新高考数学二轮复习多选题高频考点讲练专题07 数列（2份，原卷版+解析版）

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二、考点梳理
1.与的关系
若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
2.累加法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
3.累乘法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
4.等差数列
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
（3）等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
①通项公式的推广：．
②在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
③，…仍是等差数列，公差为．
④，…也成等差数列，公差为．
⑤在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．
5.等比数列
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
（3）等比数列的性质
①若，则．
②若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
③在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
④公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
三、专项突破训练
题型一：等差数列
1．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
【答案】ACD
【分析】利用数列的单调性可判断A选项；求出数列的通项公式，解方程，可判断B选项；解不等式，可判断C选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断D选项.
【详解】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，.
对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对；
对于B选项，令，可得，B错；
对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对；
对于D选项，，则，
所以，，
故数列为等差数列，D对.
故选：ACD.
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的前10项和为
【答案】BCD
【分析】先根据题干条件算出等差数列的通项公式，然后逐一分析每个选项即可.
【详解】根据等差中项，，解得，，解得，设等差数列的公差为，则，于是等差数列的通项公式为：，故A选项错误；
根据等差数列前n项和公式，，B选项正确；
根据B选项可知，，最大值在取得，故C选项正确；
，故的前10项和为：，D选项正确.
故选：BCD
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）数列是等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值B．若，则时最大
C．若，使为负值的n值有3个D．若，则
【答案】AD
【分析】根据题意利用等差数列前n项和公式，可判断A；利用结合，解得公差，判断数列的单调性，可判断B；求得等差数列前n项和公式，解不等式可判断C；求出数列公差和首项，即可求得，判断D.
【详解】由数列是等差数列，，有，即，
由等差数列性质得为定值，选项A正确．
当时，，公差，则数列是递减数列，
则，，故时，最大，选项B错误．
当时，由于，则，，
令得，又，
故为负值的值有2个，选项C错误．
当时，设公差为d，即，结合,即,
解得，，故，选项D正确．
故选：AD
4．（2023·全国·校联考模拟预测）设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由等差数列中，，化简为，判断选项A，B，由等差数列的求和公式结合下标和性质，判断选项C和D．
【详解】，则，因为，所以，A正确，B错误；
，因为，所以在中，最小，C和D都正确；
故选：ACD
5．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递减数列B．
C．当时，D．
【答案】ABC
【分析】由得，即可判断AB；结合等差数列前n项求和公式与等差数列的性质即可判断CD.
【详解】A：由，得，
，，则数列为递减数列，故A正确；
B：由选项A的分析可知，，故B正确；
C：因为，所以，
因为，所以，
因为数列是递减数列，所以当时，，故C正确；
D：，故D错误；
故选：ABC.
6．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知递增的正整数列的前n项和为．以下条件能得出为等差数列的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】用与的关系，计算判断A和B；按的奇偶求出，再结合递增的正整数列推出判断C；按给定条件求出数列的通项，再结合递增的正整数列求出判断D作答.
【详解】对于A，时，，当时，满足，
而且时，，则为等差数列，A正确；
对于B，，当时，不满足上式，
得，因此数列不是等差数列，B错误；
对于C，，即为隔项等差数列，且是递增的正整数列，
则，，，且，有，即，
于是，，因此，
所以为等差数列，C正确；
对于D，，，
，，即数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，
从到中间恰有项：，它们是递增的正整数，
而到中间有个递增的正整数，无法一一对应，
若，则会出现如：2，4，5，8，9，10，11，16…的数列，非等差数列，D错误.
故选：AC
7．（2023·全国·模拟预测）已知首项为的等差数列的前项和为，公差为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据等差数列的通项公式，结合前项和的性质逐一判断即可.
【详解】A选项：因为，，所以，，所以，解得，故A正确.
B选项：因为，所以，故B错误.
C选项：由，，得，故C正确.
D选项：因为，所以，故D错误.
故选：AC
8．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，为的前n项和，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在实数m，使为无穷多项的常数列
D．存在常数m，，使，，成等差数列
【答案】BD
【分析】A.易得是周期为3的周期数列求解判断；B.根据是周期为3的周期数列求解判断；C.设为常数列，有求解判断；D.根据根据是周期为3的周期数列求解判断.
