新高考数学三轮冲刺临考逐题练习 数列（2份，原卷版+解析版）

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等差数列通项公式： 或
等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项
若，为等差数列，则，仍为等差数列
等差数列前n项和公式：或
等差数列的前项和中，，（为奇数）
等比数列通项公式：
等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项
若，为等比数列，则，仍为等比数列
等比数列前项和公式：
已知与的关系
分组求和
若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和
裂项相消求和

1．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.
【答案】 5
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；
故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，
设，
则，
两式作差得：
，
因此，.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
2．（2020·新高考Ⅰ卷+Ⅱ卷高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
1．（2023·江苏南通·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.
①；②
【答案】（答案不唯一）
【分析】可构造等比数列，设公比为，由条件，可知公比为负数且，再取符合的值即可得解.
【详解】可构造等比数列，设公比为，
由，可知公比为负数，
因为，所以，
所以可取设，
则.
故答案为：.
2．（2023·福建厦门·统考二模）数列满足，若，，则＝____________．
【答案】-6
【分析】由递推公式可得数列的周期为4，又因为，再由计算即可.
【详解】解：因为，，
所以，，，，
所以数列的周期为4，
又因为，
所以.
故答案为：-6
3．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）已知数列满足，，则______．
【答案】
【分析】先利用判断出为常数列，求出数列的通项公式，即可求出.
【详解】因为，即，
所以，等式两端同时除以，
整理得：，即为常数列．
因为，所以，
所以，所以．
故答案为：2022．
4．（2023·广东广州·统考二模）在数列中，，，若，则正整数____________．
【答案】10
【分析】根据题意，令，判断数列是等差数列，从而求得通项公式，进而代入求解即可．
【详解】由，，令，则，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即，
又为正整数，所以，即，解得或（舍去）．
故答案为：10．
5．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知数列是以2为公比的等比数列，，，记数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，则n的最小值为______．
【答案】9
【分析】根据递推公式得到数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列，利用分组求和的方法求出，将不等式等价转化为，根据单调性求出函数的最大值即可求解.
【详解】由题知，则，所以，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列；
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，
因为，则有，
因为对任意恒成立，则只需即可，
令，则在区间上单调递增，所以，所以，即，即，解得，又，
所以n的最小值为9．
故答案为：.
6．（2023·云南红河·统考二模）在数列中，，且，设，其中为常数．若是递减数列，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意，由递推关系式可得数列等差数列，从而可得，即可得到结果.
【详解】因为，显然，．
又，
所以，
所以．
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
所以
因为是递减数列，即，，
即，代入可整理得恒成立，
，
令，，
，所以最大值为，所以．
故答案为：．
7．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）冰雹猜想是指：一个正整数，如果是奇数就乘以再加，如果是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次，最终回到．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题，已知正整数列满足，若存在首项，使得，已知，则___________.（写出一个满足条件的值即可）
【答案】或（只填写一个即可）
【分析】由递推关系式，结合以及，依次逆推出，，．．．，使其满足即可．
【详解】，，
所以若是偶数，则，若是奇数，则，与已知矛盾，故；
所以若是偶数，则，若是奇数，则，与已知矛盾，故；
所以若是偶数，则，若是奇数，则，与已知矛盾，故；
所以若是偶数，则，若是奇数，则，与已知矛盾，故；
所以若是偶数，则，若是奇数，则，故或；
余下推导用图表示可得：
故答案为：或（只填写一个即可）
8．（2023·山西晋中·统考二模）南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式，则数列的前项和为____________．
【答案】
【分析】由三角垛公式可知数列的前项和为，根据，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.
【详解】，数列的前项和为，
，
数列的前项和.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.
9．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知是各项均为正整数的数列，且，，对任意，与有且仅有一个成立，则的最小值为______．
【答案】20
【分析】由递推关系分析的取值，求的最小值.
【详解】由已知，所以，
若，，因为，所以，故，
所以，
(1)若，则，
当时，，若，则，与条件相矛盾，
当时，，若，则，与条件相矛盾，
当时，，若，则可以取8，此时，
当时，，又，则，
当时，，则，
(2)若，则，则，则，
(3) 若，则，则，则，
(4) 若，则，则，
所以的最小值为20.
故答案为：20
10．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，，，，1，，，，1，…，其中第一项是1，接下来的两项是，1，再接下来的三项是，，1，依此类推，求满足如下条件的最小整数N；该数列的前N项和大于46，那么该款软件的激活码是______．
【答案】83
【分析】根据题意可求得该数列的前项和，再根据，求得，即可求得答案.
