数学选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时巩固练习

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目标素养
概念梳理
1.两个计数原理
2.两个计数原理的区别
【概念辨析】
1：分类加法计数原理推广到一般情况，如果完成一件事有 n 类不同方案，在第 1 类方案中有 m1种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，…，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法。
2：分步乘法计数原理推广到一般情况，如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，…，做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
3：在分类加法计数原理中，每一类中的每一种方法能独立完成这件事。
4：分类加法计数原理每一类中的方法可以完成一件事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情。
正误辨析
判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.两个计数原理可以分别推广到含有“n 类方案”和“n 个步骤”的情况. ( √ )
【解析】类似于数的加法和乘法.
2.从甲地经丙地到乙地是分步问题. ( √ )
【解析】分甲地到丙地,丙地到乙地两步.
3. 从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题.( √ )
【解析】按取得的书是哪一种进行分类.
4. 在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同. ( × )
【解析】在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法是不同的,若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种方法.
初试身手
1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
【解析】分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法。所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法。故选B。
2. 设M，N是两个非空集合，定义M⊗N＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2}，则P⊗Q中元素的个数是( )
A．4 B．9
C．6 D．3
【解析】因为P＝{0,1,2}，Q＝{1,2}，所以a有3种选法，b有2种选法，根据分步乘法计数原理，可得P⊗Q中元素的个数为3×2＝6。故选C。
3. 用1,2,3这三个数字能写出________个没有重复数字的两位偶数。
【解析】能组成12,32两个没有重复数字的两位偶数。
4. 一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法。
【解析】共有6×8＝48种不同取法。
5. 5名学生从4项体育项目中选择参赛，(1)若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？
(2)若5名学生争夺4项比赛的冠军(每一名学生参赛项目不限)，则冠军获得者有几种不同情况(没有并列冠军)?
【解析】(1)每名学生都可从4项体育项目中任选1项，有4种选法，故5名学生不同的参赛方法有4×4×4×4×4＝45(种)。
(2)每个冠军皆有可能被5名学生中任1名获得，则冠军获得者的不同情况有5×5×5×5＝54(种)。
题型讲解
探究（一）分类加法计数原理
【典例1】某校高三共有三个班，各班人数如下表：
(1)从三个班中任选 1 名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
【解析】(1)从三个班中选 1 名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案：
第 1 类，从高三(1)班中选出 1 名学生，有 50 种不同的选法；
第 2 类，从高三(2)班中选出 1 名学生，有 60 种不同的选法；
第 3 类，从高三(3)班中选出 1 名学生，有 55 种不同的选法。
根据分类加法计数原理，从三个班中选 1 名学生担任学生会主席，共有 50＋60＋55＝165(种)不同的选法。
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中选 1 名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：
第 1 类，从高三(1)班男生中选出 1 名学生，有 30 种不同的选法；
第 2 类，从高三(2)班男生中选出 1 名学生，有 30 种不同的选法；
第 3 类，从高三(3)班女生中选出 1 名学生，有 20 种不同的选法。
根据分类加法计数原理，从高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中选 1 名学生担任学生会生活部部长，共有 30＋30＋20＝80(种)不同的选法。
【补充训练1】某校高三有三个班,分别有学生 50 人、50 人、52 人.从中选一人担任学生会主席,共有________种不同选法. ( )
A.100 B.102 C.152 D.50
【解析】这名学生会主席可能是一班学生,可能是二班学生,也可能是三班学生.依分类加法计数原理,共有 50+50+52=152 种不同选法.故选C。
【补充训练2】如图所示，在 A，B 间有四个焊接点 1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，那么电路不通时焊接点脱落的有 情况。
【解析】按照可能脱落的个数分类讨论．
若脱落 1 个，则有(1)，(4)，共 2 种情况；
若脱落 2 个，则有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 种情况；
若脱落 3 个，则有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共 4 种情况；
若脱落 4 个，则有(1,2,3,4)，共 1 种情况；
综上，共有 2＋6＋4＋1＝13(种)情况．
【补充训练3】（多选）家住 A 地的小明同学准备周末去 B 地旅游，从 A 地到 B 地一天中动车组有 30 个班次，特快列车有 20 个班次，汽车有 40 个不同班次，则下列说法错误的有哪些( )
A. 小明乘坐这些交通工具去 B 地的不同方法有240 种
B. 小明乘坐这些交通工具去 B 地的不同方法有180 种
C. 小明乘坐这些交通工具去 B 地的不同方法有120 种
D. 小明乘坐这些交通工具去 B 地的不同方法有90 种
【解析】根据分类加法计数原理，共有 30＋20＋40＝90(种)不同方法.故选AB C。
【方法总结】 (1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”.
