2023-2024学年广东省广州市海珠区中山大学附中七年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市海珠区中山大学附中七年级（下）期中数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列实数  ,  22 , 9, 
37
7, 3.14 中，无理数有()
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
2．（3 分）如图，直线 a ， b 被直线c 所截，与1 是内错角的是()
2
3
4
5
3．（3 分）下列说法不正确的是( )
A．1 的平方根是1
B． 1 的立方根是 1
16
C．的平方根是2
D．3 是 9 的一个平方根
4．（3 分）已知第二象限内点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3，那么点 P 的坐标是()
A． (2, 3)
B． (3, 2)
C． (2, 3)
D． (3, 2)
5．（3 分）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，
每人出 1 钱，会多出 4 钱．设人数为 x 人，玉石价格为 y 钱，则可列关于 x ， y 的方程为()
2
y  1 x  4
2
y  1 x  4
2
y  x  4
2 y  x  4
6．（3 分）下列结论中，错误的是( ) A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．同一平面内的两条直线不平行就相交 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
  y2
7．（3 分）若x  3

是关于 x 、 y 的方程 x  my  13 的一个解，则 m 的值是()
A．5B． 5C．8D． 8
8．（3 分）如图， AB / / EF ，C 点在 EF 上， EAC  ECA ， BC 平分DCF ，且 AC  BC ．下列结论：
① AC 平分DCE ；② AE / /CD ；③ 1  B  90 ；④ BDC  21 ． 其中结论正确的个数有( )
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
9．（3 分）已知数 a ，b ，c 的大小关系如图，下列说法：① ab  ac  0 ；② a  b  c  0 ；③ a
b  c
 1 ；
| a || b || c |
④| a  b |  | c  b |  | a  c | 2b ；⑤若 x 为数轴上任意一点，则| x  b |  | x  a | 的最小值为 a  b ．其中正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
10．（3 分）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到(0 ，1)  (1，0)  (1 ，1)  (1，2)  (2 ，
1)  (3 ， 0) ，则 2024 分钟时粒子所在点的横坐标为( )
A．890B．956C．990D．1024
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分
11．（3 分）9 的平方根是 ．
12．（3 分）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b 上，且 a / /b ， 1  55 ，则2 的度数为 ．
13．（3 分）如图，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点 A ， C 的坐标分别为(0, 4) ， (3, 2) ，点 B 在 x 轴正半轴上．将ABC 沿射线 AB 方向平移，若点 A 的对应点为 A(1,1) ，则点C 的对应点C 的坐标为 ．
14．（3 分）已知点 P 的坐标(2  a, 3a  6) ，且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标是 ．
15．（3 分）已知(m  2)x|m3|  3y  5 是关于 x ， y 的二元一次方程，则 m  ．
16．（3 分）如图，已知 AB / /CD ， BE 、 DE 的交点为 E ，现作如下操作：第一次操作，分别作ABE 和
CDE 的平分线，交点为 E1 ，第二次操作，分别作ABE1 和CDE1 的平分线，交点为 E2 ，第三次操作， 分别作ABE2 和CDE2 的平分线，交点为 E3 ， 第 n(n2) 次操作，分别作ABEn1 和CDEn1 的平分线， 交点为 En ，若En   度，则BED  度．
三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分
(2)2
3 8
3  1
27
49
17．（4 分）计算：．
18．（5 分）如图，已知E  F ， A  D ．求证： 1  2 ．
3x  2 y  7