【详解】解：该数列的前项和为
，
要使，当时，，则，
又，
所以对应满足条件的最小整数．
故答案为：83.
11．（2022·山东·山东师范大学附中校联考模拟预测）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则_________；该棋手获胜的概率为__________．
【答案】 /0.75
【分析】根据题意找出与的关系即可求解.
【详解】由题，因为，故，由，所以，累加可得：．
故答案为：；.
12．（2022·江苏苏州·校联考模拟预测）数列满足，，则前40项和为________．
【答案】
【分析】根据题设中的递推关系可得、，利用分组求和可求前40项和，
【详解】当时，，
故
，
当时，，
所以，
所以，
当时，；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
故
，
故前40项和为，
故答案为：
13．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“1，0，1”，中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列：1，0，则数列：0，1，0，1，0，1.已知数列：1，0，1，0，1，记数列，，2，3，…，则数列的所有项之和为______.
【答案】
【分析】根据题意，依次讨论中0与1的个数，从而得解.
【详解】依题意，可知经过一次变换，每个1变成3项，其中2个0，1个1；每个0变成3项，其中2个1，1个0，
因为数列：1，0，1，0，1，共有5项，3个1，2个0，
所以有项，3个1变为6个0，3个1；2个0变为4个1，2个0；故数列中有7个1，8个0；
有项，7个1变为14个0，7个1；8个0变为16个1，8个0；故数列中有23个1，22个0；
有项，23个1变为46个0，23个1；22个0变为44个1，22个0；故数列中有67个1，68个0；
所以数列的所有项之和为.
故答案为：.
14．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】先利用等差数列通项公式求解，再利用数列的单调性求解数列的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.
【详解】由可知数列是等差数列，设其公差为，
解方程得或，又，
，，
.
由得，
，设，
则，
由对于任意恒成立，所以只考虑的符号，
设，，
令解得，即在上单调递增，
令解得，即在上单调递减，
，，，
当，，
当，时，，即，，
当，，即，
即从，开始单调递减，
即，，即，
的取值范围为.
故答案为：.
15．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）数列满足，数列满足，设，且对任意且，有，则实数p的取值范围为____.
【答案】
【分析】推导出是中的较小者，是递减数列，是递增数列，是的最大者，时递增，时递减，由此能求出实数p的取值范围．
【详解】当时，，当时，，∴是中的较小者，
由，∴是递减数列，由，∴是递增数列，
∵，∴是的最大者，时递增，时递减，
∴时， 总成立，当时，成立，，
时， 总成立，当时， 成立，∴，
或，
若，即，∴，
则，∴，，
故，
若，即，∴，
∴，那么，即，
∴，
故，
综上，，实数p的取值范围为．
故答案为：．
16．（2023·广东·校联考模拟预测）如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形；把的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线段去掉，得到图形；依此下去，得到图形序列，，，，，，设的边长为1，图形的周长为，若，则n的值为________．（参考数据：，）
【答案】16
【分析】根据题意，先分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律即可求出图形的周长,从而求出n的值.
【详解】由题意可知，图形的边长为1，图形的边长为上一个图形边长的，图形的边长又是上一个图形边长的，……，
所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，
所以图形的边长为，
由图可知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，
所以图形的边数为，
所以图形的周长为，
即，所以 ;
故答案为：16.
17．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列.若数列为原数列的一阶差数列，数列为原数列的一阶差数列，则称数列为原数列的二阶差数列.已知数列的二阶差数列是等比数列，且，则数列的通项公式___________.
【答案】
【分析】运用等比数列通项公式及累加法可求得结果.
【详解】设数列为原数列的一阶差数列，为原数列的二阶差数列.
则由题意可知.
又为等比数列，故公比，所以，即.
当时，，
将代入得，符合，
所以，.
所以，
当时，，
将代入得，符合，
所以，.
故答案为：.
18．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知在正项等比数列中，，，则使不等式成立的正整数n的最小值为________．
【答案】9
【分析】设等比数列的公比为，且，求出，再解不等式即得解.
【详解】设等比数列的公比为，且，
因为，，所以，
所以，所以．
因为，即，
当时，；当时，，
所以正整数的最小值为9．
故答案为：9
19．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）冰雹猜想是指：一个正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题．已知正整数列满足递推式请写出一个满足条件的首项，使得，而_____________．
【答案】12或13（写出一个即可）
【分析】由递推公式，结合及条件，依次逆推出即可.