(2)利用分类加法计数原理计数时的解题流程.
探究（二）分步乘法计数原理
【典例2】已知集合 M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点。
(1)点 P 可以表示平面上多少个不同的点？
(2)点 P 可以表示平面上第二象限内多少个不同的点？
【解析】(1)确定平面上的点 P(a，b)，可分两步完成。第 1 步，确定 a 的值，有 6 种不同的结果；第 2 步，确定 b 的值，也有 6 种不同的结果。由分步乘法计数原理，得点 P 可以表示平面上不同点的个数为 6×6＝ 36。
(2)确定平面上第二象限内的点 P(a，b)，可分两步完成。第 1 步，确定 a 的值，由于 a0，因此有 2 种不同的结果。由分步乘法计数原理，得点 P 可以表示平面上第二象限内不同的点的个数为 3×2＝6。
【补充训练1】已知某乒乓球队有男队员 9 人、女队员 8 人,现从男、女队员中各选 1 人去参加比赛,则共有多少种不同的选法（ ）
A. 17 B.36 C. 72 D. 144
【解析】先从男队员中选 1 人,有 9 种不同的选法,再从女队员中选 1 人,有 8 种不同的选法.由分步乘法计数原理得,共有 9×8=72(种)不同的选法.故选C。
【补充训练2】人们习惯把最后一位是 6 的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位“吉祥数”(首位不能是零)共有_____个．
【解析】第一步，确定千位，除去 0 和 6，有 8 种不同的选法；第二步，确定百位，除去 6 和千位数字外，有 8 种不同的选法；第三步，确定十位，除去 6 和千位、百位上的数字外，有 7 种不同的选法．故共有 8×8×7＝448(个)不同的“吉祥数”．
【补充训练3】（多选）用 0，1，2，3，4，5，6 这七个数字组成两位数，下列说法正确的有（ ）
A. 最好用分类加法计数原理 B. 最好用分步乘法计数原理
C. 可以组成 42 个两位数 D. 可以组成 49个两位数
【解析】显然该问题用分步乘法计数原理解决比较容易；第一步，确定十位数字，1，2，3，4，5，6 六个数字都可以选择，有 6 种方法； 第二步，确定个位数字，0，1，2，3，4，5，6 七个数字都可以选择，有 7 种选法. 根据分步乘法计数原理，不同的两位数共有 6×7＝42(个). 可以组成 42 个两位数.故选BC。
【方法总结】利用乘法计数原理解题的注意点及解题思路
1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.
2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；
(2)计数：求出每一步中的方法数；
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.
