与公式法分解因式，熟记分解因式的方法是解本题的关键．
19．（4分）解二元一次方程组：．
【分析】由方程①可得x＝2y，再利用代入消元法解方程组即可．
【解答】解：，
由①得x＝2y③，
把③代入②得：7y＝7，
解得：y＝1，
把y＝1代入③得：x＝2，
∴方程组的解为：．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练的利用代入法解二元一次方程组是解本题的关键．
20．（5分）解不等式组，并利用数轴确定解集．
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再画图，确定不等式组的解集即可．
【解答】解：
由①得：x≤3，
由②得：3x＞2x﹣2，
∴x＞﹣2，
在数轴上表示不等式的解集如下：
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤3．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练的解一元一次不等式组是解本题的关键．
21．（6分）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）﹣3x2，其中．
【分析】先利用完全平方公式与平方差公式进行乘法运算，再合并得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可．
【解答】解：（2x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）﹣3x2＝4x2﹣4x+1﹣x2+1﹣3x2＝﹣4x+2；
当时，
原式＝．
【点评】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，熟练的利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算是解本题的关键．
22．（6分）小明、小丽两人同时解方程组，请根据两人对话，求出ab的值．
【分析】先把代入4x﹣by＝﹣2，再把代入ax+5y＝15，再解方程即可得到答案．
【解答】解：把代入4x﹣by＝﹣2，
∴﹣12+b＝﹣2，
∴b＝10，
把代入ax+5y＝15，
∴5a+20＝15，
解得：a＝﹣1，
∴ab＝﹣1×10＝﹣10．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的错解问题，理解题意，利用代入法解方程是解本题的关键．
23．（7分）某公司要将800吨货物运往甲地．已知A型车每辆可装25吨，B型车每辆可装30吨．现公司决定租用10辆A型车，在每辆车不超载的前提下，要把这批货物一次性运完，至少需要租用B型车多少辆？
【分析】设租用B型车x辆，列不等式求解即可．
【解答】解：设租用B型车x辆，
由题意得25×10+30x≥800，
解得，
∵x是正整数，
∴x的最小整数解为19，
答：至少需要租用B型车19辆．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．
24．（10分）数学活动课上，老师把一个边长a+b的正方形分割成4块，如图所示．
（1）请用两种不同方法表示阴影部分面积：方法1： a2+b2， ；方法2： （a+b）2﹣2ab ．
（2）根据阴影部分面积关系，可以得到等式： a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ．
（3）根据（2）中的等式，解决如下问题：
①已知a2+b2＝10，ab＝3，求（a+b）2．
②若（5﹣x）x＝3，求（5﹣x）2+x2的值．
【分析】（1）由阴影部分的面积的两种不同的计算方法可得答案；
（2）由阴影部分的面积不变建立等式即可；
（3）①直接利用推导公式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得答案；②设5﹣x＝a，x＝b，则ab＝3，a+b＝5，再利用推导公式进行计算即可．
【解答】解：（1）方法1：；
方法2：；
（2）根据阴影部分的面积可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①∵a2+b2＝10，ab＝3，（a+b）2﹣2ab＝a2+b2
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝10+6＝16；
②设5﹣x＝a，x＝b，则ab＝3，a+b＝5，
∴（5﹣x）2+x2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19．
【点评】本题考查的是完全平方公式的变形与几何图形的面积，利用完全平方公式的变形求值，熟练的推导公式并灵活应用是解本题的关键．