19．（5 分）解方程组：  x  22 y  1．
 1
 32
20．（8 分）如图，已知1  BDC ， 2  3  180 ．
AD 与 EC 平行吗？请说明理由；
若 DA 平分BDC ， DA  FA 于点 A ， 1  75 ，求FAB 的度数．
3b  12
21．（8 分）已知| 2a  b | 与
互为相反数．
求2a  3b 的平方根；
解关于 x 的方程 ax2  4b  2  0 ．
22．（8 分）列二元一次方程组解应用题：
里程数（公里）
时间（分钟）
车费（元)
小明
8
8
12
小刚
10
12
16
随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按 x 元/ 公里计算，耗时费按 y 元/ 分钟计算（总费用不足 9 元按 9 元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：
求出 x ， y 的值；
周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了 15 公里，用时 12 分钟，那么小华的打车总费用为多少元？
23．（10 分）如图所示，在平面直角坐标系中 xOy 中，点 A(4,1) ，ABC 的三个顶点都在格点上．将ABC
在坐标系中平移，使得点 A 平移至图中点 D(1, 1) 的位置，点 B 对应点 E ，点C 对应点 F ．
点 B 的坐标为 ，点 F 的坐标为 ；
在图中作出DEF ，并连接 AD ；
求在线段 AB 平移到线段 DE 的过程中扫过的面积．
a  1
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A(a, 0) ， B(b, 0) ，其中 a ， b 满足
 (b  3)2  0 ．
（1）填空： a  ， b  ；
若在第三象限内有一点 M (2, m) ，用含 m 的式子表示ABM 的面积；
在（2）条件下，线段 BM 与 y 轴相交于C(0,  9 ) ，当 m   3 时，点 P 是 y 轴上的动点，当满足PBM
102
的面积是ABM 的面积的 2 倍时，求点 P 的坐标．
25．（12 分）已知，如图， AB / /CD ，直线 MN 交 AB 于点 M ，交CD 于点 N ，点 E 是线段 MN 上一点，
P ， Q 分别在射线 MB ， ND 上，连接 PE ， EQ ， PF 平分MPE ， QF 平分DQE ．
如图 1，当 PE  QE 时，直接写出PFQ 的度数；
如图 2，求PEQ 与PFQ 之间的数量关系，并说明理由；
如图 3，在（1）问的条件下，若APE  46 ， MND  68 ，过点 P 作 PH  QF 交QF 的延长线于点 H ，将 MN 绕点 N 顺时针旋转，速度为每秒4 ，直线 MN 旋转后的对应直线为 M N ，同时将FPH 绕点 P 逆时针旋转，速度为每秒11 ， FPH 旋转后的对应三角形为△ FPH  ，当 MN 首次与CD 重合时， 整个运动停止．在此运动过程中，经过t(t0) 秒后， M N 恰好平行于△ FPH  的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t 的值．
2023-2024 学年广东省广州市海珠区中山大学附中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．请将正确选项前的字母代号涂在答题卡上．
1．（3 分）下列实数  ,  22 , 9, 
37
7, 3.14 中，无理数有( )
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
9
【解答】解：
 3 ，
下列实数  ,  22 , 9, 
37
故选： B ．
7, 3.14 中，无理数有  , ，共 2 个，
7
3
2．（3 分）如图，直线 a ， b 被直线c 所截，与1 是内错角的是( )
2
3
4
5
【解答】解：由图可知，与1 互为内错角的是5 ．
【解答】解： A 、1 的平方根是1 ，原说法正确，不符合题意；
B 、 1 的立方根是1 ，原说法错误，符合题意；
16
C 、 4 的平方根是2 ，原说法正确，不符合题意；
D 、3 是 9 的一个平方根，原说法正确，不符合题意； 故选： B ．
故选： D ．
3．（3 分）下列说法不正确的是(
A．1 的平方根是1

)
B． 1 的立方根是 1
C． 16 的平方根是2
D．3 是 9 的一个平方根
4．（3 分）已知第二象限内点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3，那么点 P 的坐标是( )
A． (2, 3)
B． (3, 2)
C． (2, 3)
D． (3, 2)
【解答】解：点 P 在第二象限内， P 到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3，
点 P 的横坐标是3 ，纵坐标是 2，
点 P(3, 2) ． 故选： B ．
5．（3 分）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，
每人出 1 钱，会多出 4 钱．设人数为 x 人，玉石价格为 y 钱，则可列关于 x ， y 的方程为( )
2
y  1 x  4
2
y  1 x  4
2
y  x  4
2 y  x  4
【解答】解：由题意可得， y  1 x  4 ，
2
故选： B ．
6．（3 分）下列结论中，错误的是( ) A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．同一平面内的两条直线不平行就相交 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【解答】解： A 、同位角相等，两直线平行，正确，不符合题意， B 、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意， C 、同一平面内的两条直线不平行就相交，正确，不符合题意，
D 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，符合题意，
故选： D ．
  y2
7．（3 分）若x  3

