九年级上学期期末数学试题 (3)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (3)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的概念，根据“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转如果旋转后的图形与自身重合，”进而问题可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形图形，故符合题意；
B、C、D选项不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
2. 如图，////，与相交于点H，且，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，，由平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】解：，
设，则，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：
故选B
4. 已知 为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，当时，图象过二四象限，再根据 ，可判断各选项内的取值范围，进而求解．
详解】解：∵，
∴双曲线图象在第二，四象限，
A、当 时，不能判断符号，选项错误，不符合题意；
B、当时，不能判断符号，选项错误，不符合题意；
C、当时，不能判断符号，选项错误，不符合题意；
D、当时，则，
∴在第二象限，在第四象限，
∴，选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
5. 如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，，则的度数为（ ）
A. 25°B. 30°C. 28°D. 32°
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转性质可得出是等腰三角形，即可得出，即可得出的度数．
【详解】解：由旋转可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正确理解旋转的性质是解题的关键．
6. 在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=，由此可知该生此次实心球训练的成绩为( )
A. 6米B. 10米C. 12米D. 15米
【答案】B
【解析】
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题理解为当y=0时，求x的值即可；
【详解】铅球落地时高度为0，即当y=0时，
=0，
解得x1=10，x2=-2（舍去），
所以该生此次实心球训练的成绩为10米，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中，函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB=40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为( )
A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】根据∠AOB=40°，可得∠ABO=70°，再由BC∥OA，可得∠OBC=∠AOB=40°，从而得到∠ABC=110°，再由圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】解：∵∠AOB=40°，OA=OB，
∴∠ABO=70°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=40°，
∴∠ABC=110°，
∴∠ADC=180°-110°=70°
故选C
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
8. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．
9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（ ）
A. DE垂直平分ACB. △ABE∽△CBA
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图可知是的角平分线，，根据证明，可得，，根据面积法可得，可得即可判断D选项正确，其他选项无法证明．
【详解】解：根据作图可知是的角平分线，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
A,B,C选项无法证明．
故选：D．
【点睛】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．
10. 如图，二次函数的图象与轴负半轴交于点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图象上，则；④；其中结论正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】该二次函数的图像的对称轴为，则，由图像可知，，即可判断①；根据图象可知，当时，，即可判断②；根据抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，即可判断③，根据二次函数的图象与轴负半轴交于点，又，得出，即可判断④，即可求解．
【详解】∵根据题意，该二次函数的图像的对称轴为，
∴，
∴，
由图像可知，，
∴，
∴，故结论①正确；
根据图象可知，当时，，故②正确；
∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，
又∵，
∴，故结论③正确；
∵二次函数的图象与轴负半轴交于点，
∴
又
∴
即
∴
故④不正确
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练运用二次函数的图像与性质是解题关键．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）
11. 抛物线y=（x﹣3）2+1的顶点坐标是____．
【答案】(3，1)
【解析】
【详解】分析：已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
详解：∵y=（x﹣3）2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（3，1）．故答案为（3，1）．
点睛：主要考查了抛物线顶点式的运用．
12. 为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设该公司每个季度的下降率是x ，根据该公司第一季度及第三季度的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解∶设该公司每个季度的下降率是x，
依题意，得∶，
解得∶， （不符合题意，舍去）．
即该公司每个季度的下降率是，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
13. 已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________
【答案】或
【解析】
【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程的解．
【详解】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
设抛物线与x轴的另一个交点为，则，
解得：．
∴方程的解为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键．
14. 如图．正方形的边长为4，E为边的中点．点F在边上．且．则的长为________
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
证明得到，由E为边的中点，得到，然后代值计算即可．
【详解】解： ，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
为边的中点，
，
，
，
故答案为： 1．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：
【答案】x1=7，x2=
【解析】
【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
【详解】解：原方程可化为：（x-7）（x+1）=0，
x-7=0或x+1=0；
解得：x1=7，x2=．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程.
