2023-2024学年广东省广州二中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州二中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
8
3 64
1．（3 分）以下实数中是无理数的为( )
64
22B．
7
C．D．
2．（3 分）如图，下列图形是由两条直线或三条直线相交形成的，其中1  2 的是()
 y2
3．（3 分）以下方程的解为x  1 的是()

A．
B．
C．
D．
A． 2x  3y  7
B． 3x  2 y  1
C． 4x  3y  10
D． x  2 y  5
4．（3 分）下列命题为真命题的是( )
的平方根是 1 B．二元一次方程都有无数组解
C． (2, 3) 是第二象限的点
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．（3 分）如图是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是(1, 4) ，白棋②的坐标是(3, 1) ，则白棋③的坐标是( )
A． (2, 5)B． (0, 0)C． (5,1)D． (0, 1)
6．（3 分）如图，已知直线 AB / /CD ， BC 平分ABD ，若1  80 ，则2 等于()
A．140B．160C．120D．150
7．（3 分）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学
问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有
x 只，兔有 y 只，则所列方程组正确的是( )
4x2 y94
A． x  y  35

B． x  y  35
2x4 y94

C． x  y  94
4x2 y35

D． x  y  94
2x4 y35

8．（3 分）如图，下列条件中，能判定 AB / /CD 的条件是( )
A． 1  2
B． 3  4
C． 5  D
D． B  BAD  180
9．（3 分）估算 3 20 的值( )
A．在 1 和 2 之间B．在 2 和 3 之间C．在 3 和 4 之间D．在 4 和 5 之间
10．（3 分）已知关于 x ， y 的方程组ax  2 y  c 的解为x  5 ，那么，关于 x ， y 的方程组2x  ay  c 的

 y  6

解为( )
 y6
x  5

x  6
 y5

3x byd

 y  6
C． x  5

D． x  6
  y5

bx 3yd
2
3
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
11．（3 分）比较大小：
  ．（用“  ”、“  ”或“  ”连接）
12．（3 分）如图所示，要把河中的水引到水池 A 中，应在河岸 B 处( AB  CD) 开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 ．
13．（3 分）方程3x2  15 的解为 x  ．
14．（3 分）已知 A(1, 3) ， B 在第四象限， AB / / y 轴，且 AB  5 ，则点 B 的坐标是 ．
15．（3 分）学校准备购买篮球和排球（两种球都购买），其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元，共花费资金 1200 元，则可供选择的购买方案有 种．
16．（3 分）关于 x 、 y 的二元一次方程 ax  by  c 的部分解如表，则 a  ．
b
x
2
1
0
1
2
y
2
0
2
4
6
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6 分）在下列证明过程中的括号里填写证明依据．
如图，已知A  30 ， C  40 ， AEC  70 ．求证： AB / /CD ． 证明：过点 E 作 EF / / AB ，
 EF / / AB ，
AEF  A  30(
) ，
FEC  AEC  AEF  70  30  40 ．
C  40 ，
FEC  C ，
 EF / /CD(
) ．
又 EF / / AB ，
 AB / /CD(
) ．
2
3
3
18．（6 分）计算：
3(2 
) | 3
|  3 125 ．
19．（8 分）解下列方程组：
x  3y
5x  6 y  20
（1） 2x  y  10 ；（2） 6x  5 y  24 ．

