新高考数学三轮冲刺压轴小题分类训练专题4 平面向量压轴小题（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知△ABC中，，，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由平面向量的加法法则可得就是点A到BC的距离，依题意得△ABC为等腰直角三角形，斜边，D，E为斜边BC的两个四等分点，因为，，且，得点P在线段DE上运动，由下图易得，当点P在点D处时，取得最小值，根据余弦定理解得，所以.
故选：C.
2．（2022·浙江宁波·二模）已知平面向量，，满足，，，（，）.当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解析：作，，，由题意，
设直线与直线交于点，
∵（，），
∴点在线段上（不含端点）
又，结合等和线性质，可知
作于，于，
有，
记
①当点在线段上时，，
由，得，可解得，进而有
此时，，
（注：点为线段的中点，在线段上，符合题意）
可得，所以
②当点在线段的反向延长线上时，同①方法可推得点与点重合，矛盾综上，.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习（理））设，，且，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】如图，
设，，，，连接，，
则由可知四边形为矩形，则.
由，可得，
连接，则，所以点在以点为圆心，4为半径的圆上，
所以的最大值为.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是
A．2B．3C．D．
【答案】B
【解析】是以为圆心的单位圆上的个点,
,
故
而，，
，
故，
当且仅当点与点重合时等号成立，
即的最小值是,
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）已知，是以为直径的圆上的动点，且，则的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，以圆心为原点，直径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
∴，
∴
，
设，则，
即的最大值是2.
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】根据题意,设,
则
由代入可得
即点的轨迹方程为
又因为,变形可得,即,且
所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:
以的最小值即为到直线的距离最小值
根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大，
此时，，，所以，
，即此时.
即的最大值为
故选:B
7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是（ ）
A．B．C．D．不能求
【答案】A
【解析】如下图，过作，交的延长线于，交的延长线于，
设，，，，
则，
所以，得，所以.
作出不等式组对应的可行域，如下图中阴影部分所示，
故所求面积为，故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是内一点，且
所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时

所以，即
当M与C重合时，最大，此时

所以，即
因为在内且不含边界
所以取开区间，即
所以选B
9．（2022·全国·高三专题练习）已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据夹角为锐角，有，即，也即，即，解得.
10．（2022·上海金山·一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【答案】C
【解析】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；
设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以
，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.
故选：C
11．（2022·上海市建平中学高三开学考试）已知的外接圆圆心为，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，过点O作，
，，和是等腰三角形，
为中点，为中点，
设，，则
，
，即
，即
联立解得：，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为
故选：B
二、多选题
12．（2022·全国·高三专题练习）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
【答案】ACD
【解析】A：如下图，，则为垂心，易知：，
所以，则，
根据向量数量积的几何意义知：，同理，
所以，正确；
B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，
所以，，
由，则，
当时的最小值为，错误；

C：由题设，则，
所以，若为中点，则，
故，故共线，又，即垂直平分，
所以，正确；
D：由题设，，
则，
所以，若为中点，则，
故，所以的轨迹经过的外心，正确.
故选：ACD
13．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（ ）
A．-7B．-5C．-2D．–1
【答案】ABC
【解析】设，连接，设，
则，，
所以，
又，
所以
令，则有，
解得：或
因为在单位圆外，所以舍去，
即在以原点为圆心，半径为2的圆上，
因为曲线上存在四个点（i＝1，2，3，4），
即与圆有4个交点，
结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可，
所以，解得：或（舍去），
故选：ABC
14．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知向量，，且，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．与所成角的大小为B．
C．当时，取得最大值D．的最大值为
【答案】AD
【解析】对于A选项：因为,
所以有：，解得，
所以与所成角的大小为；
对于B选项：，
因为 ，
所以，
结合得
，
将代入化简，得
，
故B选项错误；
对于C选项和D选项：以B点为圆心，建立平面直角坐标系，
则由可设，
使用余弦定理得： ，
故可得，

当且仅当即时等号成立，
结和公式，以及选项B中的，可知
当时，
取得最大值，
而此时平方后化为一元二次方程后无解，因此D选项正确，C选项错误.
故选：AD.
三、填空题
15．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知圆半径为 是圆上不重合的点， 则的最小值为_____.
【答案】【解析】取中点C，劣弧AB的中点D，
，
显然，P为劣弧AB的中点D时，最小，
记，由垂径定理可得：，即，
则，
当时，取最小值，最小值为.
