2022-2023学年广东省广州大学附中七年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州大学附中七年级（下）期中数学试卷（含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
022-2023 学年广东省广州大学附中七年级（下）期中数学试卷
一、单选题（每题 3 分，共 30 分）
1
．（3 分）下列运算正确的是 (
A． 4  2 B．  52  5
．（3 分）一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长为奇数，则第三边长可能为 (
A．5 或 7 B．3 或 5 C．5 D．7
．（3 分）第二象限内一点 P 到 x 轴距离等于 2，到 y 轴的距离等于 5，则点 P 的坐标为 (
A． (2, 5) B． (2,5) C． (5, 2) D． (5,2)
．（3 分）如图，直线 m / /n ， ABC 是等边三角形，顶点 B 在直线 n 上，直线 m 交 AB 于
)
C． (7)2  7
D． 3   3
2
3
4
)
)
点 E ，交 AC 于点 F ，若 1 140，则 2 的度数是 (
)
A．80
B．100
C．120
D．140
5
．（3 分）如图，ABC 和 BCD 的边 AC 、BD 交于点 O 、ACB  DBC ，添加一个条件，
不能证明 AOB 和 DOC 全等的是 (
)
A． ABC  DCB B． A  D
C． AO  DO
D． AB  DC
6
．（3 分）已知 a  2023  2022 ，b  2022  2021 ，c  2021  2020 ，则 a ，b ，c
的大小关系为 (
)
A． a  b  c
B． c  b  a
C．b  a  c
D．b  c  a
7
．（3 分）如图，点 A 、 B 的坐标分别是为 (3,1) ，(1,2) ，若将线段 AB 平移至 A B 的位
1
1
置， A 与 B 坐标分别是 (m,4) 和 (3,n) ，则线段 AB 在平移过程中扫过的图形面积为 (
)
1
1
第 1页（共 31页）

A．18
．（3 分）如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 的外侧作正方形 ABED ，过点 D 作 DF  BC ，
垂足为 F ，则 DF 的长为(
B．20
C．28
D．36
8
)
3
A． 2 3  2
B．5 
C．3 3
D． 3 1
3
9
．（3 分）如图，在等边 ABC 中，已知 AB  5 ，点 D 在 BC 边上，且 BD  2 ，点 E 为 AB
边上一动点，在线段 ED 右侧作等边 DEF ，当点 F 恰在 AC 边上时，等边 DEF 的边长为
(
)
A．2
B． 7
C． 2 2
D．4
1
0．（3 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别是边 AB ，BC 上的两个动点，且正方形
ABCD 的周长是 BEF 周长的 2 倍．连接 DE ，DF 分别与对角线 AC 交于点 M ， N ，给出
如下几个结论：①若 AE  2 ，CF  3，则 EF  4 ；② EFN  EMN 180 ；③若 AM  2，
CN  3 ，则 MN  4 ，其中正确结论的个数为 (
)
第 2页（共 31页）

A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题（每题 3 分，共 18 分）
1
1．（3 分）点 A(2  a,3a 1) 在 y 轴上，则 a 
2．（3 分）有理数 a 、b 满足 5  3a  2b  3  a ，则 a  b 
3．（3 分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术，即已知三角形
．
1
．
1
1
4
 (a
2
 b2  c2
的三边长，求它的面积．用符号表示即为：S 
[a
2b
2
)
2
] （其中 a ，b ，c 为
2
三角形的三边长， S 为面积）．则 a  5 ， b  3， c  2 3 时的三角形的面积为
4．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移 1 个单位，再向右
平移 1 个单位，得到点 A (1,1) ；把点 A 向上平移 2 个单位，再向左平移 2 个单位，得到点
．
1
1
1
A (1, 3) ；把点 A 向下平移 3 个单位，再向左平移 3 个单位，得到点 A (4, 0) ；把点 A 向
2
2
3
3
下平移 4 个单位，再向右平移 4 个单位，得到点 A4 (0,4) ， ；按此做法进行下去，则点 A
10
的坐标为
．
第 3页（共 31页）

