新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第16讲 变化率与导数、导数的计算（2份，原卷版+解析版）

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1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \(lim,\s\d10(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d10(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d10(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d10(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d10(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
考点1 导数的运算
[名师点睛]
对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
[典例]
1．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【解】（1）因为，则；
（2）因为，则；
（3）因为，则；
（4）因为，则
；
（5）因为，故.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导数为，且，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】
由得，当时，，解得，所以，.
故选：B
[举一反三]
1．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）下列求导运算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
对于A：，故选项A正确；
对于B：，故选项B正确；
对于C：，故选项C正确；
对于D：，故选项D不正确；
所以求导运算不正确的是选项D，
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数，满足且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.
故选：C
3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足，，，那么的值为( )
A．0B．1C．2D．
【答案】C
【解析】由两边同时乘x可得：
，
又，
因此．
由，即，可得，
∴，
∴．
故选：C﹒
4．（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】A：，故正确；
B：，故错误；
C：，故错误；
D：，故正确.
故选：AD
5．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：
（1）y=x（x2）；
（2）y=（1）（1）；
（3）y=xtanx；
（4）y=x﹣sincs；
（5）y=3lnx+ax（a>0，且a≠1）.
【解】解：（1）y=x（x2）=x3+1；则函数的导数y′=3x2.
（2）y=（1）（1）=1，则y′；
（3）y=xtanx，
则y′
；
（4）y=x﹣sinsinx；
则y′=1csx.
y′axlna.
考点2 导数的几何意义
[名师点睛]
利用导数求切线方程的一般过程
已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，需分点P是切点和不是切点两种情况求解：
1．若P(x0，y0)是切点，则曲线的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
2．若P(x0，y0)不是切点，则分以下几个步骤：
(1)设出切点坐标P′(x1，y1)．
(2)写出过P′(x1，y1)的切线方程y－y1＝f′(x1)·(x－x1)．
(3)将点P(x0，y0)的坐标代入切线方程求出x1.
(4)将x1的值代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)得到所求切线方程．
[提示] “在”和“过”的区别：
(1)“曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线”指点P(x0，y0)是切点，切线的斜率k＝f′(x0)；
(2)“曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线”指点P(x0，y0)只是切线上一点，不一定是切点．
[典例]
1．（2022·广东茂名·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】，
则曲线在处的切线斜率，
∴切线方程为，即．
故答案为：．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为__________
【答案】或
【解析】点P(－1，0)不在f(x)＝x2上，设切点坐标为(x0，)，由f(x)＝x2可得，
∴切线的斜率.切线方程为.
∵切线过点P(－1，0)，∴k＝＝2x0，解得x0＝0或x0＝－2，
∴k＝0或－4，故所求切线方程为y＝0或4x＋y＋4＝0.
故答案为：或
3．（2022·河南·三模）曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为______．
【答案】
【解析】由，得，因为，所以，
则切点A的横坐标为－1，所以，
解得，所以A的坐标为．
故答案为：.
4．（2022·湖南湘潭·三模）已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为___________.
【答案】或
【解析】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），
则，整理得，解得或，
当时，的方程为；当时，的方程为.
故答案为：或.
[举一反三]
1．（2022·山东枣庄·三模）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设，则，直线的斜率为，
由题意可得，解得.
故选：C.
2．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，，解得：，
当时，；
当时，，，
又为偶函数，，即时，，
则，.
故选：A.
3．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】D
【解析】作出的图象，由图可知，
若过点可以作曲线的两条切线，点应在曲线外，
设切点为，所以，，
所以切线斜率为，
整理得，即方程在上有两个不同的解，
所以，，
所以且.
故选：D．
4．（2022·山东潍坊·二模）已知函数，直线，点在函数图像上，则以下说法正确的是( )
A．若直线l是曲线的切线，则
B．若直线l与曲线无公共点，则
C．若，则点P到直线l的最短距离为
D．若，当点P到直线l的距离最短时，
【答案】D
【解析】f(x)定义域为(0，＋)，，
若直线l是曲线的切线，
则，代入得，
，故A错误；
当t＝－2时，当在点P处的切线平行于直线l时，P到切线直线l的最短距离，
则，故D正确；
此时，故P为，P到l：的距离为，故C错误；
设，
令，则，
当时，，单调递减，当，，单调递增，
∴，又时，；时，，
∴若直线l与曲线无公共点，则t＜3，故B错误．
故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与函数的图象相切，则切点的横坐标为
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】由可得，
设切点坐标为，
则，解得，故选A.
6．（2022·福建泉州·模拟预测）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．B．1C．eD．
【答案】B
【解析】设直线与曲线相切于点，
直线与曲线相切于点，
则，且，所以，
，且，所以，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，，所以当时，，
因为，，即，
所以，
所以，故
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，
对于有，则上的切线方程为，即，
对于有，则上的切线方程为，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故，即.
故选：B.
8．（多选）（2022·河北保定·二模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】解：设直线与曲线相切于点，
与曲线相切于点，
对于函数，，则，
解得，
所以，即.
对于函数，，
则，
又，
所以，
又，
所以，.
故选：AD
9．（2022·重庆·三模）曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】由，，则切线的斜率为．
所以曲线在点处的切线方程为：
，即．
因此所求切线的方程为．
故答案为：．
10．（2022·浙江·高三专题练习）已如函数.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___________；若，则的最大值为___________.
【答案】 0
【解析】由已知，，所以，即，
所以．
，定义域为，
，
令，则，时，，所以在上递减，
所以时，，
所以时，，递增，时，，递减，
所以．
故答案为：0；．
11．（2022·河北廊坊·模拟预测）设直线是曲线的一条切线，则实数b的值是_________．
【答案】
【解析】设切点坐标为，
因为，所以有
因为，所以，所以.
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是____________.
【答案】
【解析】由函数，则，
设切点的坐标为，则斜率，
所以，解得，
当时，切点为，此时切线方程为；
当，切点为，不满足题意，
综上可得，切点为.
故答案为：.
13．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则______．
【答案】
【解析】由题知：，∴，
在处的切线为，即，
∵，，
∴在处的切线方程为：
又因为两条切线重合，∴，∴，
又∵，
∴，∴解得
∴，，
∴.
故答案为：.
14．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知（e为自然对数的底数），，则与的公切线条数为_______．
【答案】2
【解析】根据题意，设直线与相切于点，与相切于点，
对于，其导数为，
则有，
则直线的方程为，即，
对于，其导数为，
则有，
则直线的方程为，即，
直线是与的公切线，
则，可得，
则或，
故直线的方程为或；
则与的公切线条数是2条．
故答案为：2．
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs__x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
(x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)