海南省海口市海南中学2024-2025学年高二下学期开学 数学试题（含解析）

这是一份海南省海口市海南中学2024-2025学年高二下学期开学 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(每题5分，共70分)
1. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的一般方程，由求解.
【详解】解：因为方程表示圆，
所以，
解得，
故选：B
2. 已知数列满足，且，则（ ）
A 12B. 16C. 18D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的定义可判断数列为等差数列，从而可得，利用数列的通项公式即可求解.
【详解】根据题意，因此数列是等差数列，公差，
已知， ，
即，解得，
利用等差数列的通项公式得.
因此，.
故选：B.
3. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线，，若，则实数（ ）．
A. B. 1C. 3D. 1或3
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行的判定公式求解.
【详解】根据，则，
即，得或，但时两直线重合，
故.
故选：B．
4. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，代入即可求.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以.
故选：C
5. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）．
A. B. 5C. D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列下标和的性质有，结合已知得，再应用对数运算性质求值.
【详解】由题设知，而，则
则.
故选：B
6. 数列中，对任意的都有，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】在等式中，令，可得，所以，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，
所以，
又，
则，
所以，解得.
故选：D.
7. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，分析可知，直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】令，可得，
令，则直线与函数的图象有三个交点，
，令，可得或，列表如下：
如下图所示：
由图可知，当时，即当时，
直线与函数的图象有三个交点，
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
8. 已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，100，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（ ）
A. 438B. 450C. 254D. 278
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出两个数列相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.
【详解】由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：
2，14，26，…，98，是公差为12，项数为9的等差数列，
故新数列的各项之和为.
故选：B.
9. 已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点差法可得，由，，可得，可求椭圆离心率.
【详解】设，所以，
两式相减得，即，
又，所以，整理得，
又，，所以，所以，
所以椭圆的离心率.
故选：D.
10. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解.
【详解】因为存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
令，则，令，解得(负值舍去)，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，故，
故选：B.
11. 数列满足：，若，则数列的前10项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用数列的前项和与通项的关系求出通项，再化简的通项，利用裂项相消法即可求得其前10项的和.
【详解】由，当时，；
当时，，
两式相减可得，即（），
经检验，当时，上式符合，故，
所以，
所以.
故选：C.
12. 函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围.
【详解】函数，因为，，所以，
故在上单调递增，所以.
又，所以在上也是单调递增，所以.
因为对任意的，总存在，使成立，等价于，
所以，解得，故实数a的范围是.
故选：D.
13. 已知数列满足且，，记的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据递推公式可得数列奇数项和偶数项的特征，分别求和即可求得结果.
【详解】当为偶数时，，又，的偶数项是以为首项，为公差的等差数列；
当为奇数时，，又，奇数项是以为首项，为公比的等比数列；
.
故选：B.
14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A. 6B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】将圆用阿氏圆表示，得到，将问题转化为求最小值问题，利用二次函数求最值即可得到．
【详解】易知抛物线的焦点， 不在圆E上，
将圆变形为：
即，
，当且仅当三点共线时取等号；
设，则，当且仅当时取等号；
所以，故
所以的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题解题的关键是借助题目的背景提示，将圆用阿氏圆表示，分别用几何法和代数法求最值．
二、多选题(每题6分，错选部分给分，共30分)
15. 下列求导数的运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本初等函数导数和求导法则，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】选项A，因为是常数，所以，选项A错误；
选项B，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项B正确；
选项C，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项C正确；
选项D，根据复合函数的求导法则知，，选项D错误.
故选：BC.
16. 已知双曲线C:，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线实轴长为6
B. 双曲线虚轴长为1
C. 双曲线离心率为
D. 双曲线焦点到渐近线的距离为1
【答案】AD
【解析】
【分析】根据双曲线方程，讨论基本的双曲线的性质.
【详解】由双曲线方程可知，，，所以，所以实轴长，虚轴长，离心率
渐近线方程为，焦点坐标为，所以焦点到渐近线的距离，故AD正确，BC错误.
故选：AD
17. 已知是公差为的等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列的最小项为
C. D. 能使时的最大值为15
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，可得，再结合单调性及前项和公式逐项判断.
【详解】在等差数列中，由，得，
对于A，，A错误；
对于B，数列是递增数列，前8项均为负，从第9项起为正，则数列的最小项为，B正确；
对于C，由，得，因此，C正确；
对于D，由，得，D错误.
故选：BC
18. 1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.则下列判断正确的是（ ）
A. 笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点
B 笛卡尔叶形线关于直线对称
C. 当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为
D. 当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，即可判断A，代入曲线成立判断B，当时，令，得出顶点坐标判断C，应用图象得出D.
【详解】对于A，在中，令，则，令，则，
即笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点，故A正确；
对于B，在中，将点代入可得：，
显然方程不变，即笛卡尔叶形线关于直线对称，故B正确；
对于C，当时，笛卡尔叶形线方程：.
令，解得或，故顶点坐标，故C错误；
对于D，由图象知离原点距离最大，于是的最大值为18，故D正确.
故选：ABD.
19. 设函数，则（ ）
A. 是的极小值点B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
20. 如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积.
（1）求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积；
（2）当时，求证：；
（3）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义计算即可.
（2）先由新定义的运算得到，再构造函数，利用导数分析单调性，证明结论.
（3）先证明时，再利用结论，得，累加法可得答案.
【小问1详解】
由，得.
由题意可得所求面积.
令，则是常数）
所以，
即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为.
【小问2详解】
令，可得（是常数），
所以，
要证，只需证，
令，
当时，，
所以在上单调递减，所以当时，，
所以，即.
【小问3详解】
由（2）得，当时，.
因为，所以.
即.
所以.
.
.
.
累加可得
，
即，
所以.
【点睛】关键点点睛：构造函数，求导证明，进而得到，利用累加法得出答案.
增
极大值
减
极小值
增