1
5．（3 分）如图，ABC 和 AED 都为等腰直角三角形，ABC  AED  90 ，五边形 ABCDE
BE
S
2
面积为 S ，求

．
1
6．（3 分）如图，ABC 中， AB  AC ，BAC  90 ，点 D 在线段 BC 上， BE  ED ，垂
1
足为 E ，ED 和 AB 的交点为 F ，EDB  CBF ，若 BE  5 ，则 BDF 的面积为
．
2
三、解答题
7．（8 分）计算：
1
6
 3
（1） ( 7  13)( 7  13)  ( 3 1)2

 |  3 | ；
2
1
1
（
2）已知： a  0 ，化简 4  (a  )2  4  (a  )2
．
a
a
第 4页（共 31页）

1
8．（8 分）（1）已知：实数 a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简： (a 1)2  2 (b 1)2 | a b| ．
1
1
x
y
y
x
（
3）已知 x  ( 5  3) ， y  ( 5  3) ，求 x2  2xy  y2
和

的值．
2
2
1
9．（10 分）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道： 2 1.414，它是个无
限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是 1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，
小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用 2 1来表示它的小数部分，
张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（
（
（
1） 3 的小数部分是多少，请表示出来；
2） a 为 3 的小数部分， b 为 5 的整数部分，求 a  b  3 的值；
3）已知8  3  x  y ，其中 x 是一个正整数， 0  y 1，求 2x  (y  3)2023 的值．
第 5页（共 31页）

2
0．（10 分）已知点 P(3m  6,m  3) 请分别根据下列条件，求出点 P 的坐标．
（
（
（
1）点 P 在第一，三象限的角平分线上；
2）点 P 的纵坐标比横坐标大 5；
3）点 P 在过点 A(3,2)且与 y 轴平行的直线上．
1
2
2
1．（10 分）已知 A(0,a) ， B(b,1) ，C(b,0) 且满足
7  a | b  2 |  2a 14  0 ．
（
1）求 A 、 B 、 C 三点的坐标；
2）如图所示， CD / /AB ， DCO 的角平分线与 BAO 的补角的角平分线交于点 E ，求
（
出 E 的度数．
第 6页（共 31页）

2
2．（13 分）如图 1，在 ABC 中，BE 平分 ABC ，CF 平分 ACB ，BE 与 CF 交于点 D ．
（
（
（
1）若 BAC  74 ，则 BDC 
；
2）如图 2， BAC  90 ，作 MD  BE 交 AB 于点 M ，求证： DM  DE ；
3）如图 3， BAC  60 ， ABC  80 ，若点 G 为CD 的中点，点 M 在直线 BC 上，
连接 MG ，将线段 GM 绕点 G 逆时针旋转 90 得 GN ， NG  MG ，连接 DN ，当 DN 最短
时，直接写出 MGC 的度数．
第 7页（共 31页）

2
3．（13 分）如图（1），在 ABC 中， AB  AC ，BAC  90 ，点 D ， E 分别在 AB ， AC
上，且 AD  AE ，连接 BE ，CD ，点 M 是 BE 的中点，连接 AM ．
（
1）观察猜想
图（1）中，线段 AM ， CD 的数量关系是
2）探究证明
，位置关系是
．
（
将 ADE 绕点 A 顺时针旋转(0   360) ，试判断线段 AM ，CD 的数量关系和位置关系，
并就图（2）的情形说明理由．
（3）问题解决
将 ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，连接 DM ，若 AD 1， AB  3 ，当 ADC  90 时，请
直接写出线段 DM 的长．
第 8页（共 31页）

2
022-2023 学年广东省广州大学附中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题 3 分，共 30 分）
1
．（3 分）下列运算正确的是 (
A． 4  2 B．  52  5
解答】解： A 、 4  2 ，故该选项不正确，不符合题意；
)
C． (7)2  7
D． 3   3
【
B 、  52  5 ，故该选项不正确，不符合题意；
C 、 (7)2  7，故该选项正确，符合题意；
D 、 3 ，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
故选： C ．
2
．（3 分）一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长为奇数，则第三边长可能为 (
A．5 或 7 B．3 或 5 C．5 D．7
)
【解答】解：一个三角形的两边长分别为 3 和 6，

