河南省商丘市夏邑县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省商丘市夏邑县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）．
A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）

A B. C. D.
4. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
6. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 关于一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
10. 如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 抛物线与y轴的交点坐标是_________．
12. 在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是__________．
13. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________．
14. 如图，是的直径，弦于点，若，，则半径的长为__________．
15. 如图，矩形中，，．点是边上一动点，点为线段上一动点．，则最小值为________．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 解方程
（1）
（2）
17. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
18. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若，求线段AD的长．
（2）若面积为1，求平行四边形BFED的面积．
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B．

（1）求m，a的值，并直接写出点B的坐标；
（2）根据图象可得，不等式的解集为 ．
20. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
21. 如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求阴影部分的面积．
22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
（1）求出a，b的值；
（2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
23. 问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，求出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
2024-2025学年度第一学期期末考试
九年级数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）．
A 经过红绿灯路口，遇到绿灯B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意，根据不可能事件的定义分析，即可得到答案．
【详解】经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件
∴选项A错误；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件
∴选项B错误；
班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件
∴选项C错误；
从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件
∴选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握不可能事件的性质，从而完成求解．
2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了关于原点的对称点的坐标．根据关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：∵关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴点关于原点的对称点的坐标是．
故选：D．
3. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案．
【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着，
，
，
．
故选：C．
4. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，
由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得出，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5. 如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解．
【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是
故选：D．
6. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴
∴，
故选：C．
7. 关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，解得．
故选B．
8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D．
【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B；
当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D；
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键．
9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③．
【详解】解：令，则，解得：，，
∴小球从抛出到落地需要，故①正确；
∵，
∴最大高度为，
∴小球运动中的高度可以是，故②正确；
当时，；当时，；
∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误；
故选C．
10. 如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，

根据相似比可知：，
即，
解得：EF=2（3-x），
则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，
故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 抛物线与y轴的交点坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标．
【详解】令抛物线中，
即，
解得，
故与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值．
12. 在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题．
【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，

∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴,
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．
13. 一个不透明盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________．
【答案】
【解析】
【分析】设袋子中红球有个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于的方程，求出的值，从而得出结果．
【详解】解：设袋子中红球有个，
根据题意，得,
∴盒子中红球的个数约为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键．
14. 如图，是的直径，弦于点，若，，则半径的长为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，关键是根据以上知识点列出关于圆半径的方程．
连接，设的半径长为，得到，，由垂径定理推出，由勾股定理得到，即可求出．
【详解】解：连接，设的半径长为，
，
弦于点，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
15. 如图，矩形中，，．点是边上一动点，点为线段上一动点．，则的最小值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，两点之间，线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．
取的中点O，连接，，证明，推出，点M在以O为圆心，4为半径的上，利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点O是的中点
∴，
∴，
∴点M在以O为圆心，4为半径的上，
∵
∴
∴的最小值为2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握根据方程特点选择适当的解法是解题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
小问1详解】
解：，
，
或，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
∴，．
17. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】（1）
（2）树状图见解析，该游戏对双方公平
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
18. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若，求线段AD的长．
（2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】（1）2 （2）6
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；
（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．
【小问1详解】
∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵四边形BFED是平行四边形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B．

（1）求m，a的值，并直接写出点B的坐标；
（2）根据图象可得，不等式的解集为 ．
【答案】（1），，
（2）或
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，根据交点确定不等式的解集，理解题意，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键．
（1）将点A代入一次函数即可得出，再将点A代入反比例函数即可确定函数解析式，进而即可得出交点；
（2）结合图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵点在一次函数的图象上，
∴将代入中，得，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入中，得，
解得．
联立，
解得：或
∴点的坐标为．
【小问2详解】
由图象得：当一次函数的图象位于反比例函数图象下方，即时，或，
故答案为：或．
20. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】（1）20% （2）18个
【解析】
【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
【小问2详解】
设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
21. 如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论．
【小问1详解】
证明：∵=，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD=．
∴S阴影=．
【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．
22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
（1）求出a，b值；
（2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将代入即可求解；
（2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可．
【小问1详解】
解：∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线和直线均经过点
∴，
解得，．
【小问2详解】
由①知，，
∴
∴最大值
当时，
则
解得，
又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
∴不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度时，在第二次则
解得
∴这两个位置之间的距离．
23. 问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，求出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解；
（2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得．
【小问1详解】
解：中，，，
是等边三角形，
∵是的中点，
，,
∵，
，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
证明：取的中点，连接．
是的中点，
，，
∴；
，
∴，
∴，
，
．
，
．
．
．
．
．
，
．
．
．
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度直角三角形性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．