【详解】解：当时，，，，，…，∴是周期为3的周期数列，∴，故A错误．
由A可知，，∴，故B正确．
若为常数列，则必有，故，即，此方程无解，故C错误．
当时，由A可知，故D正确．
故选：BD．
9．（2023春·河北·高三统考阶段练习）数列满足是的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列
B．
C．是数列的最大项
D．对于两个正整数的最大值为10
【答案】ACD
【分析】A选项，利用条件得到是公差为-2的等差数列，求出，再用累加法得到的通项公式，得到，证明出结论；BC选项，由得到的最大值，判断BC选项；D选项，由的性质得到时取得最大值.
【详解】A选项，由，整理得，
故是公差为-2的等差数列，首项，故，
由此可得，
累加得，，
由此可得，，故，
是等差数列，故A正确；
BC选项，因为，
故当时，取得最大值，是数列的最大项，故B不正确，C正确；
D选项，对于两个正整数，，
由……，
故时，取得最大值，最大值为10，故D正确.
故选：ACD.
10．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）设正整数，其中.记，当时，，则（ ）
A．
B．
C．数列为等差数列
D．
【答案】ACD
【分析】分别表示出，，即可求解A，再求出可求解B，利用等差数列的定义可求解C，根据可求解D.
【详解】当时，，又，所以，同理，所以，…，，所以，，
所以，所以，A项正确；，，B项错误；
当时，，
当时，
，
当时也符合，所以，所以，
所以，
所以数列为等差数列，C项正确；，
，D项正确.
故选:ACD.
题型二：等比数列
11．（2023·全国·高三专题练习）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ）
A．B．当时，
C．D．
【答案】BC
【分析】根据等比数列的定义和性质可判断求解A,B,C，利用基本不等式可确定D.
【详解】A选项：因为，所以，所以A不正确；
B选项：因为，，则，
所以，所以，所以B正确；
C选项：因为，所以，
所以，所以C正确；
D选项：，
当且仅当时，等号成立．所以D不正确．
故选:BC.
12．（2023·浙江温州·统考二模）是等比数列的前项和，若存在，使得，则（ ）
A．B．是数列的公比
C．D．可能为常数列
【答案】ABC
【分析】设等比数列的公比为，当时，，结合题意可判断D选项；当时，结合等比数列的前项和公式可得，结合题意可得，进而判断A、B、C选项.
【详解】设等比数列的公比为.
当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错；
当，
所以，
即，，所以ABC对．
故选：ABC.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的等差数列，且，则（ ）
A．B．
C．数列是等差数列D．数列是等比数列
【答案】AC
【分析】根据等差数列性质可以判断A正确；利用等差数列通项公式可以判断B错误；根据等差数列的概念可判断C，根据特例可判断D.
【详解】设等差数列的公差为，
对A，因为是等差数列，且，
则由等差数列性质可得，故A正确；
对B，，
则，故B错误；
对C，因为，则数列是等差数列，故C正确；
对D，如数列为，显然数列不是等比数列，故D错误;
故选：AC.
14．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）等比数列的公比为，前项和为，且，以下结论正确的是（ ）
A．是等比数列
B．数列，，成等比数列
C．若，则是递增数列
D．若，则是递增数列
【答案】AB
【分析】先将 的通项公式写出，再按照有关定义逐项分析.
【详解】由题意， ， ；
对于A， ，所以是首项为 ，公比为 的等比数列，正确；
对于B，因为， ，
，
， ,它们成等比数列，正确；
对于C，若 ， ，则 ，为递减数列，错误；
对于D， ，若 ， ，则 ， ，是递减数列，错误.
故选：AB.
15．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲手中的概率为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】结合全概率公式和递推数列等知识求得正确答案.
【详解】表示第次传球后球在甲手中的概率，所以，A选项正确.
表示第次传球后球在甲手中的概率，则，B选项错误.
，即，C选项正确.
，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
，D选项错误.
