新高考数学二轮复习多选题高频考点讲练专题05 三角函数的图像与性质（2份，原卷版+解析版）

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二、考点梳理
1.,,的图象与性质
注：(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan x无单调递减区间，y＝tan x在整个定义域内不单调．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．
【常用结论】
（1）对称与周期
①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f (1,4)个周期．
②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
（2）函数具有奇、偶性的充要条件
①函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
②函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
③函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
④函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
2.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
三、专项突破训练
1．（山西省太原市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）计算下列各式，结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.
【详解】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确；
对于选项B，，故选项B错误；
对于选项C，，故选项C错误；
对于选项D，，故选项D正确.
故选：AD.
2．（山东省东营市胜利第一中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期是
C．，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】利用同角三角函数的基本关系和三角恒等变换公式即可一一求解.
【详解】，
选项A正确；
，
故，选项B错误；
，
，选项C错误；
，
，选项D正确，
故选：AD．
3．（海南省2023届高三上学期期末学业水平诊断数学试题）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用二倍角公式和平方和关系可得到，，即可判断每个选项.
【详解】，
因为，所以，，
所以，，，
故选：AC
4．（2023年普通高等学校招生全国统一考试�新高考仿真模拟卷数学（四））若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题意可得：，然后利用正切函数的性质即可求解.
【详解】因为，则，
所以，解得：，
当时，；当时，；当时，；
故选：.
5．（河南省信阳市2022-2023学年高一下学期阶段性测试（开学考）数学试题）下列计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可.
【详解】，A正确；
，B正确；
，C错误；
由，
可得
，D正确；
故选：ABD
6．（浙江省绍兴市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数B．函数的最小值为
C．函数的最大值为D．函数在上有两个极值点
【答案】AC
【分析】根据奇偶性直接判断A；结合求解最值判断BC；利用导数，结合三角函数性质求解极值点个数判断D.
【详解】解：对于A选项，函数定义域为，，所以函数为偶函数，故正确；
对于B选项，，
所以，当时，函数有最小值，故错误；
对于C选项，由于，故当时，函数有最大值，故正确；
对于D选项，当，，令得或，
令在上的两个实数根为，则，
所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，在处取得极大值，在和处取得极小值，
所以，函数在上有三个极值点，故错误.故选：AC
7．（辽宁省辽阳市2023届高考一模数学试题）黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比）.在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．是方程的一个实根
【答案】ABD
【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、余弦定理、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设，则，解得，则，
则，A正确.
，，B正确.
依题意可设，则，
则由余弦定理得，
过B作，垂足为E，
则在上的投影向量为，C错误.
由图可知，
则
，
设，则，整理得，D正确.
故选：ABD
8．（江苏省南京市、盐城市2023届高三上学期期末调研反馈数学练习题）已知均为第二象限角，且，则可能存在（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用二倍角公式进行化简变形，得到的关系，然后分类讨论即可.
【详解】
因为均为第二象限角，所以，
所以，，化简得：，即.
若，则，得 在第二象限，故A错；
若，则，因为为第二象限角，
所以，,
但是由为第二象限角，可得，为第三、四象限角或终边在轴负半轴，显然角的位置不同，不可能相等，所以C错误；
由终边相同的角的概念结合上面的计算易知，可以出现，的情况，故B，D正确.
故选：BD.
9．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的，纵坐标不变
【答案】AC
【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，纵坐标不变，
再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，A正确；
将的图象向右平移个单位长度，得到，
再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，C正确.故选：AC
10．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线问石平移个单位长度，得到曲线
B．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线
D．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
【答案】ACD
【分析】直接利用三角函数的图象的变换逐一判断每一个选项得解.
【详解】对于选项，把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为，故A正确；
对于选项，把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为，故B错误；
对于选项，把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数解析式为，故C正确；
对于选项，把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为，故D正确.
