2024-2025学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(−1,2,1)，b=(3,x,y)，且a//b，那么实数x+y等于( )
A. 3B. −3C. 9D. −9
2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(3 2,2)，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为( )
A. x23−y2=1B. x2−y23=1C. x26−y22=1D. x2−4y2=1
3.在公差不为0的等差数列{an}中，a3，a7，am是公比为2的等比数列，则m=( )
A. 11B. 13C. 15D. 17
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的是( )
A. 若a6>0，则S2n0，则S2n>0
C. 若a5>0，则S2n+10，则S2n+1>0
5.在数列{an}中，a1=12且(n+2)an+1=nan，则它的前30项和S30=( )
A. 3031B. 2930C. 2829D. 1929
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm−1=−2，Sm=0，Sm+1=3，则m等于( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
7.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x−4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. (0, 32]B. (0,34]C. [ 32,1)D. [34,1)
8.已知数列{an}满足an+1=an+an2，a1=13，且i=120251ai+1∈[m,m+1),m∈N∗，则m等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，则下列命题中正确的有( )
A. 直线l恒过定点(3,1)
B. 圆C被y轴截得的弦长为4 6
C. 直线l与圆C恒相交
D. 当直线l被圆C截得的弦长最小时，直线l的方程为2x−y+5=0
10.对于无穷数列{an}，下列命题中正确的是( )
A. 若{an}既是等差数列，又是等比数列，则{an}是常数列
B. 若等差数列{an}满足|an|≤2025，则{an}是常数列
C. 若等比数列{an}满足|an|≤2025，则{an}是常数列
D. 若各项为正数的等比数列{an}满足1≤an≤2025，则{an}是常数列
11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点P满足B1P=λB1D1(λ∈R,λ∈[0,1])，则以下结论正确的为( )
A. ∃λ∈[0,1]，使直线A1P⊥平面PB1B
B. ∀λ∈[0,1]，三棱锥P−A1BD体积为定值43
C. 当λ=13时，点P到AC的距离为 5
D. 当λ=12时，三棱锥P−A1BD的外接球表面积为11π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知动圆P与圆F1：(x+2)2+y2=81相切，且与圆F2：(x−2)2+y2=1内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为______．
13.记Sn为数列{an}的前n项和.已知3Snn+n=3an+1，a1=23，则数列{an}的通项公式是 ．
14.给定圆P：x2+y2=2x及抛物线S：y2=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次为A，B，C，D；如果线段AB，BC，CD的长度按此顺序构成一个等差数列，则直线l的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn=nan3.已知a1，3a2，9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Tn为{bn}的前n项和，证明：Tn0)交于M，N两点，|MN|=8 15，O为坐标原点．
(1)求p；
(2)过点P(3,2)作直线l交抛物线C1于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积．
17.(本小题12分)
如图，已知四棱锥P−ABCD，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E为PC中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE；
(3)求二面角A−BE−C的余弦值．
18.(本小题12分)
已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(3, 2)，离心率为2 33，左、右焦点分别为F1，F2，点P为直线l：x+y=1上且不在x轴上的一点，直线PF1和PF2与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2．
(i)证明：1k1+3k2为定值；
(ii)直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
将有穷数列{an}(n≥3)任两项之和按升序排列成一个新数列，称这个新数列为{an}的伴随数列.若{an}的伴随数列是公差不为0的等差数列，称{an}具有性质P．
(1)判断数列1，2，3和数列1，3，5，7是否具有性质P；
(2)若递增数列1，3，x，y(x,y∈N∗)具有性质P，求x和y的值；
(3)若有穷数列{an}具有性质P，求n的最大值．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.D
5.A
6.D
7.A
8.B
9.ABC
10.ABD
11.ABD
12.x216+y212=1
13.an=23n
14. 2x±y− 2=0
15.解：(1){an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn=nan3．
已知a1，3a2，9a3成等差数列，
所以6a2=a1+9a3，又a2=a1q=q，a3=a1q2=q2，
即9q2−6q+1=0，解得q=13，所以an=(13)n−1，
所以bn=nan3=n3n．
(2)证明：由(1)可得Tn=b1+b2+b3+...+bn=13+232+333+...+n−13n−1+n3n，
13Tn=132+233+⋯+n−13n+n3n+1，
两式相减可得23Tn=13+132+133+⋯+13n−n3n+1=13(1−13n)1−13−n3n+1=12(1−13n)−n3n+1，
所以Tn=34(1−13n)−n2⋅3n0,b>0)过点(3, 2)，离心率为2 33，
所以9a2−2b2=1ca=2 33a2+b2=c2，所以a= 3b=1c=2，
因此x23−y2=1．
(2)(i)证明：因为F1(−2,0)，F2(2,0)，PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上．
因此k1≠k2，k1≠0，k2≠0．
又因为PF1、PF2的方程分别为y=k1(x+2)，y=k2(x−2)，
联立方程解得x=2(k1+k2)k2−k1y=4k1k2k2−k1，因此P(2(k1+k2)k2−k1,4k1k2k2−k1)，
因为P在x+y=1上，因此2(k1+k2)k2−k1+4k1k2k2−k1=1，
所以4k1k2+3k1+k2=0，因此1k1+3k2=−4为定值．
(ii)设A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，
联立PF1和双曲线得y=k1(x+2)x2−3y2=3，
可得(1−3k12)x2−12k12x−12k12−3=0，根据根的判别式Δ=12k12+12>0，
所以根据韦达定理可得xAxB=−12k12−31−3k12，xA+xB=12k121−3k12，
因此kOA+kOB=yAxA+yBxB=k1(xA+2)xA+k1(xB+2)xB=2k1+2k1xA+xBxAxB
=k1(2+24k12−12k12−3)=2k14k12+1，同理可得：kOC+kOD=2k24k22+1，
所以由kOA+kOB+kOC+kOD=0得k1+k2=0或k1k2=−14，
①当k1k2=−14时，由(i)的结论可得k2=32或k2=−12(舍去)，
此时直线CD的方程为y=32(x−2)与x+y=1联立得x=85，y=−35，
所以P(85,−35)；
②当k1+k2=0时，由(i)的结论可得k1=12k2=−12，解得P点的坐标为(0,1)．
经检验，两种情况均符合要求．
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为P(85,−35)，P(0,1)．
19.解：(1)根据题目定义：将有穷数列{an}(n≥3)任两项之和按升序排列成一个新数列，
称这个新数列为{an}的伴随数列．若{an}的伴随数列是公差不为0的等差数列，称{an}具有性质P．
数列1，2，3的伴随数列为3，4，5为公差不为0的等差数列，所以数列1，2，3具有性质P；
数列1，3，5，7的伴随数列为4，6，8，8，10，12不为等差数列，所以数列1，3，5，7不具有性质P．
(2)根据题目定义：将有穷数列{an}(n≥3)任两项之和按升序排列成一个新数列，
称这个新数列为{an}的伴随数列．若{an}的伴随数列是公差不为0的等差数列，称{an}具有性质P．
因为递增数列1，3，x，y具有性质P，
所以伴随数列的项为4，1+x，1+y，3+x，3+y，x+y．
①若4