湖北省2024年中考数学试卷附真题解析

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收20元记作+20元，则支出10元记作（ ）
A．+10元B．﹣10元C．+20元D．﹣20元
【答案】B
【解析】【解答】解：∵收20元记作+20元，
∴出10元记作-10，
故答案为：B
【分析】根据正数与负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2．如图，是由4个相同的正方体组成的立方体图形，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得其主视图是
故答案为：A.
【分析】根据组合体的三视图结合题意画出其主视图即可求解。
3．2x•3x2的值是（ ）
A．5x2B．5x3C．6x2D．6x3
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得2x•3x2的值是6x3
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法结合题意进行计算即可求解。
4．如图，直线AB∥CD，已知∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1＝120°，
∴∠2=60°，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质得到∠1+∠2=180°，进而结合已知条件即可求解。
5．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：解不等式x+1≥2得x≥1，
∴在数轴上表示为
故答案为：A
【分析】先根据题意解不等式，进而得到不等式的解集，再表示在数轴上即可求解，在数轴上表示解集是，大于向右，小于向左，有等实心，无等空心。
6．下列各事件，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3
B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是红灯
D．画一个三角形，其内角和为180°
【答案】D
【解析】【解答】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，A不符合题意；
B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，B不符合题意；
C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，C不符合题意；
D、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据随机事件和必然事件的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
7．《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设每头牛值x金，每只羊值y金，由题意得
故答案为：A
【分析】设每头牛值x金，每只羊值y金，根据“牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金”即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
8．AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以DE为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP．则∠ABP＝（ ）
A．40°B．25°C．20°D．15°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵为半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
由作图得是的角平分线，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据圆周角定理得到，进而进行角的运算求出∠ABC的度数，再根据作图-角的平分线和角平分线的定义即可求解。
9．平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（4，6）B．（6，4）
C．（﹣4，﹣6）D．（﹣6，﹣4）
【答案】B
【解析】【解答】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，如图所示：
由题意得，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，点A'在第一象限.
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：B
【分析】过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，先根据点A的坐标得到，，进而根据旋转的性质得到，，从而即可证明∠AOB=∠OA'C，根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而即可得到点A'的坐标.
10．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，﹣2），抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以下结论正确的是（ ）
A．a＜0B．c＜0C．a﹣b+c＝﹣2D．b2﹣4ac＝0
【答案】C
【解析】【解答】解：画出函数的图像，如图所示：
∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，
∴，，故选项A，B错误；
∵抛物线的顶点为，
∴，故选项C正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故选项D错误；
故答案为：C．
【分析】先根据题意大致画出函数的图象，进而根据开口向上，与轴的交点位于轴上方得到，，根据顶点的坐标得到，再根据二次函数与坐标轴的交点得到，从而对比选项即可求解。
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写一个比﹣1大的数 ．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】【解答】解：由题意得0＞-1，
故答案为：0（答案不唯一）
【分析】根据题意比较有理数的大小，进而即可求解。
12．中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽是概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽是概率是
故答案为：
【分析】根据简单事件的概率结合题意即可求解。
13．计算：＝ ．
【答案】1
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：1
【分析】根据分式的混合运算结合题意进行计算即可求解。