故选：ACD
11．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
B．的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
C．的图象关于直线对称
D．和图象关于点中心对称
【答案】AC
【分析】根据辅助角公式化简，即可根据图象平移变换的性质判断AB，代入验证的方式即可判断CD.
【详解】.
A，B选项：将函数的图象向左平移个单位长度得到
,即的图象，将的图象向右平移个单位长度得到，不是的图象，所以A正确，B错误；
C选项：因为，所以函数的图象关于直线对称，所以C正确；
D选项：因为，
所以函数的图象不关于点中心对称，所以D错误.
故选:AC
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（ ）．
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的最小正周期为2
C．函数的单调增区间为，
D．函数的图象没有对称轴
【答案】ABD
【分析】根据图象的平移变换可得，根据正切函数的对称中心可求A，根据周期公式可求B，利用正切函数的单调性可求C，根据正切函数不是轴对称图形可求D.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数，
然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数，
令解得，当时，
所以函数的图象关于点成中心对称，A正确；
函数的最小正周期为，B正确；
令解得，
所以函数的单调增区间为，，C错误；
正切函数不是轴对称图形，D正确，
故选:ABD.
13．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校考期中）将函数的图像沿轴向左平移个单位后得到一个奇函数的图像，则的一个可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】先求出图像向左平移的解析式，再根据题意可得，从而可求出的值
【详解】解：函数的图像沿轴向左平移个单位后的解析式为
，
因为为奇函数，
所以，得，
当时，，当时，，
故选：AD
14．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则的取值可以为（ ）
A．1B．6C．7D．8
【答案】AC
【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解.
【详解】由题意可知：
，因为为奇函数，
所以，
则，因为时，；
时，，所以A、C正确．
故选：AC.
15．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值.
【详解】由题意，得：，图象向左平移个单位，
∴关于轴对称，
∴，即，
故当时，；当时，；
故选：BD
16．（2022秋·浙江杭州·高三学军中学校考期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】化简解析式，根据函数图象变换的知识，求得的可能取值.
【详解】
，
向左平移得，
与函数的图象重合，故，
（1）若，
符合.
（2）若，
符合.故选：AC
17．（2023·吉林长春·校联考一模）函数（其中A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的最小正周期为π
C．
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数的图象
【答案】AB
【分析】对A、B、C：根据函数图象求，即可分析判断；对D：根据图象变换结合诱导公式求解析式，即可得结果.
【详解】对A：由图可知：，即，
∵，则，
故的值域为，A正确；
对B：由图可得：，则，B正确；
对C：∵，且，可得，
∴，
由图可得：的图象过点，
即，则，
且，可得，
可得，则，C错误；
对D：可得：，
将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到，
D错误；
故选：AB.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个单位，所得函数为偶函数
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据“五点法”求出函数解析式，再由正弦型函数的对称性，图象的平移，诱导公式求解即可.
【详解】由图象知，故A正确；
又，即，，可得，则，
又，故，得：.
又，则有，综上，.
，即不是对称点，故错误；
，显然不是偶函数，C错误；
，则，
又，D正确.
故选：AD.
19．（2023春·湖南·高三统考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
【答案】ABD
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图象性质逐项判断作答.
【详解】依题意，，A正确；
函数的最小正周期为，B正确；
由，，得，，则函数的对称轴方程为，，C错误；
函数的图象向右平移，得，
因此函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，D正确．
故选：ABD
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象
【答案】AB
【分析】由周期求出，由图像的对称性求出的值，可得的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论.
【详解】已知函数（，），
其图像相邻对称中轴间的距离为，故最小正周期, ，
点是其中一个对称中心， 有，
,，由，∴，
可以求得.最小正周期，故选项正确；
由于，所以是函数图象的一条对称轴方程，故选项正确；
时，正弦曲线的先增后减，故选项错误；
将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到，选项D错误.
故选：.
21．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．在上单调递减
C．的解集为
D．方程在上有且只有两个相异实根
【答案】AC
【分析】根据三角函数的图象变换及三角函数的性质，求出函数的解析式，再利用三角函数的性质即可求解.
