北京市第三十五中学2024-2025学年九年级下学期2月月考 数学试题（含解析）

这是一份北京市第三十五中学2024-2025学年九年级下学期2月月考 数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，小器一容三斛；大器一，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意． 共16分，每小题2分）
1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 在年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，有理数的除法，熟练掌握大数的科学记数法的表示方法是解题的关键．先求得前三日平均每天的票房为元，再利用科学记数法表示．
【详解】解：亿，
前三日平均每天的票房为（元），
，
故选：C．
3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据a，b在数轴上的位置可直接判断A；根据在数轴上的位置结合加法和乘法法则可判断B和C；根据绝对值的意义可判断D．
【详解】解：A．∵由数轴可知，故不正确；
B．∵，∴，故不正确；
C．∵，∴，故不正确；
D．由数轴可知，正确；
故选D．
【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，以及有理数的加法和乘法法则，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
4. 正六边形的每个内角度数为（ ）
A. 60°B. 120°C. 135°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．
【详解】解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形，解决本题的关键是利用多边形的内角和公式即可解决问题．
5. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法配方即可．
【详解】解：，
移项，得：，
配方，得：，
即：，
故选：D．
6. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB=，则∠ADC的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等即可得到答案．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=∠ACB -∠CAB=90°-65°=25°，
∵∠ADC和∠ABC所对的弧相同
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角的知识，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角．
7. 把不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用数轴表示不等式组的解集．先求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可得出结论．
【详解】解：由得：，
∴在数轴上表示为：
故选：C．
8. 某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．

根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（ ）
① 该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有天；
② 该景区这个月每日接待游客人数的中位数在万人之间；
③ 该景区这个月平均每日接待游客人数低于万人；
④ 这个月日至日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他 “这两天游玩环境评价均为好”的可能性为．
A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中位数、平均数及概率结合统计图表，掌握相关基础概念并结合统计图表进行分析是解题的关键．根据统计图即可判断①；利用中位数的定义判断②；利用统计图进行估算即可判断③；利用列表或树状图求解即可判断④．
【详解】解：①根据题意每日接待游客人数为拥挤，为严重拥挤，
由统计图可知，游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，日至日有天，日至日有天，共天，故①正确；
②本题中位数是指将天的游客人数从小到大排列，第与第位的平均数，
根据统计图可知有天，从而中位数位于范围内，故②错误；
③从统计图可以看出，小于且接近的有天，大于而小于的有天，及其以上的有天，
上下的估算为，及其以上的天估算为，大于且接近的估计为，
则的估计总人数为（万人），
假设这部分人平均数为万人，将多余人分给的天，
则的天每天分得，
由图可知给每个至的补上，则大部分大于，而至范围内有天接近，故平均数一定大于，故③错误；
④由图可得这天中评价为“好”的有天，分别设为，，，评价为“一般”的有天，设为，评价为“拥挤”的有天，设为，
根据题意列表如下：
其中共有种等可能的情况，其中两次都为评价为“好”的有种，
则“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为： ，故④正确．
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．
【详解】解：由题意可得，
，
，
故答案为：．
10. 分解因式：__________.
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．解题的关键在于正确的分解因式．
11. 如果，那么代数式的值为 _____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
，
，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
12. 半径为6cm，圆心角为40°的扇形的面积为__cm2．
【答案】4π．
【解析】
【分析】根据扇形面积公式求解即可.
【详解】解：由题意得，n＝40°，R＝6cm，
故4πcm2．
故答案为：4π．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长.那么扇形的面积为：.
13. 如图，在矩形中，E是边的延长线上一点，连接交边于点F若AB=4，BC=6，DE=2，则AF的长为___.
【答案】4
【解析】
【分析】由四边形ABCD是矩形，推出，，设，则由，可得，由此构建方程即可解决问题．
【详解】解：四边形ABCD是矩形，
，，设，则，
，
∽，
，
，
，
．
故答案为4.
