河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高一下学期开学收心考试 数学试题（含解析）

这是一份河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高一下学期开学收心考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了本试卷共150分，请将各题答案填在答题卡上， 若为第二象限角，则， 已知，则， 已知函数，则不等式的解集为， 已知幂函数的图象经过点，则， 已知正数满足，且，则等内容，欢迎下载使用。
考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题，总有，则命题的否定为（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，总有D. ，总有
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断即得.
【详解】命题，都有是全称量词命题，其否定为存在量词命题，
所以命题的否定为：，使得.
故选：B.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据根式和分式的意义列式求解即可.
【详解】令，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C.
3. 非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是（ ）
A. 4个B. 6个C. 7个D. 8个
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得集合中元素需从三个实数对中选取若干个即可，通过列举可得的个数.
【详解】由，则可知集合中的元素需从三个实数对中选取若干个即可；
因此若中含有一组实数对，则或或；
若中含有两组实数对，则或或；
若中含有三组实数对，则；
综上可知，适合上述条件的集合的个数是7个.
故选：C
4. 若为第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取可判断AB选项的正误；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项的正误.
【详解】取，则为第二象限角，，AB选项错误；
因为为第二象限角，则，，所以，，C错D对.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】因为，
则
.
故选：B.
6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，分析出内层函数和外层函数的单调性，以及真数在所给的区间上恒为正数可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】令，易知其定义域上单调递减，
在上单调递减，则在上单调递增，
且在上恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知，可得为偶函数，进而判断出函数在上单调递增，在上单调递减，则由不等式可得，即可解出答案.
详解】函数，
则，所以为偶函数，
当时，，
函数单调递减，函数单调递减，
则函数单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则由不等式，得，
则，化简得，
解得，则不等式的解集为.
故选：A.
8. 已知函数，当时，恒成立，若的最小值为0，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先将不等式变形成为，且存在使得，换元后讨论对称轴和定义域的关系，列式求解即可.
【详解】由题意可知，当时，恒成立，且存在使得，
则，整理可得，
即，
因为，所以，当且仅当时，等号成立；
当时，即时，设；
则gmmin=g2=4−6t+2t2+4=2t2-6t+8=2t-322+74>0，不合题意；
当时，即时，由，解得；
综上可得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将四次不等式通过变形利用基本不等式结合换元法，将问题转化为求解二次函数最值的问题，得出表达式求解即可.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 的定义域为
B. 的值域是
C. 为奇函数
D. 为定义域上的减函数
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意求得.对于AB：根据函数解析式求定义域和值域；对于CD：举反例说明即可.
【详解】设幂函数，
因为幂函数的图象经过点，
则，可得，即，
对于选项A：令，可得，
所以的定义域为，故A正确；
对于选项B：因为，则，可得，
所以的值域是，故B正确；
对于选项CD：因为，
所以不为奇函数，且在定义域内不为减函数，故CD错误；
故选：AB.
10. 已知正数满足，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可判断A错误，B正确，结合指数函数、对数函数单调性可判断CD正确.
【详解】对于A，因为，且，可得，即A错误；
对于B，依题意可知，可得B正确；
对于C，由可得，可得，且；
所以，因此C正确；
对于D，结合B选项以及对数函数单调性可得，可知D正确.
故选：BCD
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，平方可得，进而可得，求解可得，逐项分析判断即可.
【详解】对A：因为，则，
所以，
又因为，则，，所以，故A正确；
对D：可得，且，
所以，故D错误；
对B：联立，可得，，故B正确；
对C：可得，故C正确.
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数，且的图象过定点，则点的坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数过定点的性质，令指数幂等于0即可．
【详解】由得此时，故图象恒过定点.
故答案为：.
13. 周长为cm的扇形取得面积最大值时的半径为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用扇形周长公式和面积公式，由二次函数性质可得当时，面积最大.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，
因此，即,
扇形面积为，
可知当时，面积最大为.
故答案为：1
14. 已知，使得方程有两解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先分别分析两段函数的性质，由函数图象结合方程有两解这一条件进行讨论
【详解】很显然幂型函数，在上单调递增.
，其对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增.
要使，方程有两解，则需满足，则.
得. 因为4m2>0，要使不等式成立，需使， 解得.
故实数的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记不等式的解集为，不等式的解集为.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，再由并集运算可得结果；
（2）由补集运算可知，再根据交集结果可得的取值范围.
【小问1详解】
易知不等式的解集为，
不等式的解集为B=x>1或；
当时可得，
因此或；
【小问2详解】
由（1）可知；
若，可知需满足即可.
所以实数的取值范围为.
16. （1）计算：；
（2）已知是第三象限角，且.
①求的值；
②求的值.
【答案】（1）1；（2）①2；②2.
【解析】
【分析】（1）运用对数换底公式、对数的运算性质化简计算即可；
（2）①利用三角诱导公式和同角基本关系式化简已知式求得，再根据角的象限确定值；②将所求的弦的二次齐次式通过构造分母化弦为切即可得.
【详解】（1）
.
（2）由题意可得：
①
，则，
因为是第三象限角，所以．
②是第三象限角，，
.
.
17. 在以原点为圆心的单位圆中，钝角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.
（1）求的值和钝角的大小；
（2）求的值；
（3）记点的横坐标为，若，求的值.
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用单位圆定义可得，再由三角函数定义计算可得；
（2）利用诱导公式化简后代入计算可得结果；
（3）由余弦函数定义可知，可知，结合整体代换以及诱导公式并计算可得结果.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
又因为为钝角，所以点在第二象限，即，
所以；
易知，又，
因此可得
【小问2详解】
由（1）可知，
易知原式
【小问3详解】
由（1）中，利用三角函数定义可得；
又可得；
因为，所以，
因此；
所以
.
18. 若函数在区间上有最大值8和最小值3，设.
（1）求的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数在闭区间上的单调性，利用最值得出方程组可解得；
（2）将不等式有解问题转化成，由二次函数单调性可得结果.
【小问1详解】
易知函数关于对称，
因此在区间上单调递增，
所以可得，解得，
因此的值分别为
【小问2详解】
由（1）可得，所以；
不等式等价于；
令，可得，
不等式在上有解等价为；
由二次函数性质可得在上单调递增，
所以，因此.
即可得实数的取值范围为.
19. 已知函数（为常数，），且是偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数，问是否存在正实数，使关于的不等式对恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数运算求解即可；
（2）整理可得，换元令，根据对数的真数大于0可得，且，对对数的底数分类讨论，结合对数函数单调性分析求解.
小问1详解】
由题意可知：函数的定义域为，
若函数是偶函数，则，
又因为，
即，结合x的任意性可得，所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，
则，
可得，
若不等式对恒成立，即，
令，可得，
可知对任意恒成立，
且，可得，
因为在内单调递增，则，
可得，且，
若，则，可得，
因为在内单调递增，
可知在内单调递增，则，
可得，即符合题意；
若，则，可得，
因为在内单调递增，
可知在内单调递增，则，
可得，无解；
综上所述：存在正实数符合题意，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：对于对数函数问题，要先考虑对数的真数大于0，否则容易出现错误.