高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的应用优质学案及答案

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6.2.4 向量的数量积
知识点一 向量的夹角
知识点二 向量数量积的概念
知识点三 投影向量
如图1，设a，b是两个非零向量，eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(CD,\s\up16(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq \(AB,\s\up16(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up16(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up16(→))，我们称上述变换为向量a向向量beq \(□,\s\up4(01))投影，eq \(A1B1,\s\up16(→))叫做向量a在向量b上的eq \(□,\s\up4(02))投影向量．
如图2，我们可以在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up16(→))＝a，eq \(ON,\s\up16(→))＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up16(→))就是向量a在向量b上的投影向量．
知识点四 向量的数量积的性质和运算律
(1)向量的数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝eq \(□,\s\up4(01))|a|csθ.
②a⊥b⇔eq \(□,\s\up4(02))a·b＝0.
③当a与b同向时，a·b＝eq \(□,\s\up4(03))|a||b|.
当a与b反向时，a·b＝eq \(□,\s\up4(04))－|a||b|.
④a·a＝eq \(□,\s\up4(05))|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2).
⑤csθ＝eq \(□,\s\up4(06))eq \f(a·b,|a||b|).
⑥|a·b|eq \(□,\s\up4(07))≤|a||b|.
(2)向量数量积的运算律
①eq \(□,\s\up4(08))a·b＝b·a(交换律)．
②(λa)·b＝eq \(□,\s\up4(09))λ(a·b)＝eq \(□,\s\up4(10))a·(λb)(结合律)．
③eq \(□,\s\up4(11))(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
1．对数量积的理解
(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解．
(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．
向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成a×b.
2．要灵活掌握向量数量积的性质
(1)a⊥b⇔a·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．
(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝eq \r(|a|2)＝eq \r(a2)也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)用csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当θ＝0时，csθ＝1，a·b＝|a||b|；
当θ为锐角时，csθ>0，a·b>0；
当θ为钝角时，csθ0，∴eq \(BA,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＝－eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))