故选：AC
16．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是( )
A．数列是等差数列B．数列是等差数列
C．数列是等比数列D．数列是等差数列
【答案】ABC
【分析】设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，求出，利用等差数列的定义可判断选项；利用等比数列定义可判断C选项．
【详解】设等差数列的公差为，则，∴．
对于A选项，，∴为等差数列，A正确；
对于B选项，令，
∴，
故数列是等差数列，B正确；
设等比数列的公比为，
对于C选项，令，则，故数列是等比数列，C正确；
对于D选项，∵不一定为常数，故数列不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
17．（2023·湖南常德·统考一模）如图，有一列曲线，，……，，……，且1是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边数为，周长为，围成的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{}是首项为3，公比为4的等比数列
B．数列{}是首项为3，公比为的等比数列
C．数列是首项为，公比为的等比数列
D．当n无限增大时，趋近于定值
【答案】ABD
【分析】结合图形规律得，即可判断A,根据第个图形的边长为 ，即可判断B，根据，利用累加法及等比数列的前项和公式求出．
【详解】是在的基础上，每条边新增加3条新的边，故，又,所以数列{}是首项为3，公比为4的等比数列,且 故A正确，
第个图形的边长为 ，所以，故数列{}是首项为3，公比为的等比数列，故B正确，
因为是在的每条边上再生出一个小正三角形，于是
，
同理，对是在的每条边上再生出一个小正三角形，
于是的面积等于的面积加上个新增小三角形的面积，
即，
于是可以利用累加的方法得到
将上面式子累加得
当时， ，故C错误，D正确，
故选：ABD
18．（2023春·湖南·高三统考阶段练习）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．
【答案】AC
【分析】通过分析得，根据，则得，结合，可得，再逐步分析，即可判断各选项.
【详解】对A，若，因为，所以，，则与矛盾，
若，因为，所以，，则，与矛盾，
所以，故A正确；
对B，，，，即，
因为，则，所以，故B错误；
对C，由，故C正确；
对D，，故D错误．
故选：AC.
19．（2023·山东青岛·统考一模）1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是( )
A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则
B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列
C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)
D．若最初有个桃子,则必有的倍数
【答案】ABD
【分析】设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，则,若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则,根据与关系即可判断A的正误;由A构造等比数列即可判断B的正误;根据B求出数列的通项公式,将代入求解即可判断C;根据题意,,又为等比数列,判断D的正误.
【详解】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则
,
若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则
,
所以,
即,故A正确;
由A，,
则,
即是等比数列,
若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则,
所以是以为公比的等比数列,故B正确.
由B知,是等比数列,
所以,
即,
若最初有个桃子,即,
所以,故C错误;
根据题意:,
因为以为公比的等比数列,
所以,
化简得,
因为,且为正整数,
所以,
即必有的倍数,故D正确.
故选:ABD.
20．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知数列满足，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A，B证明数列为单调递减数列即得解；对于选项C，证明随着减小，从而增大，即得解；对于选项D，证明，即得解.
【详解】解：对于选项A、B，因为，，所以，
设，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，则，
所以，
当时，，，
当时，，，
因为，所以这种情况不存在，
则数列满足当时，，为单调递减数列，
故A选项正确，B选项错误；
对于选项C，
令，设
则，
所以函数单调递减，所以随着减小，从而增大，
所以，即，所以C选项正确，
对于选项D，由前面得，
下面证明，只需证明，
令，则，所以，
令，则，
成立，则
所以
所以D选项正确；
故选：ACD.
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数、不等式与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
题型三：数列的递推关系
21．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列
B．
C．当时，
D．当或时，取得最大值
【答案】BCD
【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断每个选项的正误.
【详解】当时，，
又，所以，
则是递减的等差数列，故A错误；
，故B正确；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，
而是正整数，且或距离对称轴一样远，
所以当或时，取得最大值，故D正确.
故选：BCD.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足,,则（ ）
A．B．
C．数列为递增数列D．数列为递减数列
【答案】BC
【分析】先利用累乘法求得数列的通项公式，再依次判断各选项即可.
【详解】因为数列满足，，，
则当时，，，……，，
所有的式子相乘得，即，当 时也符合通项，
故，数列为递增数列，
故选：BC
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．是单调递增数列D．
【答案】AC
【分析】由已知得出，可判断A选项的正误；利用等比数列的定义可判断B选项的正误；利用数列的单调性可判断C选项的正误；利用作差法可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由得，故，A正确；
对于B选项，将，两式相减得，
即，又令，得，
，所以从第二项开始成等比数列，公比为，
故时，，即，所以，，
故B选项错误；
对于C选项，因为.当时，，
当时，.
