青山区2024-2025学年上学期期中九年级数学试题（word版含标答）

这是一份青山区2024-2025学年上学期期中九年级数学试题（word版含标答），共13页。试卷主要包含了11，如图，AB是的直径，，则，若，是方程的两个根，则的值为，定义等内容，欢迎下载使用。
2024.11
（请将答案写在答题卡上满分：120分时间：120分钟）第I卷（选择题，共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1.将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为正，则一次项系数是（ ）
A.1B.6C.-6D.-1
2.下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ）
A. B.
C. D.
4.将下列抛物线向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，能得到抛物线的是（ ）
A. B.
C. B.
5.如图，AB是的直径，，则（ ）
A.28°B.30°C.35°D.40°
6.若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A.-1B. C.5D.
7.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴和x轴上，点B的坐标为（2，4），将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A.（-4，-2）B.（-4，2）C.（2，4）D.（4，2）
8.为执行国家药品降价政策，给人们群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由48元降为27元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，内接于，将绕点A逆时针旋转90°得到，点C的对应B点E在上，连接BE.若，，则AC的长为（ ）
A. B.13C.26D.24
10.定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点.比如，函数图象上的点（1，1），（0，0）都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置.
11.点关于原点对称的点是，则__________.
12.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 __________.
13.如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，，垂足为M，路面AB宽为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度_______m.
14.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等.则门高_______尺.
15.如图，在中，，，，点E是边BC上的动点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转60°到FE，连接CF和DF，则的最小值为_______.
16.如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C.则下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④点，在抛物线上，当时，总有，则.
其中一定正确的是________.（填写正确序号）.
三、解答题（共8小题，共72分）
下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17.（本题满分8分）
解方程：.
18.（本题满分8分）
如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得B到，点D恰好落在边AB上.
（1）求a的值；
（2）点F是边DE上一点，，连接CF.当_________时，四边形ACFD为平行四边形.
19.（本题满分8分）
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，求降价多少元，可使每星期获得的总利润为6120元?
20.（本题满分8分）
如图，内接于，，于点E，交于点D.连接CO并延长分别交AD，AB于点F，G.
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的半径.
21.（本题满分8分）
如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A，C都是格点，顶点B是网格线上的一点，点M是边AC与网格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
（1）在图1中，先将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，再在线段AB上画点N，使得；
（2）在图2中，先画点P，使得点A绕点P逆时针旋转90°得到点C，再画点B关于直线PM的对称点Q.
22.（本题满分10分）
如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m.
（1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求抛物线的解析式；
（2）一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为1.6m，船顶高出水面约为1.3m，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔0.1m，请问当水位处于正常水位（即水面为AB）时，游船是否能够通过?并说明理由；
（3）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度.
23.（本题满分10分）
【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：；
【尝试运用】如图2，在中，，，边AC绕点C逆时针旋转90°到DC，E为边BC上不与点C重合的点，且，M为BE的中点，连接AM，DM.求的度数；
【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接BD，CE，点F，G分别为CE，BD的中点，若，请直接写出线段FG的长（用含a和b的式子表示）.
24.（本题满分12分）
已知，抛物线与x轴交于点A，B，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，且抛物线的对称轴为直线.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE：交y轴于点D，交第一象限的抛物线于点E.
①如图1，当时，连接BC，CE，BE，求的面积；
②如图2，直线DE：交抛物线于另一点T，P为抛物线上一点，直线PE，PT分别与y轴交于点M，N，求证：.
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的标号填在下面的表格中.）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案填在题中横线上.）
11.2；12.16；13.9；14.8；15. ；16.②③④.
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.解：，，.
方程有两个不等的实数根
即，.
18.（1）∵DC是由AC旋转得到的.∴.
∵∴为等边三角形.
∴∴.
（2）当m=2时，四边形ACFD为平行四边形.
19.解：设降价x元，可使每星期获得的总利润为6120元.
，
整理得：
解得：，.
答：降价2元或3元时，可使每星期获得的总利润为6120元.
20.（1）连接OA，OB.
∵，∴.
∵∴，且.
∴
∵，∴∴.
（2）延长CG交于点H，连接AH.
∵，，∴.
∵，
∴，.
∴.
∵，∴.
在中
由勾股定理得：，
∵，∴.
设的半径为r
在中
∴.
解得：.
21.（1）如图1所示，线段AD，点N即为所求；
（2）如图2所示，点P、点Q即为所求.
22.解：（1）依题意可知：抛物线过点（0，1.8），（2，-0.2）.
设抛物线的解析式为：，
则有：，
解得：.
∴抛物线的解析式为：.
（2）依题意有：当时，.
∵148>1.3+0.1
∴当水位处于正常水位（即水面为AB）时，游船能够通过.
（3）设这串彩灯在拱桥中间部分与抛物线的右交点为，这串彩灯的长度为.
依题意有：
整理得：
∵，图象开口向下，有最高点，即抛物线的顶点.
∴当时，.
23.【问题背景】∵和都是等边三角形
∴，，.
∴.
∴
∴；
【尝试运用】解：延长AM至点，使得，连接，.
∵，∴
∵边AC绕点C逆时针旋转90°到DC，
∴，，，.
∵点M为BE的中点，即
又∵，，
∴
∴，
∴，
又∵
∴，，（或者）
∴，∴.
【拓展创新】.
24.（1）∵抛物线过点，且抛物线的对称轴为直线.
∴
解得：.
∴抛物线的解析式为：.
（2）当时，联立直线DE与抛物线的解析式得：
∴
整理得：
∴，
∴点，
∵抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
易得：点和点
设直线BC的解析式为：（，且k，b为常数）
则有：，解得：.
∴直线BC的解析式为：
过E作轴交BC于点F，则点
∴
.
（3）设点，，
联立直线DE与抛物线的解析式
则，是方程：的两根
∴，.
设直线：；
联立直线PE与抛物线的解析式.
则，是方程：的两根
∴①
同理：设直线PT：；
联立直线PT与抛物线的解析式
则，是方程：的两根
∴②
①+②得：
∴
∵，，，∴.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
B
C
D
B
A
A
D