14．铁的密度约为7.9kg/m3，铁的质量m（kg）与体积V（m3）成正比例．一个体积为10m3的铁块，它的质量为 kg．
【答案】79
【解析】【解答】解：∵铁的质量与体积成正比例，
∴，
当时，，
故答案为：79
【分析】先根据题意写出m与V的一次函数关系式，进而代入V=10即可求解。
15．△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF，到点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点G．若AD＝DF＝2，则∠DBF＝ ，FG＝ ．
【答案】30°；
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，，
∴，，
又∵∠DEF=∠DBF+∠EFB，
∴
∴，，
过点C作交的延长线于点，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：，．
【分析】先根据等边三角形的判定与性质得到，，进而得到，，，过点C作交的延长线于点，根据含30°角的直角三角形的性质得到HC，进而根据勾股定理即可求出FH，再根据平行线的判定证明，从而根据相似三角形的判定与性质证明即可求出FG，从而即可求解。
三、解答题（75分）
16．计算：（﹣1）×3++22﹣20240．
【答案】解：原式＝﹣3+3+4﹣1
＝3．
【解析】【分析】根据实数的混合运算结合题意进行计算即可求解。
17．▱ABCD中，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证BE＝DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（SAS），
∴BD＝DF．
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，进而根据三角形全等的判定与性质证明△BAE≌△DCF（SAS）即可得到BD＝DF．
18．小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得C地与树AB相距10米，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32°；
方案二：如图（2），测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB的高度．（结果保留整数，tan32°≈0.64）
【答案】解：方案一：过D作DE⊥AB于点E，由题意得CD⊥BC，AB⊥BC，
∴∠C＝∠B＝∠DEB＝90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∴BE＝CD＝1.6m，DE＝BC＝10m，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
∴AE＝DEtan∠ADE≈0.64×10＝6.4m，
∴AB＝AE+EB＝1.6+6.4＝8m．
答：树AB的高度为8米．
方案2：由光线反射的性质知∠DCE=∠ACB，得△CDE~△CAB
即有即有，解得AB=8米.
【解析】【分析】方案一：过D作DE⊥AB于点E，由题意得CD⊥BC，AB⊥BC，进而根据矩形的判定与性质得到BE＝CD＝1.6m，DE＝BC＝10m，从而解直角三角形即可求解。
方案二：由光反射的性质可得△CDE~△CAB，利用比例即可求AB的长.
19．为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了ABCD四组，制成了不完整的统计图．分组：0≤A＜5，5≤B＜10，10≤C＜15，15≤D＜20．
（1）A组的人数为 ；
（2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？
（3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义．
【答案】（1）12人
（2）解：400×＝180（人），
答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人；
（3）解：平均数为＝8.75（个），
说明平均每人每分钟做引体向上8.75个.
【解析】【解答】解：（1）（人），
A组人数为：（人），
故答案为：12
【分析】（1）先根据题意求出总人数，进而用总人数减去其他组的人数即可得到A组的人数；
（2）用总人数400× 引体向上每分钟不低于10个人数的占比即可求解；
（3）根据加权平均数的计算方法结合题意进行计算即可求解。
20．一次函数y＝x+m经过点A（﹣3，0），交反比例函数y＝于点B（n，4）．
（1）求m，n，k．
（2）点C在反比例函数y＝第一象限的图象上，若S△AOC＜S△AOB，直接写出C的横坐标a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：﹣3+m＝0，n+m＝4，k＝4n，
解得：m＝3，n＝1，k＝4；
（2）解：a＞1．
【解析】【解答】解：（2）∵S△AOC＜S△AOB，
即
∴点B到x轴的距离大于点C到x轴的距离，
∴点C位于点B的右侧，
【分析】（1）先根据题意将点A和点B代入一次函数和反比例函数即可求解；
（2）先根据S△AOC＜S△AOB得到点B到x轴的距离大于点C到x轴的距离，进而得到点C位于点B的右侧，从而结合点B的坐标即可求解。
21．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）连接OB交⊙O于点F，若AD＝，AE＝1，求弧CF的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
在△BOD和△BOC中，
，
∴△BOD≌△BOC（SSS），
∴∠BDO＝∠BCO，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BDO＝90°，
即OD⊥AB，
又∵点D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：令⊙O的半径为r，
在Rt△AOD中，
（）2+r2＝（r+1）2，
解得r＝1，
∴AO＝2，
∴sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠DOC＝120°．
又∵△BOD≌△BOC，
∴∠DOB＝∠COB＝60°，
∴弧CF的长为：．
22．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2．
（1）求y与x，s与x的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．
【答案】（1）解：由题意，2x+y＝80，
∴y＝﹣2x+80．
由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0，
∴19≤x＜40．
由题意，S＝AB•BC＝x（﹣2x+80），
∴S＝﹣2x2+80x．
（2）解：由题意，令S＝﹣2x2+80x＝750，
∴x＝15（舍去）或x＝25．
答：当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750米2．
