2024-2025学年上海市金山区高二上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市金山区高二上学期期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是( )．
A. A⊂lB. A⊆lC. A∈lD. A∉l
2.在空间内，异面直线所成角的取值范围是( )
A. 0,π2B. 0,π2C. 0,π2D. 0,π2
3.已知A、B、C是半径为1的球面上的三点，若AB=AC=1，则BC的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
4.《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”.所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AB=BC=2,AA1=4,M是A1C1的中点，过B,C,M三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论：
①过B,C,M三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形
②该三棱台的表面积为172+6 2+ 512
③二面角M−BC−C1的正切值为 24
④三棱锥M−ABC的外接球的表面积为814π
其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.掷一颗质地均匀的骰子出现点数是2的概率为 ．
6.某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是 ．
7.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 条件．
8.若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为 ．
9.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是 (结果保留π)．
10.现有一组数据：3,4,6,8,9,10,12,13，其第70百分位数为 ．
11.甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 ．
12.已知直线l的一个方向向量d=4,−8,6，平面α的一个法向量n=m,3,6，且l//α，则m= ．
13.水平放置的▵ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=6，B′C′=4，则边AB的实际长度为 ．
14.已知直三棱柱ABC−A1B1C1，∠CAB=90∘，AA1=2AB=2AC=2，则直线A1B与侧面B1C1CB所成角的正弦值是 ．
15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AA1=7，点O在棱AA1上，且AO=4，则正方体表面上到点O距离为5的点的轨迹的总长度为 ．
16.一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成(如图1)，沿AD，BC将这两个三角形折起到与平面ABCD垂直(如图2)，连接EF，AE，CF，AC，若点G满足DG=xDA+yDC+zDF且x+y+z=1，则|EG|的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)同样掷两枚硬币，观察朝上的面(只考虑正面和反面两种情况)，写出该随机试验的样本空间，并求两次均正面朝上的概率；
(2)已知一组数据按从小到大的顺序排列为：1,2,a,5,9,b，这组数据的中位数为4.5，平均数为6，求这组数据的极差．
18.(本小题12分)
如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，AE=13AD，设OA=a,OB=b,OC=c．
(1)试用向量a,b,c表示向量OD,AD；
(2)若OA=OB=OC=2,∠AOC=∠BOC=∠AOB=90∘，求OE⋅OD的值．
19.(本小题12分)
如图，棱长为2的正四面体ABCD中，E､F分别是棱AD,CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影．
(1)求证：直线EF//平面ABC；
(2)求三棱锥A−BCD的体积；
(3)求二面角B−EF−D的大小．
20.(本小题12分)
某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间[50,100]，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)现学校准备利用分层随机抽样方法，从80,90和90,100的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件A为“至少有1人测试成绩位于区间[90,100]”，求事件A发生的概率；
(3)已知样本数据在80,90的平均成绩x=83，方差s 12=8，在90,100的平均成绩y=92，方差s 22=10，求在80,100的平均成绩z，并估计在80,100的成绩的方差s2.(结果精确到0.01)
21.(本小题12分)
我们a×b称为向量a与b的向量积，现定义空间向量a与b的向量积：若a=x1,y1,z1，b=x2,y2,z2，则a×b=y1z2−y2z1,−x1z2+x2z1,x1y2−x2y1.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥O−ABC中，记OA=a,OB=b,OC=c．
(1)若A1,2,1,B0,−1,1，求OA×OB,OA×OB⋅OA；
(2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题(1)的结果，猜测一个有关OA×OB方向的一般结论(不必证明)．
②若A1,2,1,B0,−1,1,C3,1,1，求直线OC与平面OAB的所成角的大小；
(3)证明a×b=absin，并用a,b,c表示三棱锥O−ABC的体积．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.A
5.16

7.充分非必要
8.2π
9. 33π
10.10

12.−3
13.10
14. 1010
15.17π2
16.2 3
17.解：(1)样本空间为{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}，
则两次均正面朝上的概率为14．
(2)由题意知a+52=4.51+2+a+5+9+b6=6，解得a=4,b=15，
则这组数据的极差为15−1=14．