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14. 在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球只，红球只，黑球只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出只球，则取出黑球的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率公式，熟练掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．本题利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵白球只，红球只，黑球只，
∴口袋中共有球（只），
∴随机从袋中取出只球，取出黑球的概率是，
故答案为：．
15. 《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为_____（斛：古量器名，容量单位）．
【答案】
【解析】
【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
16. 某快递公司快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：
（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天最大收入为_____元；
（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为_____元．
【答案】 ①. 160 ②. 180
【解析】
【分析】（1）根据表格数据得出答案即可；
（2）根据x+y＝8，x，y均为正整数，把所有收入可能都计算出，即可得出最大收入．
【详解】解：(1)由统计表可知:如果该快递员一天工作8小时只送甲类件，则他的收入是
1×145=145(元)
如果该快递员一天工作8小时只送乙类件，则他的收入是
2 × 80= 160 (元)
∴他一天的最大收入是160元;
(2)依题意可知：x和y均正整数，且x+y= 8
①当x=1时，则y=7
∴该快递员一天的收入是1 ×30+2×70=30+ 140= 170 (元)；
②当x=2时，则y=6
∴该快递员-天的收入是1×55+2×60=55+120=175(元)；
③当x=3时，则y=5
∴该快递员一天的收入是1× 80+2×50= 80+ 100= 180 (元)；
④当x=4时，则y=4
∴该快递员一天的收入是1×100+2×40= 100+80 = 180 (元)；
⑤当x=5时，则y=3
∴该快递员一天的收入是1×115+2×30=115十60 = 175 (元)；
⑥当x=6时，则y=2
∴该快递员一天的收入是1 × 125+ 2× 20= 125+40 = 165 (元)；
⑦当x=7时，则y=1
∴该快递员一天的收入是1×135+2×10=135+20= 155 (元)
综上讨论可知：他一天的最大收入为180元.
故填： 160；180.
【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，在给定的“x+y＝8，x，y均为正整数”的条件下，分情况讨论出最大收入即可.
三、解答题(本题共68分，第17、18、19每题各5分；第20、21、22、24、25、26、27题，每题各6分；第23题4分；第28题7分)
17. 计算：﹣2cs30°+（3﹣π）0+|1﹣|．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．求证：AD＝BE．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据题意易得出CA＝CB．证明△ADC≌△BEC（AAS），则结论得证．
【详解】证明：∵∠CAB＝∠CBA，
∴CA＝CB．
∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（AAS）．
∴AD＝BE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
20. 关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
【答案】（1）n＞0；（2）x1＝0，x2＝﹣2．
【解析】
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，然后解不等式即可；
（2）利用n的范围确定以n＝1，则方程化为x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：（1）根据题意得△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，
解得n＞0；
（2）因为n为取值范围内的最小整数，
所以n＝1，
方程化为x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
【点睛】此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式的运用与方程的求解方法．
21. 如图,在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD的中点，连接BE并延长至点F，使得EF=EB，连接DF交AC于点G，连接CF，
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形
（2）若∠A=30°，BC=4，CF=6，求CD的长
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据对角线互相平分即可证明；
（2）由四边形DBCF是平行四边形，可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°，由直角三角形的性质得到FG,CG,GD的长，由勾股定理即可求解.
【详解】（1）∵E为CD的中点，
∴CE=DE，又EF=EB
∴四边形DBCF是平行四边形
（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC，
∴∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°，
在Rt△FCG中，CF=6，
∴FG=CF=3，CG=3
∵DF=BC=4，
∴DG=1，
∴在Rt△DCG中，CD=
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知含30°的直角三角形的性质.
22. 下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．
已知：如图，⊙O．
求作：正方形ABCD，使正方形ABCD内接于⊙O．
作法：如图，
① 过点O作直线AC，交⊙O于点A和C；
② 作线段AC的垂直平分线MN，交⊙O于点B和D；
③ 顺次连接AB，BC，CD和DA；
则正方形ABCD就是所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全如图中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明： ∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC =∠ADC = °，
又∵点B在线段AC的垂直平分线上，
∴ AB = BC，
∴ ∠BAC = ∠BCA = °．
同理 ∠DAC = 45°．
∴ ∠BAD = ∠BAC +∠DAC = 45° + 45° = 90°．
∴ ∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，
∴ 四边形ABCD是矩形（ ）（填依据），
又∵ AB = BC，
∴ 四边形ABCD是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）90，45，有3个直角的四边形为矩形．
【解析】
【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形即可；
（2）先利用圆周角得到∠ABC=∠ADC=90°，再利用线段垂直平分线的性质得到AB=BC，则∠BAC=∠BCA=45°．同理∠DAC=45°．则可得到∠BAD=90°．于是根据有3个直角的四边形为矩形可判断四边形ABCD是矩形，再加上AB=BC，则可判断四边形ABCD是正方形．
【详解】（1）如图，四边形ABCD为所作；
（2）完成下面的证明：
证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
又∵点B在线段AC的垂直平分线上，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
同理∠DAC=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+45°=90°，
∴∠DAB=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形（有3个直角的四边形为矩形），
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为90，45，有3个直角的四边形为矩形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和正方形的判定方法．
23. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字，，记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数记为，由，可得是十进制数．
（1）将转换为十进制数，结果是________；
（2）对于一个用三进制表示的正整数，有下列两个结论：
如果这个数的末位数字能被整除，那么这个数就能被整除；
如果这个数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个数就能被整除．
从中选出正确结论，并以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，能熟练将三进制转化为十进制是解答本题的关键．
（1）根据题意将三进制转化为十进制即可；
（2）根据题意判断出正确，将四位的三进制数化为十进制的数，经过变形即可验证．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：是正确结论，理由见下：
，
能被整除，
如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除．
24. 在平面直角坐标系中，直线经过点，.