20．（8 分）如图，平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3, 2) ，B(2, 4) ，C(2, 4) ，按要求画图：将三角形 ABC 平移至三角形 A1B1C1 ，使 A 与 A1 (1, 4) 重合，直接写出点 B1 和C1 的坐标，并写出过程求三角形C1 AB 的面积．
21．（10 分）如图， AB / /CD ， CG 交 AB 于 A ， EF 交 AB 于 A ，交CD 于 E ．
若BED  GAB ，求证： AC / / BE ；
若 AG 平分FAB ， C  40 ，求CAF 的大小．
22．（10 分）如图，直线l1 / /l2 ， A 、 N 为直线l1 上的点，过点 A 的直线交l2 于点 B ， C 在线段 BA 的延长线上． D 、 E 为直线 l2 上的两个动点， D 在 B 的右侧， E 在 D 的右侧，连接 AD ， AE ，满足
AED  DAE ．点 M 在l2 上，且在点 B 的左侧．
（1）如图 1，若BAD  25 ， AED  50 ，则ABM 的度数为 ；
（2）如图 2，射线 AF 为CAD 的角平分线．
①用等式表示EAF 与ABD 之间的数量关系，并给出证明；
②当ABM  EAF  150 时， EAF 的度数为 ．
23．（12 分）《广州市公共交通票价优惠调整方案》于 2023 年 9 月 1 日正式实施，现有基础票价不变，普
通乘客在一个自然月内，使用同一种支付方式，乘坐广州地铁公交累计实际支出票款不超过 80 元没有优
惠，超过 80 元不超过 200 元部分享受 8 折优惠，超出 200 元部分享受 5 折优惠．
以某普通乘客为例，他在某次乘坐地铁没有优惠时需要支付基础票价 4 元．若他在本月此前已经累计支出
了 120 元，那么他此次需要支付 3.2 元，若他在本月此前已经累计支出了 210 元，那么他此次只需要支付
2 元．已知甲乙都是普通乘客，只地铁出行，每次使用同一张羊城通．
甲每次的基础票价都是 2 元，已知甲在今年 2 月乘坐地铁共 36 次，上半月比下半月少花 28 元，设甲上半月乘坐地铁 x 次，下半月乘坐地铁 y 次，列方程组解应用题，求甲在 2 月上半月乘坐地铁的次数；
乙每次的基础票价都是 10 元，已知乙在今年 2 月和 3 月乘坐地铁共 47 次，2 月比 3 月少花 70 元， 设乙在 2 月乘坐地铁 m 次，3 月乘坐地铁 n 次，回答下列问题：
①在不求出 m 、 n 的具体数值的情况下，分析乙在 2 月和 3 月分别享受了哪些优惠？
②根据①的分析结果，列方程组解应用题，求乙在 3 月乘坐地铁总共花费了多少钱？
24．（12 分）在平面直角坐标系中，M (a, b) ，N (c, d ) ，对于任意的实数 k  0 ，我们称 P(ka  kc, kb  kd ) 为点 M 和点 N 的 k 系和点．
例如，已知 M (2, 3) ， N (1, 2) ，点 M 和点 N 的 2 系和点为 K (6, 2) ．
已知 A(1, 2) ， B(2, 0) ．
点 A 和点 B 的 3 系和点的坐标为 ；
已知点C(m, 2) ，若点 B 和点C 的 k 系和点为点 D(n, n) ．
①求 m 的值；
②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点 D 为整点，且三角形 BCD 的内部（不包括边界）恰有 3
个整点，则 k 的值为 ；
③若三角形 BCD 的面积为 14，求点 D 的坐标．
2023-2024 学年广东省广州二中教育集团七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
8
3 64
1．（3 分）以下实数中是无理数的为( )
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
B
A
A
B
B
B
D
64
22B．
7
C．D．
64
【解答】解： 22 是分数，
7
 8 ，
3 64
 4 是整数，它们都不是无理数；
8
是无限不循环小数，它是无理数； 故选： C ．
2．（3 分）如图，下列图形是由两条直线或三条直线相交形成的，其中1  2 的是( )
【解答】解： A 、1 与2 互为补角，不一定相等，故 A 不符合题意；
B 、1 与2 互为对顶角，则1  2 ，故 B 符合题意；
C 、1 与2 为同位角，当相应的直线平行时，才有1  2 ，故C 不符合题意； D 、1 与2 为内错角，当相应的直线平行时，才有1  2 ，故 D 不符合题意； 故选： B ．
 y2
3．（3 分）以下方程的解为x  1 的是( )

A．
B．
C．
D．
A． 2x  3y  7
B． 3x  2 y  1
x  1
C． 4x  3y  10
D． x  2 y  5

【解答】解： A ．把 y  2 代入方程2x  3y  7 ，得左边 2 1  3  2  8 ，右边 7 ，左边 右边，
x  1

所以 y  2 不是方程 2x  3y  7 的解，故本选项不符合题意；
 y  2
B ．把x  1 代入方程3x  2 y  1 ，得左边 3 1  2  2  1 ，右边 1，左边 右边，