是关于 x 、 y 的方程 x  my  13 的一个解，则 m 的值是( )
A．5B． 5C．8D． 8
  y2
【解答】解： x  3

是关于 x 、 y 的方程 x  my  13 的一个解，
3  2m  13 ， 解得： m  5 ， 故选 A ．
8．（3 分）如图， AB / / EF ，C 点在 EF 上， EAC  ECA ， BC 平分DCF ，且 AC  BC ．下列结论：
① AC 平分DCE ；② AE / /CD ；③ 1  B  90 ；④ BDC  21 ． 其中结论正确的个数有( )
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【解答】解： AB / / EF ，
ECA  BAC ， BCF  B ，
 AC  BC ，
ACB  90 ，
1  BCD  90 ， ECA  BCF  90 ，
 BC 平分DCF ，
BCD  BCF ，
1  ECA ，
 AC 平分DCE ，①正确；
EAC  ECA ，
EAC  1 ，
 AE / /CD ，②正确；
BCF  B ， BCD  BCF ，
B  BCD ，
1  B  90 ，③正确；
 1  ECA  BAC ， BDC  BAC  1 ，
BDC  21 ，④正确； 故选： D ．
9．（3 分）已知数 a ，b ，c 的大小关系如图，下列说法：① ab  ac  0 ；② a  b  c  0 ；③ a
b  c
 1 ；
| a || b || c |
④| a  b |  | c  b |  | a  c | 2b ；⑤若 x 为数轴上任意一点，则| x  b |  | x  a | 的最小值为 a  b ．其中正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由题意b  0 ， c  a  0 ， | c || b || a | ，则
① ab  ac  0 ，故原结论正确；
② a  b  c  0 ，故原结论错误；
③ a  b  c
 1  1  1  1，故原结论错误；
| a || b || c |
④| a  b |  | c  b |  | a  c | a  b  c  b  (a  c)  2a ，故原结论错误；
⑤当bxa 时， | x  b |  | x  a | 的最小值为 a  b ，故原结论正确． 故正确结论有 2 个．
故选： B ．
10．（3 分）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到(0 ，1)  (1，0)  (1 ，1)  (1，2)  (2 ，
1)  (3 ， 0) ，则 2024 分钟时粒子所在点的横坐标为( )
A．890B．956C．990D．1024
【解答】解：由题知，
第 1 分钟时，粒子所在点的坐标为(0,1) ；
第 2 分钟时，粒子所在点的坐标为(1, 0) ；
第 3 分钟时，粒子所在点的坐标为(1,1) ；
第 4 分钟时，粒子所在点的坐标为(1, 2) ；
第 5 分钟时，粒子所在点的坐标为(2,1) ；
第 6 分钟时，粒子所在点的坐标为(3, 0) ；
第 7 分钟时，粒子所在点的坐标为(3,1) ；
第 8 分钟时，粒子所在点的坐标为(3, 2) ；
第 9 分钟时，粒子所在点的坐标为(3, 3) ；
第 10 分钟时，粒子所在点的坐标为(4, 2) ；
第 11 分钟时，粒子所在点的坐标为(5,1) ；
第 12 分钟时，粒子所在点的坐标为(6, 0) ；
，
由此可见，第 n(n  1) 分钟时，粒子所在点的坐标可表示为( n(n  1) , 0) ，且此点上方有(n  1) 个点，
2
当 n  44 时，
n(n  1)  1980 ， n(n  1)  990 ，
2
即第 1980 分钟时，粒子所在点的坐标为(990, 0) ；
因为2024  1980  44 ，且点(990, 0) 上方有 45 个点， 所以第 2024 分钟时，粒子所在点的横坐标坐标为 990． 故选： C ．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分
11．（3 分）9 的平方根是 3 ．
9
【解答】解：9 的平方根是 3 ． 故答案为： 3 ．
12．（3 分）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b 上，且 a / /b ， 1  55 ，则2 的度数为 35 ．
【解答】解： a / /b ，
3  1  55 ，
2  180  90  55  35 ． 故答案为： 35 ．
13．（3 分）如图，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点 A ， C 的坐标分别为(0, 4) ， (3, 2) ，点 B 在 x 轴正 半轴上．将 ABC 沿射线 AB 方向平移， 若点 A 的对应点为 A(1,1) ，则点 C 的对应点 C 的坐标为(4, 1) ．
【解答】解：点 A(0, 4) 的对应点为 A(1,1) ，
平移规律为向右平移 1 个单位长度，先下平移 3 个单位长度，
点C 的对应点C 的坐标为(3  1, 2  3) ，即(4, 1) ． 故答案填： (4, 1) ．
14．（3 分）已知点 P 的坐标(2  a, 3a  6) ，且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标是 (3, 3) 或
(6, 6) ．
【解答】解：点 P 到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，
分以下两种情考虑：
①横纵坐标相等时，即当 2  a  3a  6 时，解得 a  1 ，
点 P 的坐标是(3, 3) ；
②横纵坐标互为相反数时，即当(2  a)  (3a  6)  0 时，解得 a  4 ，
点 P 的坐标是(6, 6) ． 故答案为(3, 3) 或(6, 6) ．
15．（3 分）已知(m  2)x|m3|  3y  5 是关于 x ， y 的二元一次方程，则 m  4 ．
【解答】解：根据题意得： m  2  0 且| m  3 | 1 ，
 m  4 ，
故答案为：4．
16．（3 分）如图，已知 AB / /CD ， BE 、 DE 的交点为 E ，现作如下操作：第一次操作，分别作ABE 和
nn
CDE 的平分线，交点为 E1 ，第二次操作，分别作ABE1 和CDE1 的平分线，交点为 E2 ，第三次操作， 分别作ABE2 和CDE2 的平分线，交点为 E3 ， 第 n(n2) 次操作，分别作ABEn1 和CDEn1 的平分线， 交点为 E ，若E   度，则BED  2n 度．
【解答】解：如图，过 E 作 EF / / AB ，
 AB / /CD ，
 AB / / EF / /CD ，
ABE  1 ， CDE  2 ，
BED  1  2 ，
BED  ABE  CDE ；
ABE 和CDE 的平分线交点为 E1
DE B  ABE  CDE
 1 ABE  1 CDE  1 BED ．
111
222
ABE1 和DCE1 的平分线交点为 E2 ，
BE D  ABE  CDE  1 ABE  1 CDE  1 DE B  1 BED ；
2222121214
ABE2 和CDE2 的平分线，交点为 E3 ，
BE D  ABE  CDE  1 ABE  1 CDE  1 DE B  1 BED ；
3332222228
以此类推， En
 1 BED ．
2n
当En   度时， BED 等于(2n ) 度．故答案为： 2n ．
三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分
17．（4 分）计算：
 3 ．
(2)2
3 8
49
1
27
【解答】解：原式 2  2  1  7  20 ．
33
18．（5 分）如图，已知E  F ， A  D ．求证： 1  2 ．
【解答】证明：E  F ，
 AE / / DF ，
A  ABF ，
A  D ，
D  ABF ，
 AB / /CD ，
1  2 ．
3x  2 y  7

