新高考数学三轮冲刺易错题讲练专题02 一元二次函数、方程和不等式（2份，原卷版+解析版）

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易错点一 不等式性质应用不当
注意：①不等式具有同向相加性质，但两边不能分别相减；
②利用不等式同向相乘,忽略不等式两边为正的前提条件
例1．（2022秋·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习）（多选）已知，则下列结论正确的为（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】CD
【分析】根据不等式的性质，逐个判断选项即可.
【详解】对于A：当，，则，
若，，，，显然满足，，但是、，此时，故选项A错误；
对于B：因为若，所以，又，则，故选项B错误；
对于C：因为，所以，即，所以，故选项C正确；
对于D：若，则，又因为，所以根据不等式的同向可加性，得，故选项D正确；
故选：CD
例2．（江西赣州·高一上犹中学校考周测）若α，β满足，则的取值范围是______________
【答案】
【分析】根据不等关系，利用不等式的性质求出的取值范围.
【详解】因为，所以，，
∴，
又，
∴．
故答案为：
易错点二 利用同向相加求范围出错
注意：在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式
例3．（湖南邵阳·高一统考期中）已知，则的取值范围是____.
【答案】
【分析】根据不等式的性质求得正确答案.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
例4．（2022秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考期中）若且，则的最大值是____________．
【答案】7
【分析】把表达为与的线性关系，结合与求出最大值.
【详解】，则，解得：
即，因为且，所以，故，故的最大值为7
故答案为：7
易错点三 基本不等式“一正二定三相等”
注意：利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等.
1.忽略“一正”
例5．（2023秋·四川泸州·高三统考期末）函数在时有最大值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出，得出函数的最大值为，从而求出和的值．
【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”，
所以函数，解得，，
所以．
故选：C．
例6．（2023秋·广东肇庆·高三统考期末）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可.
【详解】对于A：当时，，A错误；
对于B：，
当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B错误；
对于C：，当且仅当，即时等号成立，C正确；
对于D：当时，，当且仅当，即时等号成立，D错误；
故选：C.
2.忽略“三相等”
例7．（2023春·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知，则函数（ ）．
A．有最小值4B．有最大值4C．无最小值D．有最大值5
【答案】C
【分析】根据对勾函数的单调性以及三角函数的值域即可求解.
【详解】因为，令，则，由于在单调递减，在单调递增，故在单调递减，故，
故选：C．
例8．（2023春·云南普洱·高三校考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．以上都不对
【答案】B
【分析】令，则，然后根据对勾函数的单调性可得答案.
【详解】令，则，
因为在上单调递增，
所以当时取得最小值，
故选：B
易错点四 解分式不等式时直接把分母就乘到不等式右边
注意：去分母之前应该对分母的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论
例9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，
由可得，解得，则，
因此，.
故选：D.
例10．（宁夏吴忠市2023届高三模拟联考试卷数学（文）试题）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先化简集合B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：因为，
所以，
故选：A.
易错点五 一元二次不等式在区间D上恒成立错误的“统一”法
注意：在区间D上恒成立不适用，应使用分离参数
例11．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.
【详解】因为对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立．
设，
，，
当，即时，，
∴实数a的取值范围是.
故选：D.
例12．（2023秋·湖北·高三湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】解法1：利用参变分离结合对勾函数的单调性分析运算；解法2：根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.
【详解】解法1：
时，，则，即，
故在上恒成立，
令，则，故，
∵在上单调递减，在上单调递增，且，
∴当时，，则，
故，即的取值范围为．
解法2：
令开口向上，
若，则，解得，
故的取值范围为．
故答案为：.
易错点六 解含参数不等式时分类讨论不当
注意：讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合
例13．（2022秋·海南·高三海南华侨中学校考期中）若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求原不等式解集，按m与3的大小分类讨论，使得m的取值满足题意即可.
【详解】原不等式等价于
有两根
当时，原不等式解集为，
其中最多只有2个正整数1和2，故不满足题意.
当时，原不等式解集为，
其中恰有3个正整数只能为4、5、6，
故.
故选：A.
例14．（2022秋·甘肃兰州·高一校考期末）不等式的解集为，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意可得恒成立，分别对，，讨论，
结合二次不等式、二次函数图像与性质即可求出答案.
【详解】由不等式的解集为等价于恒成立，
当时，成立，符合条件；
当时，根据二次函数图像开口向上，肯定会有函数值大于0，故不符合；
当时，只需让，解得，
综上所述，a的取值范围为，
故答案为：
一、单选题
1．（2023·吉林·统考三模）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；B选项，利用基本不等式求出；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，举出反例即可.