6  3  第三边  6  3 ，即 3  第三边  9 ，
又第三边长为奇数，
第三边长可以为 5 或 7．
故选： A ．

3
．（3 分）第二象限内一点 P 到 x 轴距离等于 2，到 y 轴的距离等于 5，则点 P 的坐标为 (
A． (2, 5) B． (2,5) C． (5, 2) D． (5,2)
解答】解：点 P 在第二象限，
)
【

点 P 横坐标为负数，点 P 纵坐标为正数，
又点 P 到 x 轴距离等于 2，到 y 轴的距离等于 5，
点 P 坐标为 (5, 2) ，
故选： C ．
．（3 分）如图，直线 m / /n ， ABC 是等边三角形，顶点 B 在直线 n 上，直线 m 交 AB 于

4
点 E ，交 AC 于点 F ，若 1 140，则 2 的度数是 (
)
第 9页（共 31页）

A．80
B．100
C．120
D．140
【解答】解：ABC 是等边三角形，

A  60．
对于 AEF ，1 A  AEF 140 ，





AEF 140  60  80 ，
DEB  AEF  80 ，
m / /n ，
2  DEB 180，
2 180  80 100 ，
故选： B ．
．（3 分）如图，ABC 和 BCD 的边 AC 、BD 交于点 O 、ACB  DBC ，添加一个条件，
5
不能证明 AOB 和 DOC 全等的是 (
)
A． ABC  DCB B． A  D
C． AO  DO
D． AB  DC
【解答】解：ACB  DBC ，
第 10页（共 31页）


OB  OC ，
又 AOB  DOC ，
A 、添加 ABC  DCB ，则 ABC  DBC  DCB  ACB ，即 ABO  DCO ，则
AOB  DOC(ASA) ，故不符合题意；
B 、添加 A  D ，则 AOB  DOC(AAS ) ，故不符合题意；
C 、添加 AO  DO ，则 AOB  DOC(SAS) ，故不符合题意；
D 、添加 AB  DC ，不能判定 AOB  DOC ，故符合题意；
故选： D ．
6
．（3 分）已知 a  2023  2022 ，b  2022  2021 ，c  2021  2020 ，则 a ，b ，c
的大小关系为 (
)
A． a  b  c
B． c  b  a
C．b  a  c
D．b  c  a
【解答】解： a  2023  2022 ， b  2022  2021， c  2021  2020 ，
1
1
1
1



2023  2022
，


2022  2021
，
a
2023  2022
b
2022  2021
1
1


2021 2020 ，
c
2021  2020



2023  2022  2022  2021  2021  2020 ，
1
1
1


，
a
b
c
c  b  a ．
故选： B ．
7
．（3 分）如图，点 A 、 B 的坐标分别是为 (3,1) ，(1,2) ，若将线段 AB 平移至 A B 的位
1
1
置， A 与 B 坐标分别是 (m,4) 和 (3,n) ，则线段 AB 在平移过程中扫过的图形面积为 (
)
1
1
A．18
B．20
C．28
D．36
第 11页（共 31页）

【
解答】解：点 A 、B 的坐标分别是为 (3,1) ，(1,2) ，若将线段 AB 平移至 A B 的位置，
1
1
A 与 B 坐标分别是 (m,4) 和 (3,n) ，
1
1

可知将线段 AB 向右平移 4 个单位，向上平移 3 个单位得到 A B 的位置，
1
1


m 1， n 1，
A 与 B 坐标分别是 (1, 4) 和 (3,1) ，
1
1


线 段 AB 在 平 移 过 程 中 扫 过 的 图 形 面 积  四 边 形 ABB A 的 面 积  2ABB 的 面 积
1
1
1
1
2  63 18 ，
2
故选： A ．
8
．（3 分）如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 的外侧作正方形 ABED ，过点 D 作 DF  BC ，
垂足为 F ，则 DF 的长为(
)
3
A． 2 3  2
B．5 
C．3 3
D． 3 1
3
【解答】解：方法一：如图，延长 DA 、 BC 交于点 G ，
第 12页（共 31页）






