海南省洋浦中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份海南省洋浦中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了 已知集合，，则， “角为第二象限角”是“”的， 已知函数，若，则， 函数的定义域为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合，解指数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
由，即，解得，所以，
所以.
故选：C
2. “角为第二象限角”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当角为第二象限角时，，所以，故充分；
当时，或，所以在第二象限或在第三象限，故不必要；
故选：B
3. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意，对分类讨论并解方程即可解除的值，再代入即可得解.
【详解】依题意，所以可能有以下两种情形：
情形一：若，则，所以，解得(不符题意，舍去).
情形二：若，则，所以,解得.
综上有.故.
故选：A.
4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定最小正周期及单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，
故其最小正周期为，当时，在上单调递增，A是；
对于B，由A的分析同理可知的最小正周期为，
当时，在上单调递减，B不；
对于C，的最小正周期为，在上单调递减，C不是；
对于D，的最小正周期为，D不是.
故选：A
5. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分母不为零以及真数大于零解不等式可得.
【详解】由函数解析式可知需满足，解得且；
即可得函数的定义域为.
故选：B
6. 函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，可知在上单调递减，又，所以,解不等式即可得解.
【详解】由题意,，不失一般性不妨假设，则，所以在上单调递减，
又，所以,
解不等式得,则正实数的取值范围为.
故选：B.
7. 已知在处取得极大值2，极小值点与相邻的零点的距离为1，则函数与图象的交点个数为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合求得答案.
【详解】依题意，，函数的最小正周期，解得，由，
得，而，解得，，
在同一坐标系内作出函数与图象，如图，
观察图象知，当时，，函数与图象的交点个数为8.
故选：C
8. 函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，均有，则实数t的最大值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.
【详解】因为，所以，则，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
则由得，
又因为在上是增函数，所以，
两边平方化简得在恒成立，
令，则，
又因为开口向上，对称轴为，
所以在单调递增，
则，解得，
又因为，所以，
所以的最大值为.
故选：B.
二､多选题
9. 已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则函数在下列哪些区间上一定存在零点（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用函数表格的函数值，结合零点存在定理，即可求解．
【详解】因为函数的图像是一条连续不断的曲线，
又，所以函数在之间一定存在零点，故A正确；
，所以函数在之间一定存在零点，故B正确；
，所以函数在之间一定有零点，所以在区间之间一定有零点，故C正确；
，所以函数在之间不一定有零点，故D不正确；
故选：ABC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. “幂函数在上单调递减”的充要条件为“”
C. 命题的否定为：
D. 已知一扇形的圆心角，且其所在圆的半径，则扇形的弧长为
【答案】AD
【解析】
【分析】由充分必要条件举例可得到A正确；由幂函数的单调性可得到B错误；由全称与特称命题的性质可得到C错误；由弧长公式可得到D正确.
【详解】A：，可以是，所以充分性不成立；若，则恒成立，所以必要性成立，故A正确；
B：由题意可知，又幂函数在上单调递减，则，故B错误；
C：命题的否定为：，故C错误；
D：扇形的圆心角，所以由弧长公式可知弧长为，故D正确.
故选：AD
11. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为
B. 的值域为
C. 为减函数
D. 为奇函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用对数型复合函数的定义域，列不等式组可判断A；由对数型复合函数的值域可判断B；根据复合函数的单调性可判断C；根据奇偶性定义可判断D.
【详解】由解得，A正确．
，因为，所以，B正确．
因为函数在上单调递减，
函数在上单调递增，所以在定义域内单调递减，C正确．
的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，D错误．
故选：ABC
三､填空题
12. 已知，且，则的最小值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】构造基本不等式“1”的代换，求出最小值.
【详解】因为，，
所以
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为 .
故答案为：
13. 已知是第三象限角，，则__________，__________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】利用诱导公式得到，根据同角三角函数的基本关系求出，将弦化切，代入计算可得.
【详解】因为，所以，又，
解得或，
又是第三象限的角，所以，
因为，所以.
故答案为：，
14. 当时，不等式恒成立，实数m的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】把给定不等式恒等变形，构造函数并求出函数的最小值，再列出不等式求解作答.
【详解】不等式，函数在上单调递减，
当时，，依题意，，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案：
四､解答题
15.
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂及根式运算法则进行计算即可；
（2）利用对数运算性质及换底公式进行计算即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第二象限的点，且．求下列各式的值．
（1）及；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用任意角三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系求解即可.
（2）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系化简求值即可.
【小问1详解】
因为点在第二象限，所以，
由三角函数定义可知，解得，
此时，故，
得到，故.
【小问2详解】
原式，
.
17. 已知函数
（1）求的单调递增区间：
（2）求在上的值域；
（3）若函数在上的零点个数为2，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）应用整体法及正弦函数的性质求单调增区间；
（2）由题设有，结合正弦函数性质求值域即可；
（3）由，根据正弦函数的性质确定区间单调性及对应值域，结合零点个数确定参数范围.
【小问1详解】
由正弦函数的性质知，则，
所以的单调递增区间为；
【小问2详解】
由题意，令，由正弦函数性质有，所以；
【小问3详解】
在上，且在上单调递增，在上单调递减，
所以，在上对应，在上对应，
要使函数在上的零点个数为2，则.
18. 已知函数，且为奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）解不等式：.
【答案】（1）
（2）减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由若在区间D上为奇函数，则可得a的值，再由奇函数的定义检验即可.
（2）由函数单调性性质判断其单调性，再由单调性的定义法证明（任取、作差、变形、断号、写结论）即可.
（3）由函数为奇函数处理原不等式得，再由函数在R上单调递减，比较两个括号中式子的大小，解不等式即可.
【小问1详解】
∵函数的定义域为R，函数为奇函数，
∴，
则，得
检验，当时，，定义域为R，
对于任意实数，
所以
所以当时，为奇函数.
【小问2详解】
由（1）知，在R上为单调递减函数.
证明：设，
∵， ∴，
即，，
∴，
即函数在定义域R上单调递减.
【小问3详解】
∵在R上为奇函数，，
∴，
又∵函数在R上单调递减，
∴，解得：，
∴不等式的解集为
19. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
（3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最大值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的定义域列不等式求解即可.
（2）由函数的单调性和零点存在定理，列不等式求解即可.
（3）由对勾函数的性质可得函数的单调区间，利用分类讨论的思想讨论定义域与单调区间的关系，再利用函数的最值存在性问题求出实数的值.
【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，
即函数的定义域为.
（2）由，且，
可得，
且为单调递增连续函数，
又函数在上有且仅有一个零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）由，设，
则，
易证在为单调减函数，在为单调增函数，
当时，函数在上为增函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上为减函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上减函数，在上为增函数，
所以最大值为或，解得，符合题意，
综上可得，存在使得函数的最大值为4.
【点睛】本题考查了对数函数的定义域问题、零点存在定理、对勾函数的应用，考查了理解辨析的能力、数学运算能力、分类讨论思想和转化的数学思想，属于一般题目.
x
1
2
3
4
5
6
y
15.552
10.88