【详解】A选项，，故，所以，
两边同乘以得，，A成立；
B选项，因为，所以，且，
由基本不等式得，故B成立；
C选项，因为，所以，
故，所以，C成立；
D选项，不妨取，满足，此时，故D不一定成立.
故选：D
2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.
3．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】D
【分析】结合选项，利用特殊值或函数的单调性进行求解.
【详解】当与为负数时，显然不成立，选项A不正确；
因为x不一定为正数，当为负数时，显然不成立，选项B不正确；
令，所以的最小值为3，当且仅当时，取到最小值，选项C不正确；
，因为，所以，当且仅当时，取到最小值，选项D正确．
故选：D．
4．（2023·四川·校联考一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式求得集合，利用集合交集的定义求得结果．
【详解】由等价于，即，
则，解得，故，
所以.
故选：C.
5．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）设集合， ，且 ，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】分类讨论解不等式，确定集合，根据，确定，求得答案.
【详解】解，即 ，
当即时， ，此时，不合题意；
故，即，则 ，
由于，，所以，解得，
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.
【详解】不等式即 ，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故，
当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是 ，故，，
故实数m的取值范围为，
故选：C
7．（陕西榆林·校考模拟预测）关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解集规律列式计算作答.
【详解】因不等式的解集为空集，则当时，不成立，因此，满足题意，
当时，必有，解得，
综上得，
所以实数k的取值范围是：.
故选：A
二、多选题
8．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】取特值可判断A；由不等式的性质可判断B，C，D.
【详解】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题；
对于B，若，则，，所以，故B是真命题；
对于C，若，则，
所以，故C是假命题；
对于D，若，则成立，故D是真命题.
故选：BD.
9．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
【答案】CD
【分析】根据条件及基本不等式可得，进而即得.
【详解】因为，，
所以， ，
故，
当，且，而时，即等号不能同时成立，
所以，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
10．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）下列函数最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用配方法判断A，利用对勾函数的性质判断B，利用均值不等式判断C，利用对数函数的值域判断D.
【详解】，最小值为2，选项A正确；
当时，，无最小值，选项B错误；
，当且仅当，即时取得最小值2，选项C正确；
，所以，，当时取得最小值2，选项D正确．
故选：ACD
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
【答案】
【分析】设，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出．
【详解】设，即，
∴，解得.
∴，
∵，∴①，
∵，∴②，
①②，得，即的取值范围.
故答案为：.
12．（2023·全国·高三专题练习）函数f（x）＝＋1的最小值为________．
【答案】＋1
【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值.
【详解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，
令，t∈[，＋∞），
则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），
则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝，
则g（t）≥，
所以函数f（x）的最小值为；
故答案为：.
13．（2021秋·上海静安·高三校考期中）已知，则函数的最大值是__.
【答案】
【分析】利用基本不等式求最值，注意“一正二定三相等”，要对式子变形后再使用.
【详解】因为，所以，，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
所以时，的最大值是.
故答案为：.
14．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______.
【答案】
【分析】根据分式不等式的解法，即可得到结果.
【详解】因为，即，解得，
所以不等式的解集为
故答案为:
15．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】先移项，根据不等式是否为二次不等式分类讨论，当是一次不等式，若对恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需开口向上且判别式小于零，建立不等式解出即可.
【详解】解：原不等式可化为对恒成立．
（1）当时，若不等式对恒成立，
只需，解得；
（2）当时，若该二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
综上：.
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）函数，若恒成立，则实数x的取值范围是___________．
【答案】
【分析】采用变换主元的策略，看作关于的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求解即可.
【详解】令，当时，恒成立，
只需 即 解得或．
所以实数x的取值范围是．
故答案为：
17．（2022秋·重庆开州·高三临江中学校考开学考试）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】变形给定的不等式，构造二次函数，利用二次函数在闭区间上的最大值不大于0求解作答.
【详解】，，
令，，依题意，，，
而函数是二次项系数为正的二次函数，因此有，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
易错点一
不等式性质应用不当
易错点二
利用同向相加求范围出错
易错点三
基本不等式“一正二定三相等”
1.忽略“一正”
2.忽略“三相等”
易错点四
解分式不等式时直接把分母就乘到不等式右边
易错点五
一元二次不等式在区间D上恒成立错误的“统一”法
易错点六
解含参数不等式时分类讨论不当