湖南省长沙市立信中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份湖南省长沙市立信中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考 数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．调查《新闻联播》栏目的收视率
B．调查蒲城县中小学生心理健康情况
C．调查某市居民线上支付和现金支付的占比情况
D．调查某神舟号火箭的零件安全情况
3．下列结论中，正确的是（ ）
A．的平方根是B．
C．D．的算术平方根是a
4．下列等式变形正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，
5．如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示的图形是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．四棱柱
7．若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
9．估计的值应该在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
10．如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
11．若，则 ．
12．已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为 ．
13．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
14．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为 ．
15．在平面直角坐标系中，若将二次函数的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是 ．
16．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径是，则的最大值是 ．
三、解答题（本大题共9小题）
17．计算：；
18．先化简，再求值:，其中.
19．如图，在中，，．
(1)求的度数；
(2)分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为______，并说明理由．
20．“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：

(1)本次抽查的学生人数是_________，统计表中的_________；
(2)在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是_________；
(3)若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
(4)学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
21．如图，在中，于点，点在的延长线上，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，，求的长．
22．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/．
(1)求A，B两种水果各购进多少千克；
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
23．如图，已知是的直径．点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，，．

(1)求证，是的切线；
(2)求证：；
(3)点M是的中点，交于点N．若，求的值．
24．我们将抛物线（，且）与抛物线称为“美好抛物线”．例如：抛物线与抛物线就是一组“美好抛物线”．根据该约定，解答下列问题：
(1)已知抛物线，直接写出其“美好抛物线”的解析式；
(2)若抛物线的顶点在其“美好抛物线”的图象上，抛物线的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
(3)在同一平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其“美好抛物线”与轴交于点（在上方）．小明发现无论，为何值时，两抛物线始终有一交点在与轴垂直的某一固定直线上运动．若是以为斜边的等腰直角三角形，当时，求抛物线截轴得到的线段长度的取值范围．
25．如图，四边形为的内接四边形，对角线为直径，过点作于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)连接，若，求的值；
(3)在（2）的条件下，
①记，，的面积分别为，，，若，求的正切值；
②若，交于点，，试用含的式子表示．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、=，不是最简二次根式，故此选项符合题意；
故此题答案为C．
2．【答案】D
【分析】根据全面调查和抽样调查的意义，对选项逐个分析判断即可．
【详解】解：A、调查《新闻联播》栏目的收视率适合采用抽样调查，不符合题意；
B、调查蒲城县中小学生心理健康情况适合采用抽样调查，不符合题意；
C、调查某市居民线上支付和现金支付的占比情况适合采用抽样调查，不符合题意；
D、调查某神舟号火箭的零件安全情况适合采用全面调查，符合题意；
故此题答案为D．
3．【答案】C
【分析】根据平方根、算术平方根及立方根逐项计算即可．
【详解】解：，即3的平方根是，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
的算术平方根是，而不是a，故D错误.
故此题答案为C．
4．【答案】C
【分析】根据等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A. 若，则，故不正确；
B. 若，则，故不正确；
C. 若，则，正确；
D. 若，，故不正确；
故此题答案为C．
5．【答案】C
【分析】先由垂径定理得到，由得到，进而可求出的度数．
【详解】解：如图
∵直径平分弦，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故此题答案为C．
6．【答案】C
【分析】将几何体折叠后即可判断.
【详解】由题中展开图折叠回去即为三棱柱.
故此题答案为C.
7．【答案】B
【详解】∵一个正边形的每一个外角都是，
∴，
故此题答案为．
8．【答案】D
【分析】根据图像中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围．
【详解】解：由图像知，当或时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方，
即，
故此题答案为D．
9．【答案】B
【详解】解：，
∵，
∴，
即的值在4和5之间．
故此题答案为B．
10．【答案】B
【分析】作交于，由题意可得，，，再由正切的定义计算即可得解．
【详解】解：如图，作交于，
，
由题意可得：，，，
∴，
故此题答案为B．
11．【答案】
【分析】根据解分式方程的步骤去分母，再解整式方程，检验即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
当时，，
∴
12．【答案】
【分析】根据坡度等于坡角的正切即可求解．
【详解】解：设坡角为，
由题意得，，
．
13．【答案】
【分析】对于一元二次方程，两根和有这样的关系：，，按题意代入即可．
【详解】解： 对于，系数为1，为3，
，是一元二次方程的两个根，
．
14．【答案】
【分析】由题意得出，再结合反比例函数图象位于第一、三象限即可得出的值．
【详解】解：∵ 轴于点，的面积为2，
∴，
解得：，
∵反比例函数图象位于第一、三象限，
∴
15．【答案】
【分析】先求出平移后的解析式，再令，求出与轴的交点的横坐标，求差即可得解．
【详解】解：将二次函数的图象向上平移4个单位长度，得到得解析式为，
令，
解得：，，
∴所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是
16．【答案】/
【分析】作直径，连接，由角的性质得，由三角形中位线定理得到，因此当是圆直径时，有最大值，即可得到答案．
【详解】解：作直径，连接，
，
，，
，
点E，F分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
当长最大时，有最大值，
当是圆直径时，最大，
的最大值是
17．【答案】
【分析】先计算特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可得解．
【详解】解：
．
18．【答案】
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
，

