湖南省长沙市立信中学2024—2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份湖南省长沙市立信中学2024—2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷（原卷版+解析版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 在下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A. 调查《新闻联播》栏目收视率
B. 调查蒲城县中小学生心理健康情况
C. 调查某市居民线上支付和现金支付的占比情况
D. 调查某神舟号火箭的零件安全情况
3. 下列结论中，正确的是（ ）
A. 的平方根是B.
C. D. 的算术平方根是a
4. 下列等式变形正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，
5. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示的图形是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A 圆锥B. 圆柱C. 三棱柱D. 四棱柱
7. 若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
9. 估计的值应该在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
10. 如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若，则______．
12. 已知一个山坡坡度为，则山坡的坡角为_____．
13. 若，是一元二次方程的两个根，则________．
14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为______．
15. 在平面直角坐标系中，若将二次函数的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是______．
16. 如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径是，则的最大值是______．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17. 计算：；
18. 先化简，再求值:，其中.
19. 如图，在中，，．
（1）求的度数；
（2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为______，并说明理由．
20. “阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：

（1）本次抽查的学生人数是_________，统计表中的_________；
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是_________；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
21. 如图，在中，于点，点在的延长线上，且，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，，求长．
22. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/．
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
23. 如图，已知是的直径．点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，，．

（1）求证，是的切线；
（2）求证：；
（3）点M是的中点，交于点N．若，求的值．
24. 我们将抛物线（，且）与抛物线称为“美好抛物线”．例如：抛物线与抛物线就是一组“美好抛物线”．根据该约定，解答下列问题：
（1）已知抛物线，直接写出其“美好抛物线”的解析式；
（2）若抛物线的顶点在其“美好抛物线”的图象上，抛物线的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其“美好抛物线”与轴交于点（在上方）．小明发现无论，为何值时，两抛物线始终有一交点在与轴垂直的某一固定直线上运动．若是以为斜边的等腰直角三角形，当时，求抛物线截轴得到的线段长度的取值范围．
25. 如图，四边形为的内接四边形，对角线为直径，过点作于点，交于点．
（1）若，求的度数；
（2）连接，若，求的值；
（3）在（2）的条件下，
①记，，的面积分别为，，，若，求的正切值；
②若，交于点，，试用含的式子表示．
、
书籍类别
学生人数
A文学类
24
B科幻类
m
C漫画类
16
D数理类
8