故答案为：
16．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设，的夹角为，，，
，.
如图，由题可设，，，
其中O为原点，C在单位圆上，记，假设存在一点，使得
则有
，
又，解得.
所以存在点，使得.
，
且直线的方程为，即，圆心到直线的距离为1.
所以与圆相切，所以当,,三点共线时，取得最小值为，
如图，在位置时， 因为，，且，
由椭圆定义可知，此时在以，为焦点的椭圆上，
当在其他位置时，在椭圆内部，
所以的最大值为，即的最大值为.
.
故答案为：．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知非零平面向量满足，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】不妨设且且，
则且，即研究在圆的上半部分，
如上图，若，，则(注意D在第二象限或y轴上)，又，
若轴于，轴于，则，
所以，且，，则，，
故，由，则，
又，
令，则 且，
当时，，
故答案为：
18．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_______．
【答案】【解析】当且时，；
当且、时，则，当且仅当时等号成立；
同理且、或且、时，的最小值也为；
当时，则，
由，设，则，
所以，当时等号成立.
综上，的最小值为．
故答案为：.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知平面内两单位向量，若满足，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】由题意,可以设，
则由得，
由，
所以，解得：
即的最小值是.
20．（2022·全国·高三专题练习）在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为______．
【答案】
【解析】三点共线，可设，
，，即，，
，即，，；
，，
为的外心，，
，
整理可得：，
，解得：（舍）或；
，
.
故答案为：.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为________.
【答案】【解析】设，，满足，
即满足①，都存在，使得恒成立，
即存在，使得②，
由①②可知：存在，使得成立
即，即，
化简得：③，
即③式恒成立，则必须满足，
解得：，即，
所以的最大值为.
故答案为：
22．（2022·北京顺义·二模）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
② 若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若都是“凸集”，则也是“凸集”；
④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是_____________________．
【答案】①②④
【解析】由题意得，若对于任意，线段上任意一点，都有，则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析
对于①，，若对于任意满足，则，
由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，即，故为“凸集”，①正确
对于②，若为“凸集”，则对于任意，此时，其中
对于任意，，故为“凸集”，②正确
对于③，可举反例，若，
易知都是“凸集”，而不是“凸集”，故③错误
对于④，若都是“凸集”， 则对于任意，任意
则，且，
故，故也是“凸集”
故答案为：①②④
23．（2022·浙江杭州·二模）对于二元函数，表示先关于y求最大值，再关于x求最小值.已知平面内非零向量，，，满足：，，记（m，，且，），则______.
【答案】2
【解析】记，，，则表示在上的投影恰为在上的投影的两倍，即射线的斜率为.
设，，，
记，，则，，
所以.
先让m不变，n变化，即点D固定，点E变化，那么，其中，接着再让m变化，即点D变化，求的最小值.
因为，当且仅当时取得等号.
综上，.
故答案为：2
24．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】如图，连接，设为和的夹角．
则，且，，由，当时，有最小值；
当时，有最大值为10．
所以的取值范围为.
故答案为：
25．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足：，，则的最小值是_________.
【答案】【解析】
如图在直角坐标系中，
设，
∵，∴A的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
设，
由可知，
设，
则，
，
设，则
，
，
∴ ①
②
①＋②得：，
则B的轨迹是以G(－1，)为圆心，1为半径的圆，
则.
故答案为：.
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．
【答案】
【解析】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．
设，，
，
在中，由勾股定理得，则，
BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，
∴且，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在等边中，F为MN中点，则，，
，
在中，由余弦定理得
，
当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，
当且仅当时等号成立．
∵关于b的函数在上单调递增，
∴，当且仅当时等号成立．
∴，当且仅当，时等号成立.
故答案为：．
27．（2022·江苏南京·模拟预测）平面向量，，满足，，，则______．
【答案】【解析】可变形为，即，如图，两圆为半径为1的圆，则，从而，设，，，解得：，所以，
在△AOC中，由余弦定理得：，在三角形BAC中，，从而，即，
因为，所以，所以，，在△OBC中，由正弦定理得：，即，
在三角形OAB中，由正弦定理得：，即，，从而，化简得：，解得：，所以，解得：或（舍去），故.