【详解】因为，
所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；
所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；
所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；
所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；
所以若为偶数，则，若为奇数，则；故或；
余下推导用图表示可得：

故答案为：12或13（写出一个即可）.
二、双空题
20．（2023·湖南岳阳·统考一模）数列的前n项和为，，且对任意的都有，则（1）若，则实数m的取值范围是______；（2）若存在，使得，则实数m为______.
【答案】 或
【分析】（1）由求得的取值范围.
（2）求得的规律，对进行分类讨论，由此列方程求得的值.
【详解】依题意，，对任意的都有，
则，
，
，
，
，
以此类推，结合两式相减得，
可知数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列；
偶数项是首项为，公差为的等差数列.
（1）若，即.
所以的取值范围是.
（2）若存在，使得，
.
当为奇数时，为偶数，
由得：
，
解得.
当为偶数时，为奇数，
由得：
，
解得.
综上所述，的值为或.
故答案为：；或
【点睛】根据递推关系求解数列的有关问题，关键是从递推关系中求得数列的通项公式.本题中的递推关系，通过分析后可知奇数项和偶数项是不同的，所以在求解时，要对的奇偶性进行分类讨论.
21．（2023·河北邯郸·统考二模）若数列从第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列.某数学小组在数学探究课上，用剪刀沿直线剪一圆形纸片，将剪刀最多可以将圆形纸片分成的块数记为，经实际操作可得，，，，…，根据这一规律，得到二阶等差数列，则________；若将圆形纸片最多分成1276块，则_________.
【答案】 37 50
【分析】由二阶等差数列的定义结合所给条件求出数列的通项公式，再由通项公式求和所对应的项数.
【详解】因为数列为二阶等差数列，
所以数列为等差数列，
由，，，，
可得，
所以数列为首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以当时，，
将以上各式相加可得，，又，
所以，其中，经验证也满足该关系，
所以，
所以，
令，则，
解得.
故答案为：；.
22．（2023·山西朔州·统考二模）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程
若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________.
【答案】
【分析】由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解；
由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解.
【详解】记第个图形为，三角形边长为，边数，周长为，面积为
有条边，边长；有条边，边长；有条边，边长；
分析可知，即；，即
当第1个图中的三角形的周长为1时，即，
所以
由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即
即，，，
利用累加法可得
数列是以为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列，故是以为公比的等比数列，
当第1个图中的三角形的面积为1时，，即，此时，，有条边，
则
所以， 所以
故答案为：，
【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
23．（2023·吉林·统考二模）意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn.已知，，（，且n>2）.
（1）若斐波那契数Fn除以4所得的余数按原顺序构成数列，则___________.
（2）若，则___________.
【答案】 2697 /-1+a
【分析】（1）根据带余除法的性质，总结数列规律，可得答案；
（2）利用递推公式，结合裂项相消，可得答案.
【详解】（1）由题意，，则，，则，
由，则除以4的余数为，即，
由，则除以4的余数为，即，
由，则除以4的余数为，即，
由，则除以4的余数为，即，
由，则除以4的余数为，即，
由，则除以4的余数为，即，
故由斐波那契数除以4的余数按原顺序构成的数列，是以6为最小正周期的数列，因为，所以；
（2）由斐波那契数的递推关系可知：时，且，，
所以.
故答案为：2697，a -1
24．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）著名的斐波那契数列满足，，其通项公式为，则是斐波那契数列中的第______项；又知高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则______.（
【答案】 101 842
【分析】根据斐波那契数列的定义，化简得,得到答案①；利用，得到，进而求出，得到答案②.
【详解】
，
则是斐波那契数列中的第101项；
列出斐波那契数列，有，
可得，由，取，
，
，
得，，因为，故，
则，.
故答案为：①101；②842.
25．（2023·湖南·模拟预测）已知数列的各项都是正数，若数列各项单调递增，则首项的取值范围是__________当时，记，若，则整数__________．
【答案】
【分析】根据正项数列各项单调递增，可得出，化简求出，由此可得首项的取值范围；再由裂项相消法求出的表达式，然后求其范围，即可得出答案.
【详解】由题意，正数数列是单调递增数列，且，
且，解得，
，
又由，
可得：．
，
．
，且数列是递增数列，，即，
整数．
故答案为：；.