四边形 ABED 是正方形，
BAD  90 ， AD  AB ，
BAG 180  90  90 ，
ABC 是边长为 2 的等边三角形，
AB  2 ， ABC  60，

AG  AB  tanABC  2 tan 60  2 3 ，



DG  AD  AG  2  2 3 ，
G  90  60  30 ， DF  BC ，
1
1
DF  DG   (2  2 3) 1 3 ，
2
2
故选 D ．
方法二：如图，过点 E 作 EG  DF 于点 G ，作 EH  BC 于点 H ，
则 BHE  DGE  90 ，





ABC 是边长为 2 的等边三角形，
AB  2 ， ABC  60，
四边形 ABED 是正方形，
BE  DE  2 ， ABE  BED  90，
EBH 180  ABC  ABE 180  60  90  30，
1

EH  BE sinEBH  2sin 30  2 1， BH  BE csEBH  2 cs 30  3 ，
2






EG  DF ， EH  BC ， DF  BC ，
EGF  EHB  DFH  90 ，
四边形 EGFH 是矩形，
FG  EH 1， BEH  BEG  GEH  90，
DEG  BEG  90 ，
BEH  DEG ，
第 13页（共 31页）

在 BEH 和 DEG 中，

BHE  DGE
BEH  DEG ，
BE  DE






BEH  DEG(AAS ) ，
DG  BH  3 ，

DF  DG  FG  3 1，
故选： D ．
9
．（3 分）如图，在等边 ABC 中，已知 AB  5 ，点 D 在 BC 边上，且 BD  2 ，点 E 为 AB
边上一动点，在线段 ED 右侧作等边 DEF ，当点 F 恰在 AC 边上时，等边 DEF 的边长为
(
)
A．2
B． 7
C． 2 2
D．4
【



解答】解：ABC 、 DEF 为等边三角形，
AB  BC ， DE  DF ， B  C  EDF  60 ，
BED  BDE  BDE  CDF 120，
BED  CDF ，

BED  CDF

在 DBE 和 FCD 中， B  C
，

DE  DF



DBE  FCD(AAS) ，
CD  BE  3，
过 D 作 DH  BE 于 H ；
1



BH  BD 1， DH  3 ，
2
EH  2 ，
DE  EH
2
 DH
2

2
2
 ( 3)2

7 ，
第 14页（共 31页）


等边 DEF 的边长为 7 ，
故选： B ．
1
0．（3 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别是边 AB ，BC 上的两个动点，且正方形
ABCD 的周长是 BEF 周长的 2 倍．连接 DE ，DF 分别与对角线 AC 交于点 M ， N ，给出
如下几个结论：①若 AE  2 ，CF  3，则 EF  4 ；② EFN  EMN 180 ；③若 AM  2，
CN  3 ，则 MN  4 ，其中正确结论的个数为 (
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【


解答】解：正方形 ABCD 的周长是 BEF 周长的 2 倍，
BE  BF  EF  AB  BC ，
EF  AE  FC ，
若 AE  2 ，CF  3，则 EF  2  3  5 ，故①错误；
如图，在 BA 的延长线上取点 H ，使得 AH  CF ，
第 15页（共 31页）

在正方形 ABCD 中， AD  CD ， HAD  FCD  90 ，
在 AHD 和 CFD 中，

AD  CD

HAD  FCD ，
AH  CF





AHD  CFD(SAS) ，
CDF  ADH ， HD  DF ， H  DFC ，
又EF  AE  CF ，
EF  AE  AH  EH ，

在 DEH 和 DEF 中，

DH  DF
DE  DE ，
EH  EF










DEH  DEF (SSS ) ，
HDE  FDE ， H  EFD ， HED  FED ，
CDF  ADF  ADH  ADF  HDF  90
EDF  HDE  45，
H  DFC  DFE ， EMN  HED  EAM  45  DEF ，
EFN  EMN  DFC  45  DEF  DFC  EDF  DEF 180 ，
则 EFN  EMN 180 ，故②正确；
第 16页（共 31页）