25．（12分）又是一年春光好，江淮大地植树忙，某商家销售A，B两种果苗，进价分别为70元，50元，如表是近两天的销售情况：
（1）求A，B两种果苗的销售单价；
（2）若该商家购进这两种果苗总计50棵，购进费用不超过2900元，则最多购进A种果苗多少棵？
（3）在（2）的条件下，要想使得该商家销售这50棵果苗的利润不低于1345元，请你写出相应的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设A，B两种果苗的销售单价分别为x元，y元，再根据表格信息建立方程组即可；
（2）设最多购进A种果苗m棵，根据购进费用不超过2900元，再列不等式即可；
（3）设购进A种果苗m棵，根据商家销售这50棵果苗的利润不低于1345元，列不等式，再结合（2）可得答案．
【解答】解：（1）设A，B两种果苗的销售单价分别为x元，y元，
∴，
解得：，
答：A，B两种果苗的销售单价分别为100元，75元．
（2）设最多购进A种果苗m棵，则70m+50（50﹣m）≤2900，
解得：m≤20，
答：最多购进A种果苗20棵．
（3）设购进A种果苗m棵，则（100﹣70）m+（75﹣50）（50﹣m）≥1345，
解得：m≥19，
∵m≤20，
∴19≤m≤20，
∵m为正整数，
∴m＝19或m＝20，
∴有两种购买方案：①购买A种树苗19棵，B种树苗31棵；②购买A种树苗20棵，B种树苗30棵．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式以及不等式组的应用，确定相等关系与不等关系建立方程组或不等式（组）是解本题的关键．
26．（10分）【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c满足a2+b2＝c2，那么a，b，c称为一组“完美数”．例如，32+42＝52，则称3，4，5是一组“完美数”．
【问题解决】：
（1）下列数组：①1，2，3；②5，7，8；③5，12，13，其中是“完美数”的有 ③ （直接填序号）；
（2）“完美数”有很多的构造方法．求证：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2﹣n2，2mn，m2+n2一定是“完美数”；
（3）①若按（2）中的方法构造出的一组“完美数”中最大数与最小数的和为50，则m＝ 5 ；
②若按（2）中的方法构造出的一组“完美数”中最大数是2t2+14t+25（t是任意正整数），则这组“完美数”中的最小数为 2t+7 （用含t的代数式表示）．
【分析】（1）根据定义计算判断即可；
（2）利用完全平方公式计算得到（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，由此判断；
（3）①根据m2+n2＞m2﹣n2，m2+n2＞2mn，再分情况讨论即可得到答案；
②将m2+n2＝2t2+14t+25得到m2+n2＝（t+4）2+（t+3）2，由此得到m＝t+4，n＝t+3，分别计算m2﹣n2，2mn即可得到答案．
【解答】（1）解：∵12+22≠32，52+72≠82，52+122＝132，
∴是“完美数”的有③，
故答案为：③；
（2）证明：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4＝（m2+n2）2，（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，
∴（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，
∴m2﹣n2，2mn，m2+n2是“完美数”；
（3）解：①∵m2+n2＞m2﹣n2，m2+n2＞2mn，
∴当2mn最小时，m2+n2+2mn＝50，即（m+n）2＝50，
∴，
∵m，n为任意正整数，
∴舍去；
当m2﹣n2最小时，m2+n2+m2﹣n2＝50，即2m2＝50，
∴m＝5（负值舍去），
故答案为：5；
②由题意得m2+n2＝2t2+14t+25＝t2+8t+16+t2+6t+9＝（t+4）2+（t+3）2，
∵t是正整数，
∴t+4＞t+3，
∴m＝t+4，n＝t+3，
∴m2﹣n2＝（t+4）2﹣（t+3）2＝2t+7，2mn＝2（t+4）（t+3）＝2t2+14t+24＞2t+7，
∴这组“完美数”中的最小数为2t+7，
故答案为：2t+7．
【点评】此题考查了完全平方公式的应用，正确掌握利用完全平方公式因式分解的方法是解题的关键．
著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/20 7:42:06；用户：试用号；邮箱：；学号：
销售量/棵
销售收入/元
A果苗
B果苗
第一天
4
3
625
第二天
5
5
875
销售量/棵
销售收入/元
A果苗
B果苗
第一天
4
3
625
第二天
5
5
875