当时,原式
19．【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）由题意可得，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，且，即可得解；
（2）解直角三角形可得，由作图可得垂直平分，可得，由直角三角形的性质可得，从而得出，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，且；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
由作图可得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】(1)80，32
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用A文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B科幻类的百分比即可得到m的值；
（2）用乘以“C漫画类”对应的百分比即可得到“C漫画类”对应的圆心角的度数；
（3）用该校共有学生数乘以抽查学生中选择“D数理类”书籍的学生的百分比即可得到该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数，利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，本次抽查的学生人数是（人），
统计表中的，
故答案为：80，32
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是：
，
故答案为：
（3）由题意得，（人），
即估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生为人；
（4）树状图如下：

从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种，
∴P（小文、小明选择同一社团）．
21．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据和平行四边形的性质即可得出且，证得四边形是平行四边形，再根据即可证得四边形是矩形；
（2）根据题干条件可求得，再根据勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
且，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：连接，
在中，，，
，
，
在中，，，
．
22．【答案】(1)A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克;
(2)A种水果的最低销售单价为元/
【详解】（1）解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，
根据题意有，
解得，
∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克.
（2）设A种水果的销售单价为元/，
根据题意有，
解得，
故A种水果的最低销售单价为元/.
23．【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
(3)18
【分析】(1) 已知C在圆上，故只需证明与垂直即可；根据圆周角定理，易得，即；故是的切线；
(2)是直径；故只需证明与半径相等即可；
(3)连接，，由圆周角定理可得，进而可得，故；代入数据可得．
【详解】（1）证明：，
，
又，，
，
又是的直径，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：，
，
，
又，，
，
，
；
（3）解：连接，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是的直径，，
，，
，
，
．
24．【答案】(1)
(2)经过两个定点，，
(3)抛物线截轴得到的线段长度的取值范围为
【分析】（1）根据“美好抛物线”的定义即可解答；
（2）求出抛物线的顶点坐标为，由“美好抛物线”的定义可得，的解析式为，将代入得出 ，则的解析式为：，令，解得或，即可得解；
（3）求出，由“美好抛物线”的定义可得，的解析式为，从而可得，进而可得，联立可得，求出或，即点的横坐标为，推出，由等腰直角三角形的性质并结合题意可得，且，推出，，结合题意求出，由的解析式为，设其和轴交点的横坐标分别为、，则，，求出，再结合二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：由“美好抛物线”的定义可得：“美好抛物线”的解析式为；
（2）解：经过两个顶点，理由如下：
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
由“美好抛物线”的定义可得，的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
∴的解析式为：，
令，
解得：或，
则两个定点的坐标为，；
（3）解：在中，当时，，即，
由“美好抛物线”的定义可得，的解析式为：，
当时，，即，
∵在上方，
∴，
联立可得：，
解得：或，
∵小明发现无论，为何值时，两抛物线始终有一交点在与轴垂直的某一固定直线上运动，
∴点的横坐标为，
当时，，即，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，且，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
的解析式为：，
设其和轴交点的横坐标分别为、，则，，
∴，
∵的对称轴为直线，
故当时，随着的增大而增大，当时，的值最大，为，
当时，的值最小，为，
即，
∴抛物线截轴得到的线段长度的取值范围为．
25．【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由圆周角定理可得，由同角的余角相等可得，再由同弧对的圆周角相等即可得解；
（2）证明，得出，设，则，，求出，即可得解；
（3）①由题意可得，，，结合，得出，证明，得出，推出，由平行线的性质可得，得出四边形是矩形，由矩形的性质可得，最后由正切的定义即可得解；
②作交于，则，，，从而可得，，，求出，，进而表示出，再由平行线分线段成比例定理可得，由余弦的定义计算即可得解．
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即；
（2）解：由（1）可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①∵，，的面积分别为，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴在中，；
②如图，作交于，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在中，，
由（2）可得：，
∴，即．书籍类别
学生人数
A文学类
24
B科幻类
m
C漫画类
16
D数理类
8