山东省滨州市邹平市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份山东省滨州市邹平市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版），共28页。
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页．满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，只收交答题卡．
2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡规定的位置上．
3．第I卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．
4．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第I卷（选择题共24分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分24分．
1. 方程的根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不等的实数根
2. 一元二次方程，配方后变形为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ）

A. B. 点A的坐标为
C. 当时，y随x的增大而减小D. 图象的对称轴为直线
4. 某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A B. C. D.
5. 在中，，则下列三角函数值计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6 反比例函数图象上有三个点，其中
，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（ ）
A. 定价70元时，利润为6000元B. 定价元时，利润为6105元
C. 降价3元，能使所获利润最大D. 涨价5元，能使所获利润最大
8. 已知抛物线与纵轴交于点，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
第II卷 （非选择题共96分）
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．
9. 计算：___________．
10. 掷一枚质地均匀的骰子时，观察向上一面的点数，点数大于2且小于5的概率是___________．
11. 在直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小得到，使与的相似比为，则点的对应点的坐标为___________．
12. 如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是___________．
13. 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为．已知电压为这个用电器的电路图如图所示，则这个用电器功率的范围是______．

14. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为米，那么它的下部应设计为____米．
15. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为_______________．
16. 如图，的直径为，弦为的平分线交于点，则弦的长为___________．
三、解答题：本大题共6个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
18. 盒中有多枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别．此时，从盒中随机取出一枚棋子，则它是黑棋的概率是．
（1）如果再往盒中放进枚黑棋，那么取得黑棋概率变为，求原来盒中黑棋和白棋各有多少枚？
（2）如果从原来盒中随机取出一枚棋子后，放回并摇匀，再随机取出一枚棋子，求两次都摸到黑棋的概率．
19. 正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是6．
（1）当时，求反比例函数的值；
（2）当时，求反比例函数的取值范围．
20. 如图，是斜边上的高．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21. 如图，是内接正五边形的三个顶点．
（1）尺规作图：作出及顶点，；
（2）（1）图中连接，分别交，于点，，求证：．
22. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为．
（1）当的面积为时，的值时多少？
（2）的面积随出发时间是怎样变化的？并当取何值时，面积最大，最大是多少？
23. 如图，为等腰三角形，是底边中点，腰与相切于点，底边交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，，交于点，若点是弧的中点，求证：．
24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过线段上的一个点作轴的垂线，交线段于点，交抛物线于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）问点在什么位置时能成为等腰三角形？
（3）若连接，，则当___________时，与相似．（直接写出结果即可，不用写出解答过程）
2024-2025学年度第一学期学情考查
九年级数学试题
温馨提示：
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页．满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，只收交答题卡．
2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡规定的位置上．
3．第I卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．
4．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第I卷（选择题共24分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分24分．
1. 方程的根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解答本题的关键．
由一元二次方程根判别式可得，从而可得答案．
【详解】解：，
，
，
方程无实数根，
故选：A．
2. 一元二次方程，配方后变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得解．
【详解】 解：∵，
∴，
∴ ，即，
故选：C．
3. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ）

A. B. 点A的坐标为
C. 当时，y随x的增大而减小D. 图象的对称轴为直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．
【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误；
∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确
∵
∴A点坐标为（-3，0），故B错误；
由图可知当时，y随x的增大而减小，故C错误；
故选D．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