如图，作 DG  EF 于点G ，连接 GM ，GN ，
在 AED 和 GED 中，

DAE  DGE
AED  GED ，
DE  DE





AED  GED(AAS) ，
同理， GDF  CDF(AAS) ，




AG  DG  CF ， ADE  GDE ， GDF  CDF ，
点 A ， G 关于 DE 对称轴， C ， G 关于 DF 对称，
GM  AM ， GN  CN ， EGM  EAM  45 ， NGF  NCF  45 ，
MGN  90，即 GMN 是直角三角形，
若 AM  2，CN  3 ，
GM  2 ， GN  3，
在 RtGMN 中， MN  GM

2
 GN  13 ，故③错误；
2
综上，正确结论的序号为②，
故答案为： B ．
二、填空题（每题 3 分，共 18 分）
1．（3 分）点 A(2  a,3a 1) 在 y 轴上，则 a 
1
2
．
【


解答】解：点 A(2  a,3a 1) 在 y 轴上，
2  a  0 ，
a  2 ，
故答案为：2．
1
2．（3 分）有理数 a 、b 满足 5  3a  2b  3  a ，则 a  b 
1
．
第 17页（共 31页）

【解答】解：有理数 a ，b 满足 5  3a  2b  3  a ，

 3a  3


，
2b  a  5

a  1
解得 
，
b  2


a  b  1 2 1．
1
3．（3 分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术，即已知三角形
1
4
 (a
2
 b2  c2
的三边长，求它的面积．用符号表示即为：S 
[a
2b
2
)
2
] （其中 a ，b ，c 为
2
三角形的三边长， S 为面积）．则 a  5 ， b  3， c  2 3 时的三角形的面积为
11
．
【解答】解： a  5 ， b  3， c  2 3 ，

a
2
 5 ，b2  9 ， c2 12 ，
1
[a2b2  (a2
 b2  c2
1
4
[5 9  (5 9 12)2  11 ．

三角形的面积 S 
)
2
] 
4
2
2
故答案为： 11 ．
4．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移 1 个单位，再向右
平移 1 个单位，得到点 A (1,1) ；把点 A 向上平移 2 个单位，再向左平移 2 个单位，得到点
1
1
1
A (1, 3) ；把点 A 向下平移 3 个单位，再向左平移 3 个单位，得到点 A (4, 0) ；把点 A 向
2
2
3
3
下平移 4 个单位，再向右平移 4 个单位，得到点 A4 (0,4) ， ；按此做法进行下去，则点 A
10
的坐标为
(1,11)
．
第 18页（共 31页）

【
解答】解：由图象可知， A5 (5,1) ，
将点 A 向左平移 6 个单位、再向上平移 6 个单位，可得 A (1, 7) ，
5
6
将点 A 向左平移 7 个单位，再向下平移 7 个单位，可得 A (8,0)，
6
7
将点 A 向右平移 8 个单位，再向下平移 8 个单位，可得 A (0,8) ，
7
8
将点 A 向右平移 9 个单位，再向上平移 9 个单位，可得 A (9,1) ，
8
9
将点 A 向左平移 10 个单位，再向上平移 10 个单位，可得 A (1,11) ，
9
10
故答案为： (1,11) ．
1
5．（3 分）如图，ABC 和 AED 都为等腰直角三角形，ABC  AED  90 ，五边形 ABCDE
BE
S
2
面积为 S ，求

2
．
【
解答】解：如图所示，过点 B 作 BF  BE ，且 BF  BE ，连接 CF 、 EF ， EF ， CD 交
于点 G ，则 BFE 是等腰直角三角形，