19．（5 分）解方程组：  x  22 y  1．
 1
 32
3x  2 y  7①
【解答】解：

 x  2  2 y  1  1② ，
 32
由②得： 2x  6 y  7 ③，
①3 得： 9x  6 y  21 ④，
④  ③得： 7x  14 ， 解得： x  2 ，
把 x  2 代入①得： 6  2 y  7 ，
解得： y   1 ，
2
x  2
1
故原方程组的解是： ．
y  
2
20．（8 分）如图，已知1  BDC ， 2  3  180 ．
AD 与 EC 平行吗？请说明理由；
若 DA 平分BDC ， DA  FA 于点 A ， 1  75 ，求FAB 的度数．
【解答】解：（1） AD / /CE ，理由如下：
 1  BDC ，
 AB / /CD ，
2  ADC ，
2  3  180 ，
ADC  3  180 ，
 AD / /CE ；
（2） DA 平分BDC ， 1  BDC  75 ，
 ADC  1 BDC  37.5 ，
2
 AB / /CD ，
2  ADC  37.5 ，
 DA  FA ，
DAF  90 ，
BAF  DAF  2  52.5 ．
3b  12
21．（8 分）已知| 2a  b | 与
互为相反数．
求2a  3b 的平方根；
解关于 x 的方程 ax2  4b  2  0 ．
【解答】解：由题意，得2a  b  0 ， 3b  12  0 ，解得b  4 ， a  2 ．
（1） 2a  3b  2  2  3  (4)  16 ，
 2a  3b 的平方根为4 ．
（2）把b  4 ， a  2 代入方程，得 2x2  4  (4)  2  0 ，即 x2  9 ，解得 x  3 ．
22．（8 分）列二元一次方程组解应用题：
里程数（公里）
时间（分钟）
车费（元)
小明
8
8
12
小刚
10
12
16
随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按 x 元/ 公里计算，耗时费按 y 元/ 分钟计算（总费用不足 9 元按 9 元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：
求出 x ， y 的值；
周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了 15 公里，用时 12 分钟，那么小华的打车总费用为多少元？
【解答】解：（1）根据题意得：
8x  8 y  12


10x 12 y 16
x  1
1
，解得： ；
y 
2
（2）小华的里程数是15km ，时间为12min ． 则总费用是：15x  12 y  15  6  21（元) ． 答：总费用是 21 元．
23．（10 分）如图所示，在平面直角坐标系中 xOy 中，点 A(4,1) ，ABC 的三个顶点都在格点上．将ABC
在坐标系中平移，使得点 A 平移至图中点 D(1, 1) 的位置，点 B 对应点 E ，点C 对应点 F ．
点 B 的坐标为 (2, 4) ，点 F 的坐标为 ；
在图中作出DEF ，并连接 AD ；
求在线段 AB 平移到线段 DE 的过程中扫过的面积．
【解答】解：（1）点 B 的坐标为(2, 4) ；
 A(4,1) ， D(1, 1) ， C (0, 3)
由平移得点 F 的坐标为： (5,1) ， 故答案为： (2, 4) ； (5,1) ；
如图， DEF 和 AD 即为所作：
线段 AB 沿 AD 的方向平移到 DE 的过程中扫过的图形为平行四边形 ADEB ，
S 7  5  1  3  2  1  5  2  1  3  2  1  5  2  35  16  19 ．
平行四边形ADEB
2222
a  1
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A(a, 0) ， B(b, 0) ，其中 a ， b 满足
 (b  3)2  0 ．
（1）填空： a  1 ， b  ；
若在第三象限内有一点 M (2, m) ，用含 m 的式子表示ABM 的面积；
