2024-2025学年上海市金山中学高二下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市金山中学高二下学期期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若m，n是不相同的直线，α,β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是( )
A. 若m!/α，n//α，则m//nB. 若m//α，n⊂α，则m//n
C. 若m//α，m//β，则α//βD. 若α//β，m⊂α，则m//β
2.等轴双曲线C过点P(3,1)，则双曲线C的右焦点F2到其中一条渐近线的距离为( )
A. 3B. 2C. 2 2D. 2 3
3.已知(2−x)2025=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a2025(x+1)2025，则a0+a1+⋯+a2025=( )
A. 22025B. 24050C. 1D. 0
4.已知f(x)=sinx+lnx，将y=f(x)的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列xn，对于正整数n有如下两个命题：甲：(n−1)π1的解集为 ．
8.已知a→,b→为单位向量，a→−b→= 3，则a→,b→的夹角为 ．
9.从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145(单位：分)，则这10名同学数学成绩的第70百分位数是 ．
10.底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的12，则该圆柱的高为
11.已知点A(m,1)在抛物线C：y=ax2上，且点A与焦点的距离为3，则a的值为 ．
12.设由复数组成的数列an满足：对任意的正整数n，都有an+1an=i(i是虚数单位)，则数列an的前2024项的和为 ．
13.《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种.
14.已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为 ．
15.已知定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)，若f′(x)x+2的解集是 ．
16.已知实数x1,x2,y1,y2满足：x12+y12=2,x22+y22=2,x1y2−y1x2=2，则x1+y1−2+x2+y2−2的最大值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在四棱锥P−ABCD中，底面为梯形，AB//CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P−ABCD的体积为4．
(1)求证：AB⊥平面PAD；
(2)求PC与平面ABCD所成角.(结果用反三角函数表示)
18.(本小题14分)
已知函数f(x)= 2sin(ωx+φ)，g(x)= 2csωx，ω>0，φ∈[0,π)，它们的最小正周期为π．
(1)若y=f(x)是奇函数，求f(x)和g(x)在[0,π]上的公共减区间D；
(2)若y=f(x)+g(x)的一个零点为x=−π6，求f(x)+g(x)的最大值．
19.(本小题14分)
为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：
(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
(2)设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
20.(本小题14分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴为MN，椭圆的离心率e= 32，左右焦点分别记作F1、F2，且MF1⋅NF1=1，过F1、F2分别作直线l1、l2交椭圆于AB、CD(B,C在x轴上方)，且l1//l2；
(1)求此椭圆方程．
(2)当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1⋅k2为定值．
(3)求四边形AF1F2D面积的最大值．
21.(本小题14分)
已知函数y=f(x)，若点P是函数y=f(x)的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点P是函数y=f(x)的“特征点”，记y=f(x)的所有“特征点”的集合为Mf；
(1)若f(x)=lnx，求Mf；
(2)若f(x)=x2，求证：函数y=f(x)的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)若f(x)=x3−ax2，记函数y=f(x)的所有点组成的集合为N，且Mf∩N=⌀，求实数a的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.0，2
6.32
7.(9,+∞)
8.2π3
9.124
10.2
11.18/0.125
12.0
13.12
14.4
15.0,e2
16.4+2 2
17.解：(1)∵∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥AP，CD⊥DP，
又AB//CD，所以AB⊥DP，
∵AP∩DP=P，AP，DP⊄面PAD，
∴AB⊥平面PAD；
(2)如图，作AD的中点E，连结PE，CE，
∵PA=PD，PA⊥PD
∴PE⊥AD，AD=2 2，PE=12AD= 2．
由(1)AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，
又AB∩AD=A，AB，AD⊄面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，即PE为四棱锥P−ABCD的高，
∠PCE为PC与平面ABCD所成，．
由四棱锥P−ABCD的体积为4，可得：
4=13S梯形ABCD⋅PE=13⋅AB+CD2⋅AD⋅PE=13⋅2+CD2⋅2 2⋅ 2，
解得CD=4，
在Rt▵PDC中，PC= PD2+DC2= 22+42=2 5，
在Rt▵PEC中，sin∠PCE=PEPC= 22 5= 1010，∠PCE=arcsin 1010，
所以PC与平面ABCD所成角为arcsin 1010．

18.解：(1)由T=2π|ω|=π，得ω=2，
又因为y=f(x)是奇函数且φ∈[0,π)，所以φ=0，
所以f(x)= 2sin2x，g(x)= 2cs2x，
在[0,π]上，函数f(x)= 2sin2x的单调递减区间是D1=π4,3π4，
函数g(x)= 2cs2x的单调递减区间是D2=0,π2，
所以D=D1∩D2=π4,π2．
(2)y=f(x)+g(x)= 2sin(2x+φ)+ 2cs2x，
把点−π6,0代入得 2sin−π3+φ+ 2cs−π3=0，即sinφ−π3=−12，
因为φ∈[0,π)，所以φ=π6，
所以y=f(x)+g(x)= 2sin2x+π6+ 2cs2x= 612sin2x+ 32cs2x
= 6sin2x+π3，
所以当2x+π3=π2+2kπ,k∈Z，即x=π12+kπ,k∈Z时，y=f(x)+g(x)取最大值 6，
即f(x)+g(x)max= 6．