ABC 和 BEF 都为等腰直角三角形， ABC  BEF  90 ，
BA  BC ， BE  BF ，
BF  BE ，
FBE  90 ，
ABE  EBC  FBC  EBC ，
ABE  CBF ，
ABE  CBF(SAS) ，

SABE  SCBF ， AE  CF ， AEB  CFB ，



AE  DE ，
DE  CF ，
AEB  45  GED ， CFB  45  CFG ，
第 19页（共 31页）


CFG  DEG ，
又 CGF  DGE ，


CGF  DGE(AAS ) ，
SCGF  SDGE
，
1
2


五边形 ABCDE 面积 S  SBEF

BE2
，
BE2
 2 ．
S
故答案为：2．
1
6．（3 分）如图，ABC 中， AB  AC ，BAC  90 ，点 D 在线段 BC 上， BE  ED ，垂
1
足为 E ， ED 和 AB 的交点为 F ， EDB  CBF ，若 BE  5 ，则 BDF 的面积为
2
5
．
【解答】解：作 DH / /AC 交 AB 于点 H ， BE 与 DH 的延长线交于 G 点，如图，



DH / /AC ，
BDH  C  45，
HBD 为等腰直角三角形
第 20页（共 31页）


HB  HD ，
而 EBF  22.5 ，
1

EDB  CBF  22.5 ，
2

DE 平分 BDG ，
而 DE  BG ，
1

BE  GE ，即 BE  BG ，
2




DFH  FDH  G  FDH  90 ，
DFH  G ，
GBH  90  G ， FDH  90  G ，
GBH  FDH
在 BGH 和 DFH 中，

G  DFH
GBH  FDH ，
BH  DH






BGH  DFH (AAS) ，
BG  DF ，
1

BE  FD ，
2

BE  5 ，


DF  2 5 ，
1
1
SBDF

DF  BE   2 5  5  5 ，
2
2
故答案为：5．
三、解答题
1
7．（8 分）计算：
6
 3
（1） ( 7  13)( 7  13)  ( 3 1)2

 |  3 | ；
2
1
1
（
2）已知： a  0 ，化简 4  (a  )2  4  (a  )2
．
a
a
6
 3
【解答】解：（1） ( 7  13)( 7  13)  ( 3 1)2

 |  3 |
2
第 21页（共 31页）

6
3



( 7)2  ( 13)2  ( 3)2  2 3 1
7 13  3 1 2 3  3  3
5  3 3 ；
 3
2
（2）a  0 ，
1
1

4  (a  )2  4  (a  )2
a
a
1
1



4  a2  2 
 4  a2  2 
a
2
a
2
1
1
a2  2 
 a2  2 
a
2
a
2
1
1
(a  )2  (a  )2
，
a
a
1
1
要使 (a  )2 有意义，必须 (a  )2ꢀ0 ，
a
a
1
即 a   0 ，
a
解得： a  1，

a  0 ，

a  1 ，
1
1
当 a  1时，原式 | a  |  | a 
|
a
a
1
1
1

| 1 |  | 1
|

1


0  2
2 ．
1
8．（8 分）（1）已知：实数 a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简： (a 1)2  2 (b 1)2 | a b| ．
1
1
x
y
y
x
（
2）已知 x  ( 5  3) ， y  ( 5  3) ，求 x2  2xy  y2
和

的值．
2
2
【解答】解：（1）由数轴可得： 1 a  0 ， b 1，

a 1 0 ，b 1  0 ， a  b  0 ，

(a 1)2  2 (b 1)2 | a b|
第 22页（共 31页）




a 1 2(b 1)  a  b
a 1 2b  2  a  b
2a  b 1；
1
1
（



2） x  ( 5  3) ， y  ( 5  3) ，
2
2
1
2
x  y  3 ， xy 
，
x
2
 2xy  y2
(x  y)2


( 3)2
3 ，
x
y
y

x
x
2
 y2
xy


(x  y)2  2xy
xy
1
( 3)2  2
2


1
2
3
1
1
2

8 ．
1
9．（10 分）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道： 2 1.414，它是个无
限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是 1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，
小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用 2 1来表示它的小数部分，
张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（
（
（
1） 3 的小数部分是多少，请表示出来；
2） a 为 3 的小数部分， b 为 5 的整数部分，求 a  b  3 的值；
3）已知8  3  x  y ，其中 x 是一个正整数， 0  y 1，求 2x  (y  3)2023 的值．
第 23页（共 31页）