 y  2
所以x  1 不是方程3x  2 y  1 的解，故本选项不符合题意；

x  1

C ．把 y  2 代入方程4x  3y  10 ，得左边 4 1  3  2  2 ，右边 10 ，左边 右边，
x  1

所以 y  2 不是方程4x  3y  10 的解，故本选项不符合题意；
 y  2
D ．把x  1 代入方程 x  2 y  5 ，得左边 1  2  2  5 ，右边 5 ，左边 右边，

x  1

所以 y  2 是方程 x  2 y  5 的解，故本选项符合题意．
故选： D ．
4．（3 分）下列命题为真命题的是( )
的平方根是 1 B．二元一次方程都有无数组解
C． (2, 3) 是第二象限的点
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解答】解： A 、1 的平方根是1 ，原命题是假命题；
B 、二元一次方程都有无数组解，是真命题；
C 、(2, 3) 是第四象限的点，原命题是假命题；
D 、在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； 故选： B ．
5．（3 分）如图是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是(1, 4) ，白棋②的坐标是(3, 1) ，则白棋③的坐标是( )
A． (2, 5)B． (0, 0)C． (5,1)D． (0, 1)
【解答】解：根据题意，可建立如图所示平面直角坐标系： 则白棋③的坐标是(2, 5) ，
故选： A ．
6．（3 分）如图，已知直线 AB / /CD ， BC 平分ABD ，若1  80 ，则2 等于( )
A．140B．160C．120D．150
【解答】解： AB / /CD ， 1  80 ，
ABD  1  80 ，
 BC 平分ABD ，
 ABC  1 ABD  40 ，
2
 AB / /CD ，
2  ABC  180 ，
则2  180  40  140 ， 故选： A ．
7．（3 分）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学
问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有
x 只，兔有 y 只，则所列方程组正确的是( )
4x2 y94
A． x  y  35

B． x  y  35
2x4 y94

x  y  35
C． x  y  94
4x2 y35

D． x  y  94
2x4 y35


【解答】解：由题意得： 2x  4 y  94 ，
故选： B ．
8．（3 分）如图，下列条件中，能判定 AB / /CD 的条件是( )
A． 1  2
B． 3  4
C． 5  D
D． B  BAD  180
【解答】解： 1  2 ，
 AD / / BC ，
故 A 不符合题意；
3  4 ，
 AB / /CD ，
故 B 符合题意；
5  D ，
 AD / / BC ，
故C 不符合题意；
B  BAD  180 ，
 AD / / BC ，
故 D 不符合题意； 故选： B ．
9．（3 分）估算 3 20 的值( )
3 8
3 20
3 27
3 20
A．在 1 和 2 之间B．在 2 和 3 之间C．在 3 和 4 之间D．在 4 和 5 之间
【解答】解：
，即 2  3 ，
3 20
的值介于 2 和 3 之间，
故选： B ．
10．（3 分）已知关于 x ， y 的方程组ax  2 y  c 的解为x  5 ，那么，关于 x ， y 的方程组2x  ay  c 的

 y  6

解为( )
 y6
x  5

x  5
x  6
 y5

3x byd

 y  6
C． x  5

ax  2 y  c
D． x  6
  y5

bx 3yd
【解答】解：把 y  6 代入关于 x ， y 的方程组得：

5a  12  c

，
15 6bd
x  6
2x  ay  c
3x byd
12  5a  c
当 y  5 时，关于 x ， y 的方程组
可变为6b  15  d ，
bx
2x  ay  c
3yd
x  6
所以关于 x ， y 的方程组
的解为   ，
故选： D ．
bx  3y  d
 y5
2
3
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
2
11．（3 分）比较大小：
   ．（用“  ”、“  ”或“  ”连接）
【解答】解：
 1.414 ，
 1.732 ，
3
2
3
 3.146 ，
  3.142 ，
2
3
  ，故答案为：  ．
12．（3 分）如图所示，要把河中的水引到水池 A 中，应在河岸 B 处( AB  CD) 开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 垂线段最短 ．
【解答】解：要把河中的水引到水池 A 中，应在河岸 B 处( AB  CD) 开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
5
13．（3 分）方程3x2  15 的解为 x   ．
【解答】解：3x2  15 ，
5
 x2  5 ， 则 x  ，
5
故答案为： x  ．
14．（3 分）已知 A(1, 3) ， B 在第四象限， AB / / y 轴，且 AB  5 ，则点 B 的坐标是 (1, 2) ．
【解答】解：由题知，
 AB / / y 轴，且点 A 坐标为(1, 3) ，
点 B 的横坐标为 1．
又 AB  5 ，且点 B 在第四象限，
3  5  2 ，
即点 B 的纵坐标为2 ，
点 B 的坐标为(1, 2) ． 故答案为： (1, 2) ．
15．（3 分）学校准备购买篮球和排球（两种球都购买），其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元，共花费资金 1200 元，则可供选择的购买方案有 3 种．
【解答】解：设购买篮球 x 个，排球 y 个， 根据题意得：120x  90 y  1200 ，
整理得： 4x  3y  40 ，
 x 、 y 均为正整数，
x  1x  4x  7
  y  12 或 y  8 或 y  4 ，