4. 某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，画出树状图，即可求解．
【详解】解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，
画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两名同学恰好在同一岗位体验有4种，
∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率=4÷16=，
故选A．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率，画出树状图是解题的关键．
5. 在中，，则下列三角函数值计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，先求出，然后根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，，，，
∴A，C，D错误，B正确．
故选B．
6. 反比例函数图象上有三个点，其中
，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质当时，随的增大而减小即可求得．
【详解】解：∵反比例函数是双曲线，两个分支分别在第一三象限，
∴当时，随的增大而减小，，当时，随的增大而减小，
∵，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，明确还是是解题的关键．
7. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（ ）
A. 定价70元时，利润为6000元B. 定价元时，利润为6105元
C. 降价3元，能使所获利润最大D. 涨价5元，能使所获利润最大
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与销售问题，熟练掌握二次函数与销售问题是解题的关键．根据题意列出算式进行求解即可．
【详解】解：定价70元时，利润为，故选项A正确，不符合题意；
定价元时，利润为，故选项B正确，不符合题意；
设每件降价元，利润为，
则，
当时，利润最大，故选项C错误，符合题意；
设每件涨价元，利润为，
则，
当时，利润最大，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
8. 已知抛物线与纵轴交于点，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查抛物线的旋转，熟练掌握抛物线的旋转是解题的关键．根据抛物线解析式求出点坐标．在由题意得到旋转后顶点坐标，即可得到答案．
【详解】解：抛物线与纵轴交于点，则点坐标为，
抛物线对称轴为，顶点坐标为，
将此抛物线绕点顺时针旋转，
新的顶点坐标为，
故新的抛物线的解析式为．
故选A．
第II卷 （非选择题共96分）
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．
9. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
10. 掷一枚质地均匀的骰子时，观察向上一面的点数，点数大于2且小于5的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由掷一个骰子，共有6种等可能的结果，点数大于2且小于5的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵掷一个骰子，共有6种等可能的结果，点数大于2且小于5的有2种情况，
∴点数大于2且小于5的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
11. 在直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小得到，使与的相似比为，则点的对应点的坐标为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换中对应点的坐标的变化规律，掌握位似变换中对应点的坐标的变化规律是解题的关键．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，据此进行解答即可．
【详解】 解：∵与的相似比为，，
∴变换后点的对应点的坐标为或，
∴变换后点的对应点的坐标为或，
故答案为：或．
12. 如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设平移后新抛物线的解析式为，将和代入求出、，即可求解．
【详解】解：设平移后新抛物线的解析式为，
将和代入得：
，
解得：，
平移后新抛物线的解析式是，
故答案为：．
13. 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为．已知电压为这个用电器的电路图如图所示，则这个用电器功率的范围是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据功率公式，求得的范围即可求解．
【详解】解：∵，电阻的范围为．电压为
∴当时，
当时，，
∴这个用电器功率的范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为米，那么它的下部应设计为____米．
【答案】
【解析】
【分析】设雕像的下部高为，则上部长为，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设雕像的下部高为，则上部长为，根据题意可得：
，
整理得：，
解得：，(舍去)，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于读懂题目列出方程．
15. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为_______________．
【答案】2
【解析】
【分析】连接，设的半径为，由 ，根据垂径定理可得，在 中，， ，利用勾股定理可得到，则，由 为的中位线，可得，再根据圆周角定理可得 ，最后在中利用勾股定理即可计算出 ．
【详解】解：连接BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，
∵，
∴，解得R＝5，
∴OC＝5﹣2＝3，
∵为中位线，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16. 如图，的直径为，弦为的平分线交于点，则弦的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆心角定理，圆周角定理及推论，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
作于点，连接，根据题意得到，得出，得到，求出，继而求出，根据勾股定理求出，即可得到．
【详解】解：如图，作于点，连接，
，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
,
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题：本大题共6个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解决此题的关键．
（1） 用因式分解法解方程即可；
（2）用求根公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
或 ，
，；
【小问2详解】
解： ，， ，
Δ=b2-4ac=-482-4×16×9=48×48-12=48×36>0 ，
方程有两个不等的实数根，
，
，．
18. 盒中有多枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别．此时，从盒中随机取出一枚棋子，则它是黑棋的概率是．