【


（



解答】解：（1）1 3  4 ，
1 3  2 ，
3 的整数部分为 1，小数部分为： 3 1；
2） a 为 3 的小数部分， b 为 5 的整数部分，
a  3 1，b  2 ，
a  b  3
3 1 2  3

1；
（



3） 8  3  x  y ，其中 x 是一个正整数， 0  y 1，
x  8 1  9 ， y  3 1，
2x  (y  3)2023
29  ( 3 1 3)2023

18 (1)2023


18 1
17 ．
2
0．（10 分）已知点 P(3m  6,m  3) 请分别根据下列条件，求出点 P 的坐标．
（
（
（
1）点 P 在第一，三象限的角平分线上；
2）点 P 的纵坐标比横坐标大 5；
3）点 P 在过点 A(3,2)且与 y 轴平行的直线上．
【解答】解：（1）点 P 在一、三象限角平分线上，

3m  6  m  3 ．
9


m  
，
2
3m  6  m  3  7.5 ，
点 P 的坐标 (7.5,7.5) ；

（2）点 P 的纵坐标比横坐标大 5，
第 24页（共 31页）


m  3  5  3m  6 ．
解得 m  7 ．


3m  6  15， m  3  10 ，
点 P 的坐标 (15,10) ；
（3）由题意知 AP / / y 轴，

点 A 和点 P 的横坐标相同．
即 3m  6  3 ，
解得 m  1．


m  3  4 ．
点 P 的坐标为 (3,4) ．
1
2
2
1．（10 分）已知 A(0,a) ， B(b,1) ，C(b,0) 且满足
7  a | b  2 |  2a 14  0 ．
（
1）求 A 、 B 、 C 三点的坐标；
2）如图所示， CD / /AB ， DCO 的角平分线与 BAO 的补角的角平分线交于点 E ，求
（
出 E 的度数．
1
2
【解答】解：（1）
7  a | b  2 |  2a 14  0 ．

7  aꢀ0 ，| b  2 |ꢀ0 ， 2a 14ꢀ0 ，


（
a  7 ， b  2，
A(0,7) ， B(2,1) ， C(2, 0) ；
2）延长 EA 交 CD 的延长线于 H ．设 ECO  ECH  x ， EAB  EAP  y ，设 AB 交
x 轴于 F ．
第 25页（共 31页）


AB / /CH ，

EAB  H  y ， HCO  AFC 180 ，



PAB  90  AFC ，
2y  90  (180  2x) ，
x  y  135 ，
在 EHC 中， E 180  x  y  45 ．
2
2．（13 分）如图 1，在 ABC 中，BE 平分 ABC ，CF 平分 ACB ，BE 与 CF 交于点 D ．
（
（
（
1）若 BAC  74 ，则 BDC  127
；
2）如图 2， BAC  90 ，作 MD  BE 交 AB 于点 M ，求证： DM  DE ；
3）如图 3， BAC  60 ， ABC  80 ，若点 G 为CD 的中点，点 M 在直线 BC 上，
连接 MG ，将线段 GM 绕点 G 逆时针旋转 90 得 GN ， NG  MG ，连接 DN ，当 DN 最短
时，直接写出 MGC 的度数．
【


解答】（1）解：BAC  74 ，
ABC  ACB 106 ，
BE 平分 ABC ， CF 平分 ACB ，
1
1


DBC  ABC ， DCB  ACB ，
2
2
1
DBC  DCB  (ABC  ACB)  53 ，
2
第 26页（共 31页）


BDC 127 ，
故答案为：127 ；
（2）证明：如图 2，过点 D 作 DG  AB 于G ， DH  AC 于 H ， DP  BC 于 P ，







BD 平分 ABC ，CD 平分 ACB ， DG  AB 于 G ， DH  AC 于 H ， DP  BC 于 P ，
DP  DH  DG ，
MD  BE ，
MDE  A  90 ，
AMD  AED 180 ，
AMD  DMG 180，
DMG  AED ，
又DGA  DHE  90 ，