（3）解：由题意，根据（2）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
又∵﹣2＜0，且19≤x＜40，
∴当x＝20时，S取最大值为800．
答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2，此时x的值为20．
【解析】【分析】（1）先根据题意得到2x+y＝80，进而即可得到y＝﹣2x+80，再结合墙长42米即可得到x取值范围，再根据矩形的面积公式结合题意进行计算即可求解；
（2）根据题意解一元二次方程即可求解；
（3）先根据题意将二次函数的一般形式化为顶点式，进而根据二次函数的最值即可求解。
23．如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
【答案】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴，
设EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得，
∴，
∴，
∵△EDP∽△PCH，
∴，
∴，
解得，
∵PG＝AB＝2，
∴；
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
在Rt△PCH中，，
∴，
∴，
在Rt△APD中，，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△MAP，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而得到∠1+∠3＝90°，再根据折叠的性质得到∠EPH＝∠A＝90°，从而结合题意即可得到∠3＝∠2，再根据相似三角形的判定证明△EDP∽△PCH即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而根据中点得到，设EP＝AP＝x，则ED＝AD﹣x＝3﹣x，再运用勾股定理即可求出x，从而即可得到ED，再根据相似三角形的性质结合题意求出PH，从而根据GH=PG-PH即可求解；
（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先根据折叠得到AP⊥EF，BG⊥直线EF，进而根据平行线的判定与性质结合等腰三角形的性质得到∠BAP＝∠GPA，从而得到MA＝MP，设DP＝CP＝y，结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△MBH≌△PCH（ASA）即可得到BM＝CP＝y，HM＝HP，从而得到MP＝MA＝MB+AB＝3y，再结合题意根据勾股定理表示出，，，，根据相似三角形的判定与性质证明△BMG∽△MAP得到，最后得到即可求解.
24．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B，交y轴于C．
（1）求b的值．
（2）M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO，求M点的横坐标．
（3）将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L，L与y轴交于点D，记DC＝d，记L顶点横坐标为n．
①求d与n的函数解析式．
②记L与x轴围成的图象为U，U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3与x轴交于（﹣1，0），
∴0＝﹣1﹣b＝3，解得b＝2．
（2）解：∵b＝2，
∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
令y＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0得y＝3，
∴A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N，
设M（m，﹣m2+2m+3），
当点M在x轴上方时，如图1，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
∴，
解得或﹣1（舍去），
当点M在x轴下方时，如图2，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
解得或﹣1（舍去），
综上：或．
（3）解：①∵将二次函数沿水平方向平移，
∴纵坐标不变是4，
∴图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，
∴D（0，﹣n2+4），
∴CD＝d＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|，
∴d＝
②n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或．
【解析】【解答】解：（3）②由①得d＝则函数图象如图，
∵d随着n增加而增加，
∴﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界），
当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时，
当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1，
∴
∴﹣＜n＜，n≥1+或n≤1﹣，
∴﹣＜n＜1﹣，
∵﹣1≤n＜0或n≥1，
∴﹣1≤n≤1﹣；
∴
∴﹣＜n≤﹣或≤n＜，1﹣＜n＜1+，
∴，
∵﹣1≤n＜0或n≥1，
∴；
当W内恰有2个整数点（0，2），（1，1）时，此种情况不存在，舍去．
综上，n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或．
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意代入点的坐标即可求解；
（2）先根据题意将二次函数的解析式化为顶点式，进而结合题意即可得到A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N，设M（m，﹣m2+2m+3），从而分类讨论：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，再根据题意结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）①根据二次函数图象的几何变换得到图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，进而得到D（0，﹣n2+4），从而根据得到CD即可求解；
②根据①的函数画出图像，进而根据图像得到﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界），再分类讨论：当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时，当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1；当W内恰有2个整数点（0，1），（1，1）时，当x＝0时，1＜yL≤2，当x＝1时，yL＞1，从而解不等式组即可求解。