高中数学平面向量的应用同步训练题

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涉及中线长的工具：
如图1，在中，设为边上的中点，与中线长有关的计算问题，常见的处理方法有三种.
1.在和中解三角形，求解.
2.补成平行四边形：如图2，，可在中求解，从而得出.
3.利用向量：由，两边平方后，就可以得到中线、及其两邻边的关系.
注：1、中线长定理：在中，是边上的中线，则
推导过程：在中，，
在中，
联立两个方程可得：
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
2、向量法：
推导过程：由，
则
所以
【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）.
涉及角平分线的工具：
如图，在中，平分，角、，所对的边分别为，，
1、利用角度的倍数关系：
2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则.
推导过程：在中，，
在中，，，
该结论也可以由两三角形面积之比得证，即
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，
再结合爪型结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，
运用向量知识解决起来都较为简捷。
3、等面积法：
因为，
所以，
所以
整理的：（角平分线长公式）
4、角互补
在中有：;
在中有：
注：题中出现角平分线，我们可以从“角度”和“长度”两个方面入手考虑.
1.角度：角被平分.
2.长度：在中，为的平分线，则，这就是角平分线性质定理之一.提醒：角平分线性质定理大题中不建议直接使用.
三、涉及高线的工具：
1、分别为边上的高，则
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
考点一 中线问题
（一）求中线长
（二）已知中线长求其他量
（三）与中线长有关的最值(范围）问题
（四）与中线有关的综合问题
考点二 角平分线问题
（一）求角平分线长
（二）已知角平分线长求其他量
（三）与角平分线有关的范围问题
（四）中线与角平分线的综合问题
考点三 高线问题
考点一 中线问题
（一）求中线长
1．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为，求AC边上的中线长．
2．（2022春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）在△ABC中，若，，再从下列①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线长.条件①：BC＝2；条件②：；条件③：△ABC的周长为6.
3．（2023·全国·高一专题练习）在中，.
(1)求；
(2)求边上的中线.
4．（2022秋·福建泉州·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．
(1)求B；
(2)若的周长为，求BC边上中线的长．
5．（2023春·四川广安·高一校考开学考试）在中，角所对的边分别为，，．
(1)求的值；
(2)若，求边上中线的长．
6．（2022·全国·高一专题练习）在①且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
问题：在中，角的对边分别为，且__________．
(1)求；
(2)若为边的中点，且，求中线长．
7．（2022·北京东城·统考三模）在中，.
(1)求；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长.
条件①：；条件②：；条件③：的面积为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（二）已知中线长求其他量
8．（2023·全国·高一专题练习）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线，且，求的周长
9．（2022春·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且满足
(1)求角的大小；
(2)若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长.
10．（2023秋·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若，AB边上的中线，求ABC的面积.
11．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）在中，角，，对边分别为，，，且，.
(1)求；
(2)若，边上中线，求的面积.
12．（2022春·河南周口·高一扶沟县第二高中校考阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若的面积为，求a；
(2)若边上的中线，求的值.
13．（2022·全国·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，且.
(1)求的大小
(2)在下列条件①②中选择一个作为已知条件，求的面积.
①的周长为；②边上的中线的长为.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．（2023·高一课时练习）在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为______．
15．（2023秋·山西太原·高一统考阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点.
(1)求的长度；
(2)求的余弦值.
（三）与中线长有关的最值（范围）问题
16．（2022春·河南安阳·高一安阳一中校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求的中线AM的最小值．
17．（2023·全国·高一专题练习）已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：
(1)求角的大小；
(2)求边中线长的最小值.
条件①：;
条件②：.
18．（2022秋·山西·高一校联考阶段练习）在锐角中，，则中线的取值范围是__________.
19．（2023·全国·高一专题练习）锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
(1)求角C的大小；
(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
20．（2022春·辽宁铁岭·高一校联考期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若是的中线，且，求的最大值.
