2024-2025学年广东省深圳实验学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳实验学校高一（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，且B⊆A，则P(AB)=( )
A. 0.5B. 0.4C. 0.9D. 0.2
2.已知向量a=(4,m)，b=(m−2,2)，若a与b共线，则m=( )
A. −4B. 4C. −2D. −2或4
3.在△ABC中，“AB⋅AC>0”是“△ABC为锐角三角形”的( )条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A. 棱柱
B. 棱台
C. 棱柱与棱锥的组合体
D. 不能确定
5.下列说法正确的是( )
A. 数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5
B. 若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则a=7
C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D. 若x1，x2，⋯，x10的标准差为4，则−2x1+3，−2x2+3，−2x3+3，…，−2x10+3的标准差是8
6.已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内的一点，且AM=λAB+μAC，若λ+μ=12，则MB⋅MC的最小值为( )
A. 12B. −12C. −14D. 14
7.我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等．利用此原理求以下几何体的体积：曲线y=x2(0≤y≤L)绕y轴旋转一周得几何体Z，将Z放在与y轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z的顶点O距离为l的平面截几何体Z，得截面圆的面积为π( l)2=πl.由此构造右边的几何体Z1：其中AC⊥平面α，AC=L，AA1⊂α，AA1=π，它与Z在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ为矩形，且PQ=π，FP=l，则几何体Z的体积为( )
A. πL2B. πL3C. 12πL2D. 12πL3
8.如图，在棱长为 6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是△A1BC1内(包含边界)的一个动点，当PB1+PD=2+ 10时，点P的轨迹长度是( )
A. 2π
B. 34π
C. 22π
D. 2 2π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设z是复数，z−是其共轭复数，则下列结论中正确的是( )
A. z2≥0B. |z|2=z2C. |z|2=z⋅z−D. z+z−必是实数
10.△ABC满足sinA：sinB：sinC=2： 7：3，且S△ABC=6 3，则( )
A. △ABC三个内角A，B，C满足关系A+C=2B
B. △ABC的周长为10+2 7
C. 若∠B的角平分线与AC交于D，则BD的长为6 35
D. 若E为△ABC外接圆上任意一点，则AE⋅AC的最大值为14+28 33
11.空间中有一个球体和一个棱长为2的正方体，正方体有且仅有两个面所在的平面与球体相切，又有且仅有两个顶点在球面上，则满足条件的球体的半径可以是( )
A. 1B. 2C. 4− 7D. 4+ 7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量b=(2,4)在向量a=(−1,1)上的投影向量为______．
13.某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为______．
14.如图，在△ABC中，B=π3，AB=2，点M满足AM=13AC,BM⋅AC=43，O为BM中点，点N在线段BC上移动(包括端点)，则OA⋅ON的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在三棱锥P−ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：
(1)直线PA//平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC．
16.(本小题15分)
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m−=(sinC,csC)，n=(2sinA− 3csB,− 3sinB)，且m⊥n，且角C是锐角．
(1)求角C的值；
(2)若c= 3，求△ABC的面积的最大值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB=60°，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，G为边AD的中点．
(1)求证：BG⊥平面PAD；
(2)若BG与AC交于点E，设点F是棱AP上一动点，试确定点F的位置，使得EF//平面PBC，并证明你的结论；
(3)求二面角P−AC−B的正切值．
18.(本小题17分)
数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字1时，收到的数字是1的概率为α(0