可供选择的购买方案有 3 种， 故答案为：3．
16．（3 分）关于 x 、 y 的二元一次方程 ax  by  c 的部分解如表，则 a 
b
2 ．
【解答】解：由表格知，当 x  1 时， y  0 ；当 x  0 时， y  2 ；
a  c

代入关于 x 、 y 的二元一次方程 ax  by  c 中，得2b  c ，
a  2b ，
即 a  2 ，
b
故答案为： 2 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6 分）在下列证明过程中的括号里填写证明依据．
如图，已知A  30 ， C  40 ， AEC  70 ．求证： AB / /CD ． 证明：过点 E 作 EF / / AB ，
 EF / / AB ，
x
2
1
0
1
2
y
2
0
2
4
6
AEF  A  30(
两直线平行，内错角相等 ) ，
FEC  AEC  AEF  70  30  40 ．
C  40 ，
FEC  C ，
 EF / /CD(
) ．
又 EF / / AB ，
 AB / /CD(
) ．
【解答】证明：过点 E 作 EF / / AB ，
 EF / / AB ，
AEF  A  30 （两直线平行，内错角相等），
FEC  AEC  AEF  70  30  40 ，
C  40 ，
FEC  C ，
 EF / /CD （内错角相等，两直线平行）．又 EF / / AB ，
 AB / /CD （平行于同一直线的两直线平行）．
2
3
3
故答案为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
18．（6 分）计算：
3(2 
) | 3
|  3 125 ．
【解答】解：
3(2 
) | 3
|  3 125
2
3
3
3
3
 2 2  3 5
3
 3 ．
19．（8 分）解下列方程组：
x  3y
5x  6 y  20
（1） 2x  y  10 ；（2） 6x  5 y  24 ．

x  3y①

【解答】解：（1） 2x  y  10② ，
将①代入②得： 6 y  y  10 ， 解得： y  2 ，
将 y  2 代入①得： x  6 ，
x  6

故原方程组的解为 y  2 ；
5x  6 y  20①

（2） 6x  5 y  24② ，
①  ②整理得： x  y  4 ③，
②  ①整理得： x  y  4 ④，
③  ④得： 2x  8 ， 解得： x  4 ，
将 x  4 代入③得： 4  y  4 ， 解得： y  0 ，
x  4