（1）求b和m的值；
（2）将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段与组成的图形为G.
①直接写出点的坐标；
②若双曲线与图形G恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围.
【答案】（1）b=1，；（2）①，②k值的范围是或.
【解析】
【分析】把B的坐标代入即可求得b，然后代入，即可求得m，得出；
根据平移的性质、轴对称以及中心对称的性质即可求得C、D的坐标；
函数的图象经过点A，，函数的图象经过点D，，此时双曲线也经过点B，根据图象即可求得k的取值范围
【详解】解：直线经过点，
，
直线，
又直线，1经过点，
，
；
，将点B向右平移到y轴上，得到点，
点B关于原点的对称点为；

函数图象经过点A，，
函数的图象经过点D，，此时双曲线也经过点B，
由图象可知：k的取值范围是或．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数、反比例函数解析式数形结合结合思想的运用是解题的关键．
25. 如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）在中，，，得到，由C为边的中点，求得，根据切线的性质得到结论；
（2）连接OD，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定和性质得到结论．
【小问1详解】
证明：在中，，，
，
为边中点，
，
，
是的半径，
与相切；
【小问2详解】
解：连接，
与相切于点D，与相切，
，
在与中，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
26. 如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成．
（1）苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）判断苗圃的面积能否达到，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）不能达到；理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用及求二次函数的最值．
（1）过点D作于E，求得，，利用梯形的面积公式列式计算即可求解；
（2）利用二次函数的性质求得当时，，苗圃的面积不能达到．
【小问1详解】
解：由题意，，
∴，
∴
过点D作于E，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
∴，
∴，，
∴
，
由题意，，且，
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：判断：苗圃的面积不能达到．
理由如下：
，
∵，且，
∴当时，，
∵，
∴苗圃的面积不能达到．
27. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点．
（1）当，时，求的值；
（2）若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）0 （2）或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质；
（1）由求出，，再根据得到，代入计算即可；
（2）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论．
【小问1详解】
解：当时，，，
将代入得，，即
∵，
∴，
将代入得，，
解得：或，
∵点A、B不重合，
∴；
【小问2详解】
解：∵的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大，
∴，
∵，
∴，都在对称轴右侧，
∵对于，都有，
∴，解得，此时；
当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大，
∴，
∵，
∴
∴，都在对称轴的左侧，
∵对于，都有，
∴，解得，此时；
综上所述，的取值范围为或．
28. 已知，将绕点逆时针旋转到，使得点的对应点落在直线上．
（1）①依题意补全图1；
②若垂直，直接写出的值；
（2）如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）（1）①作图见解答；②
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）①根据题意补全图形即可；
②由旋转得，，旋转角度为，得出，则，结合垂直，求得，即可解答；
（2）连接并延长，交延长线于点，连接，先证明，再证明，得，，利用平行得，则可得，则，再证明是的中位线，即可得．
【小问1详解】
解：①补全图形如图，
②由旋转得，，旋转角度为，
∴，
∴，
∵垂直，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，连接并延长，交延长线于点，连接，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由旋转得，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
即：．每日接待游客人数
（单位：万人）
游玩环境
评价
好
一般
拥挤
严重拥挤
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
累计工作时长最多件数（时）
种类（件）
1
2
3
4
5
6
7
8
甲类件
30
55
80
100
115
125
135
145
乙类件
10
20
30
40
50
60
70
80