在（2）条件下，线段 BM 与 y 轴相交于C(0,  9 ) ，当 m   3 时，点 P 是 y 轴上的动点，当满足PBM
102
的面积是ABM 的面积的 2 倍时，求点 P 的坐标．
a  1
【解答】解：（1） a 、b 满足
 (b  3)2  0 ，
 a  1  0 ，且b  3  0 ，
 a  1 ， b  3 ， 故答案为： 1 ，3；
（2） a  1 ， b  3 ，
 A(1, 0) ， B(3, 0) ，
 AB  4 ，
 M (2, m) ，且 M 在第三象限，
 m  0 ，
ABM 的面积 1  4  (m)  2m ；
2
（3）当 m   3 时，
2
则 M (2,  3) ， S
 2m  2  ( 3)  3 ，
2ABM2
PBM 的面积 ABM 的面积的 2 倍 6 ，
PBM 的面积 MPC 的面积BPC 的面积 1 PC  2  1 PC  3  6 ，
22
解得： PC  12 ，
5
C(0,  9 ) ，
10
OC  9 ，
10
当点 P 在点C 的下方时， P(0,  12  9 ) ，即 P(0,  33) ；
51010
P(0, )
当点 P 在点C 的上方时， P(0, 12  9 ) ，即3 ；
5102
(0, )
综上所述，点 P 的坐标为(0,  33) 或3 ．
102
25．（12 分）已知，如图， AB / /CD ，直线 MN 交 AB 于点 M ，交CD 于点 N ，点 E 是线段 MN 上一点，
P ， Q 分别在射线 MB ， ND 上，连接 PE ， EQ ， PF 平分MPE ， QF 平分DQE ．
如图 1，当 PE  QE 时，直接写出PFQ 的度数；
如图 2，求PEQ 与PFQ 之间的数量关系，并说明理由；
如图 3，在（1）问的条件下，若APE  46 ， MND  68 ，过点 P 作 PH  QF 交QF 的延长线于点 H ，将 MN 绕点 N 顺时针旋转，速度为每秒4 ，直线 MN 旋转后的对应直线为 M N ，同时将FPH 绕点 P 逆时针旋转，速度为每秒11 ， FPH 旋转后的对应三角形为△ FPH  ，当 MN 首次与CD 重合时， 整个运动停止．在此运动过程中，经过t(t0) 秒后， M N 恰好平行于△ FPH  的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t 的值．
【解答】解：（1）延长 PE 交CD 于G ，设 PE ， FQ 交于点 H ，如图：
设APE  2 ，则FPH  1 APE   ，
2
 AB / /CD ，
PGQ  APE  2 ，
 PE  QE ，
QEH  QEG  90 ，
EQD  QEG  PGQ  90  2 ，
EQH  1 EQD  45  
2
在EQH 和PFH 中，
HEQ  HQE  EHQ  180 ， FPH  FHP  PFH  180 ， PHF  EHQ ，
HEQ  HQE  FPH  PFH ， 即： 90  45      PFH ，
PFH  135 ；
（2） 2PFQ  PEQ  180 ，
理由如下：延长 PE 交CD 于G ，设 PE ， FQ 交于点 H ，如图：
设APE  2 ，则FPH  1 APE   ，
2
 AB / /CD ，
PGQ  APE  2 ，
GEQ  180  PEQ ，
EQD  QEG  PGQ  180  PEQ  2 ，
HQE  1 EQD  90    1 PEQ ，
22
在EQH 和PFH 中，
PEQ  HQE  EHQ  180 ， FPH  FHP  PFH  180 ， PHF  EHQ ，
PEQ  HQE  FPH  PFH ，
即： PEQ  90    1 PEQ    PFQ ，
2
 2PFQ  PEQ  180 ；
（3）MND  68 ，
tmax
 68  17 ，
4
MND  68  4t ，
APE  46 ， PF 是APE 的平分线，
APF  23 ，
BPF  180  23  157 ，
157  11t, 0t  157