故原方程组的解为 y  0 ．
20．（8 分）如图，平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3, 2) ，B(2, 4) ，C(2, 4) ，按要求画图：将三角形 ABC 平移至三角形 A1B1C1 ，使 A 与 A1 (1, 4) 重合，直接写出点 B1 和C1 的坐标，并写出过程求三角形C1 AB 的面积．
【解答】解：由题意得，三角形 ABC 向右平移 2 个单位长度，向上平移 6 个单位长度得到的三角形 A1B1C1 ． 如图，三角形 A1B1C1 即为所求．
由图可得，点 B1 (4, 2) ， C1 (0, 2) ．
三角形C AB 的面积为 1  (4  6)  5  1  3  4  1  2  6  25  6  6  13 ．
1222
21．（10 分）如图， AB / /CD ， CG 交 AB 于 A ， EF 交 AB 于 A ，交CD 于 E ．
若BED  GAB ，求证： AC / / BE ；
若 AG 平分FAB ， C  40 ，求CAF 的大小．
【解答】（1）证明： AB / /CD ，
GAB  C ，
BED  GAB ，
BED  C ，
 AC / / BE ；
（2）解：C  40 ， GAB  C ，
GAB  40 ，
 AG 平分FAB ，
FAG  GAB  40 ，
FAG  CAF  180 ，
CAF  140 ．
22．（10 分）如图，直线l1 / /l2 ， A 、 N 为直线l1 上的点，过点 A 的直线交l2 于点 B ， C 在线段 BA 的延长线上． D 、 E 为直线 l2 上的两个动点， D 在 B 的右侧， E 在 D 的右侧，连接 AD ， AE ，满足
AED  DAE ．点 M 在l2 上，且在点 B 的左侧．
（1）如图 1，若BAD  25 ， AED  50 ，则ABM 的度数为 125 ；
（2）如图 2，射线 AF 为CAD 的角平分线．
①用等式表示EAF 与ABD 之间的数量关系，并给出证明；
②当ABM  EAF  150 时， EAF 的度数为 ．
【解答】解：（1）如图1:l1 / /l2 ，
ABM  BAN ， NAE  AED  50 ，
BAD  25 ， DAE  AED  50 ，
ABM  BAN  BAD  DAE  NAE  25  50  50  125 ， 故答案为：125 ；
（2）① ABD  2EAF ， 证明：l1 / /l2 ，
CAN  ABD ， NAE  AED ，
又 AF 平分CAD ，
DAF  CAF  1 CAD ，
2
DAE  AED  NAE ，
DAE  NAE  1 (DAE  NAE)  1 DAN ，
22
EAF  DAF  DAE  1 CAD  1 DAN  1 CAN  1 ABD ．
2222
即ABD  2EAF ；
②Ⅰ、如图所示：点 D 在点 B 右侧，此时有EAF  1 ABD ，
2
ABM  EAF  150 ，
ABM  1 ABD  150 ，
2
又ABM  ABD  180 ，
 1 ABD  180  150  30 ，
2
EAF  30 ；
Ⅱ如图所示，点 D 在点 B 左侧，点 E 在点 B 右侧，
 AE 平分CAD ，
DAF  1 CAD ，
2
l1 / /l2 ，
AED  NAE ， CAN  ABE ，
DAE  AED  NAE ，
DAE  1 (DAE  NAE)  1 DAN ，
22
EAF  DAF  DAE  1 (CAD  DAN )  1  (360  CAN )  180  1 ABE ，
222
ABE  ABM  180 ，
EAF  180  1 (180  ABM )  90  1 ABM ，
22
又EAF  ABM  150 ，
EAF  90  1 (150  EAF )  165  1 EAF ，
22
EAF  110 ；
Ⅲ如图， D 、 E 均在 B 点左侧，
此时， DAE  1 DAN ， DAF  1 CAD ，
22
EAF  DAE  DAF  1 (360  CAN )  180  1 ABG  180  1 (180  ABM )  90  1 ABM ，
2222
EAF  110 ．
综上所述： EAF  30 或EAF  110 ． 故答案为： 30 或110 ．
23．（12 分）《广州市公共交通票价优惠调整方案》于 2023 年 9 月 1 日正式实施，现有基础票价不变，普
通乘客在一个自然月内，使用同一种支付方式，乘坐广州地铁公交累计实际支出票款不超过 80 元没有优
惠，超过 80 元不超过 200 元部分享受 8 折优惠，超出 200 元部分享受 5 折优惠．
以某普通乘客为例，他在某次乘坐地铁没有优惠时需要支付基础票价 4 元．若他在本月此前已经累计支出
了 120 元，那么他此次需要支付 3.2 元，若他在本月此前已经累计支出了 210 元，那么他此次只需要支付
2 元．已知甲乙都是普通乘客，只地铁出行，每次使用同一张羊城通．
甲每次的基础票价都是 2 元，已知甲在今年 2 月乘坐地铁共 36 次，上半月比下半月少花 28 元，设甲上半月乘坐地铁 x 次，下半月乘坐地铁 y 次，列方程组解应用题，求甲在 2 月上半月乘坐地铁的次数；
乙每次的基础票价都是 10 元，已知乙在今年 2 月和 3 月乘坐地铁共 47 次，2 月比 3 月少花 70 元， 设乙在 2 月乘坐地铁 m 次，3 月乘坐地铁 n 次，回答下列问题：
①在不求出 m 、 n 的具体数值的情况下，分析乙在 2 月和 3 月分别享受了哪些优惠？
②根据①的分析结果，列方程组解应用题，求乙在 3 月乘坐地铁总共花费了多少钱？
【解答】解：（1）因为甲上半月乘坐地铁 x 次，下半月乘坐地铁 y 次，
x  y  36x  11
由题意可得， 2 y  2x  28 ，解得 y  25 ，