19.解：(1)由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，
有C22C62+C32C62种情况，从11人中抽4人有C114种情况，
所以所求的概率为C22C62+C32C62C114=60330=211．
(2)随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3、4，
P(X=0)=C50C64C114=122，P(X=1)=C51C63C114=1033，
P(X=2)=C52C62C114=511，P(X=3)=C53C61C114=211，P(X=4)=C54C60C114=166，
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)=0×122+1×1033+2×511+3×211+4×166=2011．

20.解：(1)设c2=a2−b2，c>0，
MF1⋅NF1=(a−c)(a+c)=1，得到b2=1；
又因为ca= 32，所以a2=4，c2=3，b2=1．
即椭圆方程为x24+y2=1．
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，根据对称性，有C−x1,−y1，因为Ax1,y1，Bx2,y2都在椭圆C上，
所以x124+y12=1，x224+y22=1，二式相减得，x12−x224+y12−y22=0，
所以k1k2=y2−y1x2−x1⋅y2+y1x2+x1=y22−y12x22−x12=−14为定值．
(3)由题意得，直线l1的倾斜角不为0，由对称性得四边形ABCD为平行四边形，
S▱ABCD=2⋅S▱AF1F2D=4⋅S▵OAB，
F1− 3,0，设直线l1的方程为x=my− 3，代入x24+y2=1，
得m2+4y2−2 3my−1=0.显然Δ>0，y1+y2=2 3mm2+4，y1⋅y2=−1m2+4．
所以S▵OAB=12⋅ 3⋅y1−y2= 32⋅ 2 3mm2+42−4⋅−1m2+4=2 3⋅ m2+1m2+42，
设m2+1=t，所以m2=t−1，t∈(1+∞)．
所以m2+1m2+42=tt2+6t+9=1t+9t+6≤112．
当且仅当t=9t即m=± 2时等号成立，所以S▵OABmax=2 3⋅ 112=1．
所以平行四边形面积的最大值为SAF1F2D=2⋅S▵OAB=2．


21.解：(1)假设f(x)=lnx(x>0)存在“特征点”，则f(x)存在两条互相垂直的切线，
设为x=x1和x=x2处的切线，
因为f′(x)=1x，所以f′x1f′x2=1x1x2>0，
所以f(x)不存在“特征点”，所以M=⌀．
(2)设“特征点”Px0,y0是f(x)在x=x1和x=x2处的切线的交点，
因为f(x)=x2，所以f′(x)=2x，
所以f(x)在x=x1和x=x2处的切线方程为y=2x1x−x12，y=2x2x−x22，
联立y=2x1x−x12y=2x2x−x22解得x=12x1+x2y=x1x2，即P12x1+x2,x1x2，
因为两条切线相互垂直，所以f′x1f′x2=4x1x2=−1，
所以x1x2=−14，所以f(x)的所有“特征点”在一条定直线y=−14上.
(3)因为Mf∩N=⌀，所以由题意可知不存在f(x)图象上的点，使得该点是“特征点”，
先证明：对任意的实数a，若f(x)图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，
反证法：假设该点Qx1,y1不是切点，则存在切线y=f′x2x−x2+fx2，
它与函数图象交于点Q，所以y1=3x22−2ax2x1−x2+x23−ax22=x13−ax12，
化简得x1−x22x1−a+2x2=0，因为x1≠x2，所以x1=a−2x2，
同理可得x1=a−2x3，所以x1=x2，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点；
假设Ax2,y2，Bx3,y3处切线互相垂直，不妨令B是两条切线的交点，
则由前文可知x3=a−2x2，所以f′x2=3x22−2ax2，f′x3=3x33−2ax3=3a−2x22−2aa−2x2=12x22−8ax2+a2，
因为f′x2f′x3=−1，
所以3x22−2ax212x22−8ax2+a2=−1，即3x22−2ax212x22−8ax2+a2+1=0，
设t=3x22−2ax2=3x2−a32−a23≥−a23，
则有t4t+a2+1=4t2+a2t+1=0，
由题意可知f(x)图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点B，
所以方程4t2+a2t+1=0对t≥−a23无解，
设g(t)=4t2+a2t+1，其对称轴为t=−a28≥−a23，
所以当t=−a28时g(t)取最小值1−a416，
要使得g(t)=0无解，只需1−a416>0，解得a∈(−2,2)．
类别科室
志愿者
医生
护士
A科室
2
3
B科室
3
3
X
0
1
2
3
4
P
122
1033
511
211
166