【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得，
因为的最小正周期为，
所以，解得，即，
因为为偶函数，
所以，解得，
又因为，
当时，可得，
所以，
.
对于A，当时，，所以的图象关于对称，故A正确；
对于B，因为，所以，所以在上先单调递减后单调递增，故B错误；
对于C，由，得，即，解得，
所以的解集为，故C正确；
对于D，由，得，即，
所以即
所以，解得，
又因为，
所以，
所以方程在上有3个相异实根，故D错误.
故选：AC.
22．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知函数，且与的值域相同；将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．为偶函数
C．的单调增区间为D．与的图象在区间内有2个交点
【答案】AC
【分析】根据函数求导公式以及三角函数的值域，可得A的正误；
根据三角函数图象变换，整理函数解析式，结合三角函数的奇偶性，可得B的正误，
利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得C的正误；
利用五点作图法作图，可得D的正误.
【详解】由，则，由，则，故A正确；
由题意，可得，故B错误；
由，令，解得，故C正确；
由题意，作图如下：
则与的图象在区间内有3个交点，故D错误.
故选：AC
23．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递增
B．若，则
C．函数的图象可以由向右平移个单位得到
D．若函数在上恰有两个极大值点，则
【答案】BD
【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.
【详解】令，则，即的单调增区间为，则在不单调，故选项错误；
令，则或，即或，
由，则或，，即或，故选项正确；
向右平移个单位变为故选项错误；
对于，，
在上恰有两个极大值点，即，
即，故选项正确.故选：
24．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知函数的图象经过点，且f（x）在[0，2π]上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．f（x）在（0，2π）上有2或3个极大值点
C．将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，可得y＝sinωx的图象
D．存在ω，使f（x）在区间上为单调函数
【答案】BD
【分析】本题通过整体换元思想求出的范围，再根据其范围结合图像平移知识等逐一判断即可.
【详解】对于A，因为函数的图象经过点，所以，，，因为f（x）在[0，2π]上，，
f（x）在[0，2π]上有且仅有4个零点，所以，解得，故选项A错误；
对于B，当时，，描绘其图像
可以得出f（x）在（0，2π）上有2个极大值，
当时，，描绘其图像
可以得出f（x）在（0，2π）上有3个极大值，故选项B正确；
对于C，将的图象向右平移个单位长度，可得的图象，故选项C错误；
对于D，当时，，，此时在，为单调函数，所以存在ω，使f（x）在区间上为单调函数，故选项D正确；故选：BD.
25．（2023·湖南郴州·统考三模）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上有且只有5个极值点
C．在上单调递增
D．的取值范围是
【答案】CD
【分析】根据图象平移得，结合零点个数及正弦型函数的性质可得，进而判断极值点个数判断B、D；代入法判断A，整体法判断C.
【详解】由题设，在上，若，
所以在上有5个零点，则，解得，D正确；
在上，由上分析知：极值点个数可能为5或6个，B错误；
且，故不为0，A错误；
在上，则，故递增，即在上递增，C正确.
故选：CD
26．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为
D．是的导函数，令．则在上的值域为
【答案】ACD
【分析】由，由正弦函数性质判断A；写出图象平移后的解析式，根据余弦函数性质判断B；由且，结合正弦函数的零点情况求参数范围判断C；首先求导，再应用倍角正弦及诱导公式得，即可判断D.
【详解】由，
A：由，故必有一个最大值和一个最小值，则为半个周期长度，正确；
B：由题意的图象关于y轴对称，错误；
C：，在上有且仅有4个零点，
结合正弦函数的性质知：，则，正确；
D：由题意，则在上，故值域为，正确.故选：ACD
一、典例分析
二、考点梳理
三、专项突破训练
（1）三角恒等变换（★）
（2）三角函数的图像变换（★★★）
（3）三角函数的图像与性质（★★★）
四、答案速览
性质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当时，．
当时，；当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性
,奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.