（1）如果再往盒中放进枚黑棋，那么取得黑棋的概率变为，求原来盒中黑棋和白棋各有多少枚？
（2）如果从原来盒中随机取出一枚棋子后，放回并摇匀，再随机取出一枚棋子，求两次都摸到黑棋的概率．
【答案】（1）原来盒中黑棋有枚， 白棋有枚
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法求概率，二元一次方程组的应用，
（1）设原来盒中黑棋有枚，白棋有枚，得出袋中共有枚棋，再根据概率公式列出关系式，求出，的值即可；
（2）先确定盒中有枚黑棋和枚白棋，再列表法展示所有种等可能的结果数，然后找出两次都摸到黑棋的结果数后利用概率公式求解．
解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比．
【小问1详解】
解：设原来盒中黑棋有枚，白棋有枚，
依题意，得：，
解得： ，
答： 原来盒中黑棋有枚， 白棋有枚；
小问2详解】
根据题意，列表如下：
由表可以看出，从原来盒中随机取出一枚棋子后，放回并摇匀，再随机取出一枚棋子， 共出现种等可能结果， 其中两次都摸到黑棋的结果有种，
∴（两次都摸到黑棋），
∴两次都摸到黑棋的概率为．
19. 正比例函数图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是6．
（1）当时，求反比例函数的值；
（2）当时，求反比例函数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及反比例函数的性质，注意当时，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小．
（1）首先把代入直线的解析式，求得交点坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，最后把代入求解即可；
（2）首先求得当和时的值，然后根据反比例函数的性质求解．
【小问1详解】
解：对于，当 时，，
故由题意知反比例函数 的图象经过点，
将 代入 得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
即当时，反比例函数的值为．
【小问2详解】
解：对于，当时，；时，；
又由知，当时，随的增大而减小，
当时，反比例函数的取值范围是．
20. 如图，是斜边上的高．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．
（1）证明，得到，即可得证；
（2）由（1）知，得到，推出，在中，根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：是斜边上的高，
，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
又中，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：．
21. 如图，是内接正五边形的三个顶点．
（1）尺规作图：作出及顶点，；
（2）在（1）图中连接，分别交，于点，，求证：．
【答案】（1）图见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查圆的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
（1）以点，点为圆心，大于的长画弧，以点，点为圆心，大于的长画弧，分别作出的垂直平分线，两条直线相交于点，以为半径画圆，交垂直平分线分别为点和点．
（2）连接，根据圆的性质证明，得到，即可得到结论．
【小问1详解】
如下图，及点，即为所求作的圆及点．
【小问2详解】
解：连接 ．
弧弧弧，
，
，
，
，
，
，
．
22. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为．
（1）当的面积为时，的值时多少？
（2）面积随出发时间是怎样变化的？并当取何值时，面积最大，最大是多少？
【答案】（1）或
（2）当时，的面积S随t的增大而增大，当时，的面积S随t的增大而减小，当为时的面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积，一元二次方程的应用，二次函数的最值等知识；
（1）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；
（2）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，，
∴，
的面积
，
解得：或，
即当秒或秒时，的面积是；
【小问2详解】
由题意得：，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，的面积S随t的增大而增大，
当时，的面积S随t的增大而减小，
∴当为时的面积最大，最大面积是．
23. 如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点，底边交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，，交于点，若点是弧的中点，求证：．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查圆的切线判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）过点作，根据切线的定义得到，得到是的平分线，求出是的半径，即可得到结论；
（2）证明，根据平行线分线段成比例得到，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：过点作，垂足为，连接，．
与相切于点 ，
，
又为等腰三角形，是底边的中点，
是的平分线．
，即是半径，
是的切线．
【小问2详解】
证明：点是弧的中点，
弧弧，
，
，
，
，
又 ，
．
24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过线段上的一个点作轴的垂线，交线段于点，交抛物线于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）问点在什么位置时能成为等腰三角形？
（3）若连接，，则当___________时，与相似．（直接写出结果即可，不用写出解答过程）
【答案】（1）
（2）当点坐标为或或时，是等腰三角形
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法将点的坐标代入中即可求解；
（2）设直线的解析式为，得直线的解析式为，设点的坐标为，其中，由题意得点，进而可得，，由，得；同理可得，；分三种情况：当时；当时；当时分别列方程求解即可求是等腰三角形时D的坐标；
（3）若与相似，可得，设， 得 ，’ 解方程即可求得．
【小问1详解】
解：把点的坐标代入中，得，
解得，
此抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：对于，取，得，
点的坐标为；
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
设点的坐标为，其中，
由题意得点，
，
又，
，
；
同理，，；
当时，，
解得，
经检验，舍去，只取；
当时，，
解得，符合题意；
当时，，
解得或，经检验，舍去，只取；
综上所述，当点坐标为或或时，是等腰三角形．
【小问3详解】
解：点，点的坐标为，
，
若与相似，
可得，
，
设，
， ，
，
或（舍去），
时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，相似三角形的性质等，解题关键是在求等腰三角形的存在性质时注意分类讨论思想的运用，要把所有符合条件的点求全．
第二次
第一次
黑
黑
黑
白 1
白 2
白 3
白 4
白 5
黑
黑，黑
黑，黑
黑，黑
黑
黑，黑
黑，黑
黑，黑
黑
黑，黑
黑，黑
黑，黑
白 1
白 2
白 3
白 4
白 5