所以，，令，
则时，，
即，而，所以数列单调递增，C选项正确；
对于D选项，当时，，
显然成立，故恒成立，D选项错误.
故选：AC.
24．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，
大衍数列为，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．当n为偶数时，
【答案】BCD
【分析】根据所给数列，总结猜想通项公式，进而用通项公式求解A，利用裂项相消可求B，直接求和可求C，根据归纳所得通项公式可求D.
【详解】由题可得，当为偶数时，，当为奇数时，，
所以，A错误，
为奇数且时，，
所以，
B正确；
对于C，，C正确；
对于D，当n为偶数时，，D正确，
故选:BCD.
25．（2022秋·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）设数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为等比数列
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据，结合等比数列的定义与通项公式逐项分析判断.
【详解】∵，则，即，
∴数列是以首项，公比的等比数列，则，
故A、B正确；
又∵，
显然不符合上式，则，
故C错误，D正确；
故选：ABD.
26．（2023·全国·模拟预测）设正项数列的前项和为．若，，，则（ ）
A．
B．
C．当且为偶数时，
D．
【答案】ABC
【分析】通过已知条件及赋值法可判断选项A，通过递推关系构造等比数列从而推出的通项公式，即可判断选项B，
由选项B得出的通项公式利用放缩法即可判断选项C，由选项C的结论结合放缩法可判断选项D．
【详解】数列的递推关系，等比数列的通项公式和前项和公式
当时，有，由于，则，故选项A正确；
由于，，则，即，令，
则，，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，，所以，故选项B正确；
（另解：因为，，所以，
当为奇数时，，所以；
当为偶数时，，所以．
综上，，故选项B正确）
当且为偶数时，
，故选项C正确；
由选项C知，当且为偶数时，，
则，即，又，所以，故选项D错误．
故选:ABC．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．数列不是等差数列
C．，，成等差数列D．，，成等差数列
【答案】BCD
【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A，B，分别计算出，，和，，，结合等差数列的定义判断选项C，D.
【详解】，
时，，
时，，即，.
，因此数列不是单调递增数列，故A错误；
又时，不满足，
数列不是等差数列，故B正确；
，，，
因此，，成等差数列，故C正确；
，，
．
成等差数列，故D正确.
故选：BCD.
28．（2023·北京·高三专题练习）数列各项均为正数，其前n项和，且满足，下列四个结论中正确的是（ ）
A．为等比数列B．为递减数列
C．中存在大于3的项D．中存在小于的项
【答案】BD
【分析】对于A：假设数列为等比数列，设其公比为q，求出，不合乎题意；对于B：求出，得到，即可证明；对于C：先求出，由数列为递减数列，即可判断；对于D：利用单调性证明.
【详解】对于A：假设数列为等比数列，设其公比为q，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，故A错；
对于B：当时，.因为，所以，所以，可得，所以数列为递减数列，故B对；
对于C：由题意可知，，当时，，可得；由B知数列为递减数列，故C错；
对于D：因为数列各项均为正数，其前n项和，所以随着n的增大，递增.
而恒成立，所以递减，且，
所以中必存在小于的项
故选：BD.
29．（2023·山西·统考模拟预测）已知数列的前项和为，，下列结论正确的是（ ）
A．B．为等差数列
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据数列递推式，令，求得，于是当时，可得，平方后即可判断A；结合以上分析可推出，判断B；由此可求得，继而求得，判断D；设，判断其单调性，可推出，结合，即可判断C.
【详解】当时，
当时，，
平方可得，，选项A正确；
则时， ，
所以,
故是首项为 ，公差为的等差数列，选项B正确；
则，
，
所以，选项D错误；
记，
则，
故，为递增数列，
所以，即， 选项C正确，
故选：ABC
30．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由数列的递推公式可判断A,B；利用累加法计算可判断选项C,D.
【详解】对A，由知，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
其中，第一二项相等，不满足递增性，故A错误；
对B，根据递推公式，得，故B正确；
对C，，
，
，
……，
，
∴，即，故C正确；
对D，由递推式，得，，…，，
累加得，
∴，
∴，
即，故D正确；
故选：BCD．
一、典例分析
二、考点梳理
三、专项突破训练
（1）等差数列（★★★）
（2）等比数列（★★★）
（3）数列的递推关系（★★★）
四、答案速览