故答案为：
28．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量的夹角为，满足．平面向量在上的投影之和为2，则的最小值是___．
【答案】
【解析】设与 方向相同的单位向量是 ，且 ，
设与 方向相同的单位向量是 ，且 ，
又. 注意到.
，
，
∵，
∴
设
(1)与(2)联立得： (7)
(3)与(4)联立得： (8)
将(8)代入(5)中得：，
∴，与联立得：，
对应，故,
故答案为：
29．（2022·浙江绍兴·高三期末）设向量，，，，点在内，且向量与向量的夹角为，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
因，则，而，解得，
则，设，有，，
因向量与向量的夹角为，则，
，，
，整理得：，即，
因此，，，令点，，
令，
则，
于是得，又，即有，解得，
当时，，即，而，有，
，矛盾，即，
当时，，即有，其中锐角满足，
则有，，，显然存在满足条件，则，因此，，
所以的取值范围是.
故答案为：
30．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量满足，，向量满足，当与的夹角余弦值取得最小值时，实数的值为____________.
【答案】
【解析】由得，又，则
由，可知，即向量满足，且夹角为
取，，，分别是线段，的中点，
则,，
由可知，点在直线上.又与的夹角为
要使得最大，则取圆过点、且与直线相切于点，此时取得最大，由切割线定理得，又
，
则有，，解之得
故答案为：
31．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】设，
则
设，不妨设，，，，，即为的重心．
则，
点位于圆上或圆内，故当在射线与圆周交点时，最大，即最大时．
由得，．
当且仅当时，取到最大值．
故答案为：．
32．（2022·天津西青·高三期末）在等腰直角三角形中，，点在三角形内，满足，则______.
【答案】
【解析】如图，延长、、，与对边分别交于点、、.
，
，即 ，∴，
同理
∴，又在等腰直角三角形中，，
延长至点，使得.则.
记，.
则，
四点共圆，
，
.
故答案为：
33．（2022·全国·高三专题练习）已知，是以为圆心，为半径的圆周上的任意两点，且满足，设平面向量与的夹角为()，则平面向量在方向上的投影的取值范围是_____.
【答案】
【解析】如图，由BA⊥BC知A在BC上的投影点为B，所以在上的投影即为在上的投影，即为.
在中，由余弦定理知，所以，
所以，
令，则， ，
设，，则函数在上单调递减，于是在上单调递增.
时，时，所以，
同理，当C位于C1处时，投影为.
所以在上的投影的取值范围为.
故答案为：.
34．（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面向量，，满足，，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】如下图，，，则，，
若，则，，
若，由，
∴要使最大，则、同向共线，如下图示，
此时，，而，
∴当时，最大值为.
要使最小，则、反向共线且，如下图示，
此时，而，
∴当时，最小值为.
综上，取值范围为.
故答案为：
35．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面内不同的三点O，A，B满足，若时，的最小值为，则___________.
【答案】
【解析】由题设，如下图示，若，，则，，，即，
∴，即，
若是关于的对称点，
∴，即，如下图示，
当且仅当共线时，即最小，
∵，即，，
∴此时，△中，，而且为锐角，
∴，而.
故答案为：.
四、双空题
36．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知向量，，，则___________，___________.
【答案】
【解析】由题数据可得，，归纳法可得
，，，…，，
所以，
故
.
故答案为：，
37．（2022·广东佛山·高三期末）菱形中，，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），，则___________，的最小值为___________.
【答案】 0 【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，，，，设，则，，则，，，；
因为，所以，，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为
故答案为：0，
38．（2022·浙江·模拟预测）在平面四边形中，，，若，则_____；若为边上一动点，当取最小值时，则的值为_____．
【答案】
【解析】∵平面四边形中，，，
∴是边长为2的等边三角，
在中，，所以，
又，
∴是边的四等分点．
如图建立坐标系：则：，
，
所以
，
再设，则，
∴，
显然时，最小，此时，
∴．
故答案为：，．
39．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，则实数的值是_____，向量的取值范围是_____.
【答案】
【解析】①由题
因为，，所以
因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，最小
所以，解得
又因为与的夹角为锐角，所以，故；
②因为
又有
将模长代入，设
即原式
因为，所以
故答案为：①；②
40．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面向量，，，，，满足，，则的最小值是________，的最大值是_______.
【答案】 1 12
【解析】因为，，
所以，且等号可以取到，如下图
设，，，
则有，，，，如下图
所以有，且等号可以取到，如下图
故答案为：1；12