新高考数学三轮冲刺临考逐题练习 数列（解答题）（2份，原卷版+解析版）

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等差数列通项公式： 或
等比数列通项公式：
的类型，公式
数列求和的常用方法：
对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和，等比数列求和
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.
即
常见的裂项技巧：
；
；

指数型；
对数型.
等
1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
2．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
3．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
4．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
5．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
6．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
1．（2023·广东广州·统考二模）设是数列的前n项和，已知，.
(1)求，；
(2)令，求.
2．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前n项和.
3．（2023·江苏南通·二模）已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
4．（2023·湖北·统考二模）设数列前n项和满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前n项和．
5．（2023·江苏常州·校考二模）在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
6．（2023·广东湛江·统考二模）已知两个正项数列，满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．
7．（2023·浙江台州·统考二模）已知数列，满足：，，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列的前项和.①；②；③.
8．（2023·浙江·统考二模）记为正项数列的前项积，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
9．（2023·浙江·统考二模）已知数列满足：，且对任意的，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
10．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）在①；②；③，，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
已知正项数列的前n项和为，且______，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．
11．（2023·江苏·二模）已知数列满足，.数列满足， ．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时， ．
12．（2023·山西·统考二模）已知是正项等比数列，是等差数列，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)从下面条件①、②中选择一个作为已知条件，求数列的前项和.
条件①：；条件②：.
注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
13．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知数列的前n项和为，___________，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，当时，，.记数列的前n项和为，求.
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．（2023·云南红河·统考二模）已知等差数列的公差，，其前项和为，且______．
在①，，成等比数列；②；③这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答下列问题．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
15．（2023·安徽·校联考二模）已知首项为3的数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
16．（2023·安徽合肥·校考一模）已知数列满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求．
17．（2023·重庆·统考模拟预测）已知与都是正项数列，的前项和为，，且满足，等比数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求满足不等式的自然数n的最小值．
18．（2023·重庆·统考模拟预测）已知正项数列满足:,且.
(1)证明数列是等差数列;
(2)若,求数列的前项和.
19．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知数列的前n项之积为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前n项和．
请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．
20．（2023·河北张家口·统考二模）已知数列的首项为其前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
21．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列满足：，，，.
(1)证明：是等差数列：
(2)记的前n项和为，，求n的最小值.
22．（2023·山东聊城·统考一模）已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
23．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知数列满足，，其中.
(1)设，求证：数列是等差数列.
(2)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
24．（2023·山东聊城·统考二模）设数列的前n项和为，已知，且数列是公比为的等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
25．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）记数列的前n项和为，对任意，有．
(1)证明：是等差数列；
(2)若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．
26．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若（1）中数列满足，，令，记，证明
27．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）数列的前项的和为，已知，，当时，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和
28．（2023·湖南常德·二模）已知数列的前项和为，且满足
(1)的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
29．（2023·湖南·校联考二模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围．
30．（2023·广东深圳·统考二模）已知数列满足，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.