16. 脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=-2x+160；
（2）销售单价定为55元时，该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元
【解析】
【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【小问1详解】
解：设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，
将点（30，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：
，
解得：．
∴函数关系式为y=-2x+160；
【小问2详解】
解：由题意得：
w=（x-30）（-2x+160）
=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴当x=55时，w有最大值，此时w=1250．
∴销售单价定为55元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1250元．
【点睛】本题考查了二次函数和二元一次方程组在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17. 如图1，是由小正方形构成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图（保留作图痕迹）．
（1）作出该圆的圆心O；
（2）作出格点E，使直线EA与相切；
（3）如图2，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，请判断点、点关于点A的对称点，与的位置关系，并简要说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）点在圆上，点在圆内，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由90度的圆周角，所对弦为直径即可求解；
（2）将直径绕点A旋转90度，经过的格点即为要找的点E；
（3）先求出点P、Q关于点A对称点的坐标，再由坐标画出点，然后由图判定即可．
【小问1详解】
解：连接，的中点O即为所求；
【小问2详解】
解：取格点E，如图：
【小问3详解】
解：点、点关于点A的对称点，的坐标为：，，如图，
∴点在圆上，点在圆内．
【点睛】本题考查圆周角定理的指论，切线的判定与性质，求关于中心对称点的坐标，熟练掌握圆周角定理的推论和切线的判定与性质是解题的关键．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
19. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有_______名学生参与了本次问卷调查；
（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】（1）
（2）99
（3）小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为
【解析】
【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；
（2）用“陶艺”的人数除以总人数再乘以即可求解；
（3）用画树状图法求得概率即可求解．
【小问1详解】
解：（人）
故答案为：．
【小问2详解】
“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，
故答案为：99．
【小问3详解】
把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C
共有9种等可能结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．
20. 如图，在中，，点D是AB边上一点，以BD为直径的与边相切于点E，与边交于点F，过点E作于点H，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，锐角三角函数的定义，角平分线的判定与性质等知识，熟练运用切线的性质是解题的关键．
（1）连接，易证，继而结合已知证明，然后利用角平分线的性质即可证得EH=EC；
（2）由，设，，根据AB的长可求得a的值，
再根据即可求得答案．
【小问1详解】
如图，连接，
∵与相切，
∴，且，
∴,
∴，
，
∴，
∴，且，，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴设，，(a≠0)
∴，
∵
∴，
∵
∴．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，交轴于点，交轴于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接、，求的面积；
（3）直接写出时的取值范围．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为；（2）10.5；（3）或
【解析】
【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求出，把的坐标代入反比例函数解析式求出，把，的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出一次函数与x轴的交点坐标，得到的值，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）结合图象和，的坐标即可求出答案．
【详解】解：（1）∵把A（-2，-5）代入代入得：，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵把C（5，n）代入得反比例函数中得：，
∴C点的坐标为（5，2），
∵把A、C的坐标代入得：，
∴
∴一次函数解析式为；
（2）把y=0代入得：x=3，
∴D点坐标为（3，0），
∴OD=3，
∴；
（3）根据函数图像可知，当时，即一次函数图像在反比例函数图像的下方时自变量的取值范围，
∴当时，或．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数解析式确定、图形的面积求法及函数图象与不等式等知识点，正确求得函数解析式是解决问题的关键，解决本题注意利用数形结合思想．
22. 如图，已知是⊙O的直径，C为⊙O上一点，的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求DE的长．
【答案】（1）见详解 （2）3
【解析】
【分析】（1）连接，先由，可得，再由是⊙O的切线，可得，，即可求证．
（2）先由的值得出和的关系，在利用勾股定理求得的长，通过推理可证，得出成比例线段求解．
【小问1详解】
连接，如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是⊙O的切线，
∴，，
∴．
【小问2详解】
∵是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角函数逆运用，解答此题的关键是作出辅助线．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
【答案】（1）点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；（2）y＝x2﹣3x﹣8；（3）最大值为4，此时点P（4，﹣12）
【解析】
【分析】（1）根据B点坐标及OA＝OC＝4OB结合图象即可确定A点，C点的坐标；
（2）由（1）可将抛物线的表达式写成交点式，然后代入C点坐标即可求出解析式；
（3）求出直线CA的解析式，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求出∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），写出PD的表达式根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）∵B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝OC＝4OB＝8，
故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；
（2）由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（3）∵直线CA过点C，
∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝8，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），
∴PD＝HPsin∠PHD＝（a﹣8﹣a2+3a+8）＝= ，
∴当a＝4时，其最大值为4，此时点P（4，﹣12）．销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70