21．（2022春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ）
A．B．6C．D．9
22．（2023秋·江西赣州·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)设a，b，c分别是的三个内角，A，B，C所对的边，且边上的中线，求面积的最大值．
（四）与中线有关的综合问题
23．【多选】（2022秋·吉林长春·高一长春市第八中学校考阶段练习）在中，，边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．的最大值为
24．【多选】（2022·高一单元测试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．△ABC的面积为
25．【多选】（2022春·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考期中）中，边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．为定值B．
C．D．
考点二 角平分线问题
（一）求角平分线长
26．（2022·江苏常州·华罗庚中学校考模拟预测）已知中内角的对边分别是，.
(1)求的值；
(2)设是的角平分线，求的长.
27．（2023·全国·高一专题练习）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，
(1)求角B的大小；
(2)若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长．
28．（2023·全国·高一专题练习）已知的内角的对边分别为,且.
(1)求的值;
(2)给出以下三个条件:条件①:;条件②:,;条件③:.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:
（i）求的值;
（ii）求的角平分线的长.
29．（2023秋·广东·高一统考阶段练习）在中，角，，所对的三边分别为，，(三边均为正整数)，是的角平分线，，，.
(1)求，的值；
(2)求的大小及的长.
30．（2023·辽宁沈阳·统考一模）在中，角、、的对边分别为、、．已知．
(1)求角的大小；
(2)给出以下三个条件：①，；②；③．
若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）的角平分线交于点，求的长．
（二）已知角平分线长求其他量
31．（2023秋·山西晋城·高一统考期末）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)若，角B的角平分线交AC于点D，，求CD的长.
32．（2022春·河南濮阳·高一濮阳一高统考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A的角平分线交BC于点D．
(1)求B；
(2)若，，求b．
33．（2022秋·江苏南京·高一校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．
34．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)证明：；
(2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．
35．（2022秋·浙江·高一校联考阶段练习）在中，的角平分线交边于点.
(1)证明：.
(2)若，且的面积为，求的长.
36．（2022秋·广西柳州·高一校联考阶段练习）已知中，为的角平分线，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
37．（2023秋·江苏南通·高一统考期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.若为的角平分线，求的周长；
（三）与角平分线有关的范围问题
38．（2023春·广西柳州·高一统考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
39．（2023·全国·高一专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
40．（2023·广西柳州·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的最小值为（ ）
A．21B．24C．27D．36
41．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，
条件②，
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，
(1)求；
(2)若是的角平分线，且，求的最小值．
42．（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，内角的对边分别为，且满足
(1)求角C的大小；
(2)若，角A与角B的内角平分线相交于点D，求面积的取值范围.
（四）中线与角平分线的综合问题
43．（2022·高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知
(1)求角A的大小；
(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
若，，点D是BC边上的一点，且______.
求线段AD的长.
①AD是的高；②AD是的中线；③AD是的角平分线.
44．（2023·全国·高一专题练习）在中，点在边上，，．
(1)若是的角平分线，求；
(2)若是边上的中线，且，求．
45．（2022·江苏连云港·模拟预测）在△中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，．
(1)证明：；
(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求△的面积．
条件①：△的中线；
条件②：△的角平分线．
46．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
(1)若，求tanC的值：
(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积．
47．（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P．
(1)的余弦值．
(2)求四边形的面积.
考点三 高线问题
48．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）在中，内角的对边分别为，且
(1)求；
(2)若，，求中边上高线的长
49．（2023春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期中）在中，角A，B，C的对边分别为，
（1）求角以及边上的高线长；
（2）求．
50．（2022秋·北京海淀·高一清华附中校考阶段练习）在中，角的对边分别为.
(1)求的大小；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.
51．（2022秋·河北石家庄·高一阶段练习）在中，,为的高线，则（ ）
A．B．C．D．
52．（2022·吉林·统考一模）的内角所对的边分别为，已知．
（I）求；
（II）若边上的中线，高线，求的面积．
53．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若边上的高线长为，求面积的最小值.