转动过程中， BPF  

11t  157,

由（1）知， QFP  135 ，
HFP  45 ，
 PH  FH ，
PHF  45 ，
HPM  45  23  22 ，
HPB  180  22  158 ，
157
11
11 ，
t17
202  11t, 2t17
在转动过程中， HPB  158  11t, 0t  2 ，

设QH 所在直线与射线 PB 的夹角为 ，
  90  HPA  68 ，
68  11t, 0t  112

在转动过程中，   

292  11t,

112
11
11，
t17
①当 MN / / PF 时，
当0t  157 时，此时， F 在 AB 下方，
11
MND  BPF  180 ，
即， 68  4t  157  11t  180 ， 解得： t  3 ，
当157 t17 时，此时， F 在 AB 上方，
11
MND  BPF ，
即， 68  4t  11t  157 ， 解得： t  15 ，
②当 MN / / HP 时，
当0t  2 时，此时， H 在 AB 上方，
MND  HPB ，
即， 68  4t  158  11t ， 解得： t  6 ，舍去，
当 2t17 时，此时， H 在 AB 下方，
MND  HPB  180 ，
即， 68  4t  202  11t  180 ， 解得： t  6 ，
③当 MN / / FH 时，
(i) 当0t  112 时， MND   ，
11
即， 68  4t  68  11t ， 解得： t  0 ，
(ii) 当112 t17 时， MND    180 ，
11
即， 68  4t  292  11t  180 ， 解得： t  12 ，
综上所述， t  0 或 3 或 6 或 12 或 15．