答：甲在 2 月上半月乘坐地铁的次数为 11 次；
（2）①乙在 2 月乘坐地铁 m 次，3 月乘坐地铁 n 次， 当 m  23 时， n  24 ，
则乙 2 月份的乘坐地铁共花了8 10  15 10  0.8  200 元，
乙 3 月份的乘坐地铁共花了8 10  15 10  0.8  (24  8  15)  0.5 10  205 元， 与 2 月比 3 月少花 70 元矛盾，
当 m  24 时， n  23 ，
则乙 2 月份的乘坐地铁共花了8 10  15 10  0.8  110  0.5  205 元， 乙 3 月份的乘坐地铁共花了8 10  15 10  0.8  200 元，
与 2 月比 3 月少花 70 元矛盾，
可见乙在 2 月份只享受了超过 80 元不超过 200 元部分享受 8 折优惠，即 m  23 ，
则乙在 3 月享受了超过 80 元不超过 200 元部分享受 8 折优惠，超出 200 元部分享受 5 折优惠；
②因为乙在 2 月乘坐地铁 m 次，3 月乘坐地铁 n 次，
m  n  47

80200  8080
m  18
，解得，
200  (n 
) 10  0.5  70  80  (m 
) 10  0.8
n  29
1010  0.810
 200  (n  80  200  80) 10  0.5  200  (29  8  15) 10  0.5  230 ，
1010  0.8
答：乙在 3 月乘坐地铁总共花费了 230 元．
24．（12 分）在平面直角坐标系中，M (a, b) ，N (c, d ) ，对于任意的实数 k  0 ，我们称 P(ka  kc, kb  kd ) 为点 M 和点 N 的 k 系和点．
例如，已知 M (2, 3) ， N (1, 2) ，点 M 和点 N 的 2 系和点为 K (6, 2) ．
已知 A(1, 2) ， B(2, 0) ．
点 A 和点 B 的 3 系和点的坐标为 (9, 6) ；
已知点C(m, 2) ，若点 B 和点C 的 k 系和点为点 D(n, n) ．
①求 m 的值；
②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点 D 为整点，且三角形 BCD 的内部（不包括边界）恰有 3
个整点，则 k 的值为 ；
③若三角形 BCD 的面积为 14，求点 D 的坐标．
【解答】解：（1） A(1, 2) ， B(2.0) ，
根据新定义有3 1  3  2  9 ， 3  2  3  0  6 ，
点 A 和点 B 的 3 系和点的坐标为(9, 6) ， 故答案为： (9, 6) ；
（2）①点 D(n, n) 为 B(2, 0) 和C(m, 2) 的 k 系和点，
 n  2k  mk ， n  2k ，即 D(2k  mk, 2k ) ，
 2k  mk  2k ，
 mk  0 ，
 k  0 ，
 m  0 ；
② m  0 ，
 D(2k, 2k ) ， C(0, 2) ，
点 D 在一三象限角平分线上，如图，
点 D 为整点，且三角形 BCD 的内部（不包括边界）恰有 3 个整点，
符合条件的点有两个，且坐标分别为(1, 1) ， (3, 3) :
 2k  3 或 2k  1 ，
 k  3 或 1 ，
22
故答案为： 3 或 1 ；
22
③ B(2, 0) ， C(0, 2) ，
OBC 的面积为 2，
当点 D 在第一象限时，四边形OBDC 的面积为 16，
OBD 的面积为 8，
 D(2k, 2k ) ，
 1  2  2k  8 ，解得 k  4 ，
2
点 D 的坐标为(8,8) ；
当点 D 在第三象限时，四边形OBDC 的面积为 12．
OBD 的面积为 6，
 D(2k, 2k ) ，
 1  2  2k  6 ，解得 k  3 ，
2
点 D 的坐标为(6, 6) ，
综上，点 D 的坐标为(6, 6) 或(8,8) ．