DMG  DEH (AAS ) ，

DM  DE ；
（3）如图 3，过点 G 作GQ  DC ，且 GQ  GC ，连接 QN ，



BAC  60 ， ABC  80 ，
ACB  40，
BCD  20 ，



将线段 GM 绕点 G 逆时针旋转 90 得GN ，
MG  GN ， MGN  90  QGC ，
MGC  QGC ，
又GQ  GC ， MG  GN ，
第 27页（共 31页）



MGC  NGQ(SAS ) ，
Q  MCG  20 ，


点 N 在直线QN 上运动，
当 DN  QN 时， DN 有最小值为 DN，
此时，延长 NG 交 BC 于T ，连接 NM  ，设 NQ 与 BC 的交点为 H ，





DN  QN ， BC  NQ ，
DN  / /BC ， BHQ  90 ，
NDG  BCD ， THN  90 ，
点 G 是CD 的中点，
DG  CG ，
又DGN  CGT ，

△ DNG  CTN(ASA) ，









TG  GN ，
TG  GN  GM  ，
TM N  90 ，
点 M  与点 H 重合，
GM   GN ， M GN  90 ，
GNM   45 ，
QGN  25 ，
QGC  M GN  90 ，
M GC  QGN  25 ，

当 DN 最短时， MGC 的度数度数为 25．
2
3．（13 分）如图（1），在 ABC 中， AB  AC ，BAC  90 ，点 D ， E 分别在 AB ， AC
上，且 AD  AE ，连接 BE ，CD ，点 M 是 BE 的中点，连接 AM ．
（1）观察猜想
第 28页（共 31页）

1
图（1）中，线段 AM ， CD 的数量关系是 AM  CD ，位置关系是
．
2
（2）探究证明
将 ADE 绕点 A 顺时针旋转(0   360) ，试判断线段 AM ，CD 的数量关系和位置关系，
并就图（2）的情形说明理由．
（3）问题解决
将 ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，连接 DM ，若 AD 1， AB  3 ，当 ADC  90 时，请
直接写出线段 DM 的长．
【解答】解：（1）如图 1 中，

AD  AE ， DAC  EAB  90 ， AC  AB ，

DAC  EAB(SAS) ，

CD  BE ， ACD  ABE ，

BAE  90 ， BM  ME ，
1


AM  BE ，
2
1
AM  BM  ME  CD ，
2




ABM  MAB  ACD ，
MAB  CAM  90 ，
ACD  CAM  90 ，
AM  CD ．
第 29页（共 31页）

1
故答案为： AM  CD ， AM  CD ．
2
1
（
2）如图 2 中，结论： AM  CD ， AM  CD ．
2
理由：延长 AM 到 H ，使得 MH  AM ，连接 BH ，EH ，延长 CD 交 AH 于 J ，交 AB 于T ．









AM  MH ， BM  ME ，
四边形 ABHE 是平行四边形，
BH  AE ， BH / /AE ，
ABH  BAE 180 ，
BAC  DAE  90 ，
DAC  BAE  BAC  DAE 180 ，
DAC  HBA，
AC  BA ， BH  AE  AD ，
DAC  HBA(SAS) ，


CD  AH ， ACD  BAH ，
1
AM  CD ，
2




BAH  CAH  90 ，
ACD  CAH  90 ，
AJC  90 ，
AM  CD ．
（3）如图 3 中，
第 30页（共 31页）


ADC  90 ， AD 1， AC  3 ，

CD  AC2  AD2  32 12  2 2 ，

AM  CD ， AD  CD ，

A， D ， M 共线，
1


AM  CD  2 ，
2
DM  AM  AD  2 1．
如图 4 中，当点 D 在 AC 的右侧时，同法可得 DM  2 1，
综上所述， DM 的值为 2 1或 2 1．
第 31页（共 31页）