新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第19讲 利用导数证明不等式（2份，原卷版+解析版）

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考点1 作差构造法证明不等式
[名师点睛]
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式．
[典例]
(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点．
(1)求a；
(2)设函数g(x)＝eq \f(x＋fx,xfx)，证明：g(x)＜1.
[举一反三]
（2022·江苏盐城·三模）已知函数．
(1)若函数在上是单调递增，求实数的取值范围；
(2)若对于任意，存在正实数，使得，试判断与的大小关系，并给出证明．
考点2 隔离分析法证明不等式
[名师点睛]
1．在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．
2．在证明过程中，“隔离”化是关键，证出f(x)min>g(x)max，从而得到f(x)>g(x)恒成立，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不一定是同一个“x值”．
[典例]
(2022·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
[举一反三]
(2022·贵阳联考)设函数f(x)＝x2－(x＋1)ln x，求证：当0＜x≤2时，f(x)>eq \f(1,2)x.
考点3 换元构造法证明不等式
[名师点睛]
换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a，再结合所证问题，巧妙引入变量c＝eq \f(x1,x2)，从而构造相应的函数．其解题要点为：
（1）联立消参：利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的参数a
（2）抓商构元：令c＝eq \f(x1,x2)，消掉变量x1，x2，构造关于c的函数h(c)
（3）用导求解：利用导数求解函数h(c)的最小值，从而可证得结论
[典例]
(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－ln x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2＜eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＜e.
[举一反三]
（2022·山东威海·三模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．