河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二下学期开学收心考试 数学试题（含解析）

这是一份河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二下学期开学收心考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了本试卷共150分，请将各题答案填在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考试说明：
1．本试卷共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角
【详解】设直线的倾斜角为，
由直线可知其斜率为，
所以，
因为，
所以.
故选：C.
2. 已知圆，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式计算得解.
【详解】圆的圆心为，
所以圆心到直线的距离.
故选：D
3. 在等差数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，结合等差数列通项公式计算得解.
【详解】设等差数列的公差为，则.
故选：A
4. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，若，则（ ）
A. 3B. 6C. 18D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求解.
【详解】抛物线的焦点，准线：，
直线不垂直于轴，设其方程为，设，
由消去得：，则，由，得，
因此，，
所以.
故选：C
5. 在正项等比数列中，若，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的性质可得 ，代入已知条件，解方程可得所求值.
【详解】正项等比数列 中，
可得 ，
解得 （负值舍去） .
故选：C.
6. 已知双曲线上两点关于原点对称，为双曲线的左顶点，若直线和直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，代入双曲线的方程，再由直线的斜率公式可得 的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值.
【详解】设 ，
可得 ，
即有 ，
由 ，
可得 ，
故选： B .
7. 已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及体积法求点到平面距离求解.
【详解】由，且，得点在平面内，
因此的最小值即为点到平面的距离，即三棱锥底面上的高，
长方体中，，，
等腰底边上的高，，
由，得，即，解得，
所以的最小值为.
故选：D
8. 已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A. 360B. 480C. 960D. 1280
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的递推公式可得，再求出数列的前40项中的奇数项的和及偶数项的和即可.
【详解】当n为奇数，，，
当n偶数，，，
因此，的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列；
的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列，
所以
.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知空间中三个向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由向量的模、数量积公式， 投影向量的定义， 向量夹角公式依次求解即可.
【详解】因为，
对于 A ， ，故 A 正确；
对于 ，，所以 与 不垂直，故 错误；
对于 C ， 在 上的投影向量为
，故 C正确；
对于 D ， ，故D 正确.
故选： ACD .
10. 已知直线与圆交于两点，则（ ）
A. 过定点
B. 若直线平分圆的周长，则
C. 的最小值为
D. 的中点的轨迹所形成的图形的面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】求出直线所过定点判断A；利用圆的性质计算判断CD；求出轨迹方程判断D.
【详解】对于A，直线过定点，A正确；
对于B，圆的圆心，半径，当直线过点时，
，解得，B错误；
对于C，，当且仅当时，，C正确；
对于D，当点不在直线时，，点在以线段为直径的圆上，
当在直线时，点在以线段为直径的圆上，而直线不含直线，
即点不含点，因此点的轨迹是以为直径的圆（除点外），
因此的中点的轨迹所形成的图形的面积为，D错误.
故选：AC
11. 伟大的古希腊哲学家阿基米德最早用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，已知椭圆的右顶点为，上顶点为．是椭圆的左、右焦点．为椭圆上的动点．则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的面积为
B. 若的内切圆的面积为，则
C. 椭圆上存在6个点，使得直角三角形
D. 设点的坐标为，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义、解三角形问题及三角函数性质逐一分析各选项.
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，椭圆的面积为，A正确；
对于B，由的内切圆的面积为，得内切圆的半径，
，由余弦定理，得，
即，
则，，
因此，即，
而，则，，B正确；
对于C，由知，以线段为直径的圆在椭圆内，为直角三角形的点有4个位置，
过焦点垂直于长轴的椭圆的弦的端点，C错误；
对于D，，，
其中锐角由确定，因此当时，取得最大值，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线与直线垂直，则____________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据给定条件，利用两条直线互相垂直列式计算得解.
【详解】由直线与直线垂直，得，
所以或.
故答案为：或
13. 已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】设出双曲线的方程，代入双曲线的方程，求得参数的值，即可得到双曲线的方程
【详解】因为双曲线是等轴双曲线，
所以可设双曲线的方程为，
将点代入，可求得，
所以所求双曲线的方程为，
即为，
故答案为：.
14. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数列是递增数列，结合指数函数与一次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】因为对于任意都有，
所以数列递增，
因为an=a-2n+6, n>4an-2, n≤4n∈N*，
所以 a−2>0a>1a−2×5+6>a4−2 ，
，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点．
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）若点关于轴的对称点为点，过作圆的切线，求切线的方程．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出线段的中点坐标、直线的斜率，利用垂直关系求出方程.
（2）求出点的坐标，按切线斜率存在与否分类求出切线方程.
【小问1详解】
线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，方程为，即.
【小问2详解】
依题意，点，圆的圆心，半径，
点到直线的距离为2，且直线过点，因此切线可以是直线；
当切线斜率存在时，设其方程为，即，
于是，解得，方程为，
所以切线的方程为或.
16. 已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前项和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等比中项列式求出公差，进而求出通项公式.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由成等比数列，得，而，
则，又，解得，
所以通项公式是.
【小问2详解】
由（1）得，
所以.
17. 如图1，在直角梯形中．．将沿折起，使，连接，得如图2的几何体．
图1 图2
（1）求证：平面平面；
（2）若是线段上靠近的三等分点，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据线面垂直的判定定理可证明平面，从而得面面垂直；
（2）以为坐标原点，射线，分别为轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，轴在平面内，分别求出平面和平面的一个法向量，利用空间两平面的夹角公式求解.
【小问1详解】
在直角梯形中，，，则，
三棱锥中，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
取中点，则四边形为正方形，为等腰直角三角形，
则可得，平面，
由（1）可知平面，即平面平面，
则以为坐标原点，射线，分别为轴，轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，轴在平面内，
设，则，
所以，，，，
则
由题意，设平面法向量为，
则，令，则，
得，
设平面的一个法向量，
则 ，令，则，
得，
所以cs=m⋅n|n|⋅|m|=22×6=33，
所以二面角的余弦值为.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于、两点，．
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与曲线交于两点、，请问：在轴上是否存在一点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）设出椭圆方程，由已知列出方程求出即可.
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求解.
【小问1详解】
依题意，设椭圆的方程为，半焦距为，
由椭圆的离心率为，得，则，
当时，，则，由，得，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，设直线的方程为，，
由消去得：，，
假定在轴上存在一点，使得成立，设，
直线的斜率，直线的斜率，
于是，
则，即，而不恒为0，解得，
所以在轴上存在一点，使得成立，点坐标为.
19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如．
（1）求的值；
（2）已知数列满足，求的前项和；
（3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可；
（2）利用错位相减法求和，即可得出结果；
（3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果.
【小问1详解】
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；
【小问2详解】
所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，
即，
两式相减得
【小问3详解】
由（2）可知
，
得 恒成立，
令 ，
则 ，
可得 ； 当 时，，当时，，
所以的最大值为，
故