18.解：(1)OD=12OB+OC=12b+c，
AD=12AB+AC=12OB−OA+OC−OA=12−2a+b+c．
(2)因为OA=OC=2,OB=2,∠AOC=∠BOC=∠AOB=90∘，
所以a,b=b,c=a,c=π2,a=b=c=2，
所以a⋅b=a⋅c=b⋅c=0，
OE=OA+AE=OA+13AD=OA+13OD−OA=23OA+13OD=23a+16b+16c，
所以OE⋅OD
=23a+16b+16c⋅12b+12c=13a⋅b+13a⋅c+112b2+112b⋅c+112b⋅c+112c2=23

19.解：(1)因为E,F分别是直线AD,CD的中点，
所以EF//AC.又EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
故直线EF//平面ABC．
(2)由题意知BO=23BF=23 22−12=2 33,∴AO= 22−2 332=2 63，
则三棱锥A−BCD的体积为13× 34×22×2 63=2 23．
(3)取EF的中点为H，连接BH,DH，
因为四面体棱长均为2，故三角形ABD,三角形ACD均为等边三角形，
因为E,F是棱AD,CD的中点，所以三角形DEF为等边三角形，
∴BH⊥EF,DH⊥EF且EF=1,BE=BF= 3,，
所以∠BHD即为所求的二面角；
所以BH= 3−14= 112,DH= 32，
则cs∠BHD=BH2+HD2−BD22⋅BH⋅HD=114+34−42× 112× 32=− 3333，
由图观察，二面角B−EF−D为钝二面角，
则二面角B−EF−D的大小为π−arccs 3333．

20.解：(1)根据题意可得0.015+0.020+a+0.025+0.010×10=1，解得a=0.030．
(2)因为80,90和90,100这两组的频率之比为0.25:0.1=5:2，
所以在：[80,90)中抽5人，在：90,100中抽2人，
设从80,90学生中抽取的5人为a,b,c,d,e，从90,100学生中抽取的2人为1，2，
则这个试验的样本空间为Ω={ab,ac,ad,ae,a1,a2,bc,bd,be,b1,b2,cd,ce,c1,c2,de,d1,d2,e1,e2,12}，故nΩ=21，
又A=a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,e1,e2,12，则nA=11，
所以事件A的概率为P(A)=n(A)n(Ω)=1121．
(3)80,90的人数为200×0.025×10=50,
90,100的人数为200×0.01×10=20，
80,100平均数为83×50+92×2050+20=5997≈85.57
[80,100]的成绩的方差
s2=5050+208+83−59972+2050+2010+92−59972≈25.10．

21.解：(1)OA×OB=y1z2−y2z1,−x1z2+x2z1,x1y2−x2y1=3,−1,−1，OA×OB⋅OA=3,−1,−1⋅1,2,1=3−2−1=0．
(2)①OA×OB的方向是平面OAB的法向量；
因为OA=x1,y1,z1，OB=x2,y2,z2，
OA×OB=y1z2−y2z1,−x1z2+x2z1,x1y2−x2y1，
所以OA×OB⋅OA=x1y1z2−y2z1+y1−x1z2+x2z1+z1x1y2−x2y1=0，
OA×OB⋅OB=x2y1z2−y2z1+y2−x1z2+x2z1+z2x1y2−x2y1=0，
所以OA×OB的方向是平面OAB的法向量；
②由题意知OA=1,2,1,OB=0,−1,1,OC=3,1,1，
设平面OAB的法向量为n=x,y,z，
则OA⋅n=x+2y+z=0OB⋅n=−y+z=0⇒设y=1，则z=1,x=−3⇒n=−3,1,1，
则直线OC与平面OAB的所成角的正弦值为sinθ=OC⋅nOCn=−9+1+1 9+1+1× 9+1+1=711，
则直线OC与平面OAB所成角们大小为arcsin711．
= x12+y12+z12x22+y 22+z22−x1x2+y1y2+z1z22
= x12y 22+x12z 22+y 12x 22+y 12z 22+z12x 22+z12y 22−2x1x2y1y2−2x1x2z1z2−2y1y2z1z2
= y1z2−y2z12+−x1z2+x2z12+x1y2−x2y12
=a×b，
由题意知点C到平面AOB的距离为d=OA×OB⋅OCOA×OB，
VC−AOB=13S▵AOB⋅dC−AOB=13×12OA×OB×OA×OB⋅OCOA×OB
=16|(OA×OB)⋅OC|=16|(a×b)⋅c|.