中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）向量的内积获奖教案

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）向量的内积获奖教案，共6页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
2．会计算两个向量的内积；
3．会利用向量内积解决简单几何问题．
教学重难点
教学重点：知道利用向量的内积判定两个非零向量是否垂直．
教材分析
教学难点：向量内积公式的推导及应用．
本课通过简易推导力做功的公式，帮助学生理解两个向量是可以相乘的，并且结果是数量，顺理成章给出向量内积的概念及其运算律．内积把向量的大小和三角函数联系起来，这样为解决求线段长度、夹角等有关几何问题提供了方便，特别推出了两向量垂直的充要条件．要强调力与位移都是向量，而功是数量．
教学过程
教学工具
教学课件
（一）情境导入
物体在力的作用下，沿着力的方向移动了一段距离，就说力对物体做了功．如图所示，在拉力F的作用下，小车在水平方向上发生了位移s．设力F与位移s的夹角为θ，怎样计算力F 对小车做的功呢？
【设计意图】结合做功的实例进行引入，更加直观.
（二）探索新知
力F 在位移s的方向上的分力F1的大小为|F1|= |F|·csθ．由于小车在分力F2方向上的位移等于0，故分力F2对小车做的功等于0，从而力F对小车所做的功就是分力F1对小车做的功，即
力F 和位移s是两个向量，它们按照上式确定了一个数量W．
如图所示，对于非零向量a和b，作AB =a， OB =b， 称射线OA、OB所成的最小正角为向量a与b的夹角，记作a,b ．
当a、b同向时， a,b=0；
当a、b反向时， a,b=π ．
因此，0≤ a,b ≤π ．
当a,b= π2时，称向量a与向量b互相垂直，记作a⊥b．
两个向量a、b的模与它们夹角的余弦值之积称为向量a与b的内积(或数量积)，记作a · b，即
a·b=|a||b|cs a,b ．
由内积定义可知：
零向量与任一向量的内积为0，即0 · a=0 ．
向量a与b的内积a · b也称为a与b的点积．
a · a也写作a² ．
对于非零向量a、b，当a、b同向时，a·b=|a||b|；
当a、b反向时，a·b=-|a||b| ．
对于两个非零向量a、b，由内积的定义有：
（1）a⊥b⇔a·b=0；
（2）|a|=a·a；
（3）cs a,b=a·b|a||b|．
是否可以用向量的内积描述几何学中的垂直、长度与夹角？
性质(1)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题，即内积为0，则两向量垂直.
性质(2)表明，当两个向量相等时，这两个向量的内积等于向量的模的平方，因此可用于求向量的模.
性质(3)的实质是平面向量内积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式.
可以验证，向量的内积满足下面的运算规律：
a·b= b·a；
(λ a)·b = λ (a·b) = a·(λb)；
(a+b)·c = a·c+b·c ．
【设计意图】结合力做功引出向量可以相乘并且结果是数量，几个结论引导学生进行推导，可以视作向量内积的几何应用；探究与发现深化 3个性质的几何应用.
（三）典例剖析
例1. 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求： a·b
解: a·b＝|a||b|cs 120°＝2×3×＝－3．
例2. 已知|a|=|b|=2，a·b=，求a，b .
解：因为cs a，b =

由于0≤a，b≤π，所以a，b= .
例3.已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
解：由已知得a·b＝3×2×cs 60°＝3．
由c⊥d，得c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
所以m＝eq \f(29,14)，即m＝eq \f(29,14)时，c与d垂直．
【设计意图】直接应用公式公式的逆用和几何应用；巩固向量垂直的充要条件的应用.
（四）巩固练习
1．已知▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
解：如图，与的夹角为，
故选：C
3.已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（ ）
A．不共线B．方向相反
C．方向相同D．
4.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：
(1)(a＋b)·(a－b)；
(2)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5．
（2）(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺.
（五）归纳总结
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（六）布置作业
练习2.3；习题2.3