探究（三）两个计数原理的简单应用
【典例3】现有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画。
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
【解析】(1)分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选，有 2 种不同的选法；从水彩画中选， 有 7 种不同的选法。根据分类加法计数原理，共有 5＋2＋7＝14(种)不同的选法。
(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有 5 种，2 种，7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法。
(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有 5×2＝10(种)不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5×7＝35(种)不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2×7＝14(种)不同的选法。所以共有 10＋35＋14＝59(种)不同的选法。
【补充训练1】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数。如 22,121,3 443,94 249 等。显然 2 位回文数有 9 个：11,22,33，…，99；3 位回文数有 90 个 101,111,121，…，191,202，…，999。则 5 位回文数有多少个（ ）
A.600 B. 700 C. 800 D. 900
【解析】第一步，选左边第一个数字和右边第一个数字相同，有 9 种选法；第二步，选左边第二个数字和右边第二个数字相同，有 10 种选法；第三步，选左边第三个数字就是右边第三个数字，有 10 种选法，故 5 位回文数有 9×10×10＝900 个。故选D。
【补充训练2】集合 A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，从 A，B 中各取 1 个元素，作为点 P(x，y)的坐标，可以得到第一象限 个不同的点。
【解析】可分为两类：A 中元素为 x，B 中元素为 y 或 A 中元素为 y，B 中元素为 x，则共得到 3×4＋4×3＝24(个)不同的点，第一象限内的点，即 x，y 均为正数，所以只能取 A，B 中的正数，共有 2×2＋2×2＝8(个) 不同的点。
【补充训练3】（多选）现有高一学生 50 人，高二学生 42 人，高三学生 30 人，组成冬令营，下列说法正确的有（ ）
A. 若从中选 1 人作总负责人，共有122种不同的选法
B. 若从中选 1 人作总负责人，共有63 000种不同的选法
C. 若每年级各选 1 名负责人，共有122种不同的选法
D. 若每年级各选 1 名负责人，共有63 000种不同的选法
【解析】从高一选 1 人作总负责人有 50 种选法；从高二选 1 人作总负责人有 42 种选法；从高三选 1 人作总负责人有 30 种选法. 由分类加法计数原理，共有 50＋42＋30＝122(种)选法; 从高一选 1 名负责人有 50 种选法；
从高二选 1 名负责人有 42 种选法；从高三选 1 名负责人有 30 种选法.
由分步乘法计数原理，可知共有 50×42×30＝63 000(种)选法。故选AD。
【方法总结】1.在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏.
2.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.
随堂演练
1. 现有3名老师、8名男生和5名女生共16人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为( )
A.39 B.24
C.15 D.16
【解析】先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39.故选A。
2. 给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )
A.8本 B.9本
C.12本 D.18本
【解析】需分三步完成：第一步，首字符有2种编法；
第二步，第二个字符有3种编法；
第三步，第三个字符有3种编法，
故由分步乘法计数原理知不同编号的书共有2×3×3＝18(本).故选D。
3. 5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A.10种 B.20种
C.25种 D.32种
【解析】每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32(种).故选D。
4. 已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40 B.16
C.13 D.10
【解析】分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；
第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.
根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面.
5. （多选）已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数用式子表示为( )
A.4＋4＋4＋4＋4＋4B.4＋4＋4＋4
C.3×4 D.3×4×2
【解析】法一 完成表示不同的圆这件事有三步：
第1步，确定a有3种不同的选取方法；
第2步，确定b有4种不同的选取方法；
第3步，确定r有2种不同的选取方法.
由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个).
法二 由分类加法计数原理得，当a＝1时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4＝8(个)；
当a＝2时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4＝8(个)；
当a＝3时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4＝8(个)，
故方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有4＋4＋4＋4＋4＋4＝24(个).故选AD。
跟踪测试
一、单选题
1. 现有 3 名老师、8 名男生和 5 名女生共 16 人.若需 1 名老师和 1 名学生参加评选会议，则不同的选法种数为( )
A.39 B.24 C.15 D.16
【解析】先从 3 名老师中任选 1 名，有 3 种选法，再从 13 名学生中任选 1 名，有 13 种选法。由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为 3×13＝39.故选A。
2. 已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40 B.16 C.13 D.10
【解析】分两类情况讨论：第一类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；
第二类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面.
根据分类加法计数原理知，共可以确定 8＋5＝13(个)不同的平面。
3.给一些书编号，准备用 3 个字符，其中首字符用 A，B，后两个字符用 a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )
A.8 本 B.9 本 C.12 本 D.18 本
【解析】需分三步完成：第一步，首字符有 2 种编法；
第二步，第二个字符有 3 种编法；
第三步，第三个字符有 3 种编法，
故由分步乘法计数原理知不同编号的书共有 2×3×3＝18(本)。
4. 从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个
A．98B．56C．84D．49
【解析】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.
当公差为时，数列可以是：，共1种情况.
总的情况是.
又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，
所以这样的等差数列共有个.
故选：A
5. 某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（ ）种
A．165B．286C．990D．1716
【解析】第一步：10个节目空出11个位置，加入1个新来的节目，所以加入一个新节目有11种方法，
第二步：从排好的11个节目空出的12个位置中，加入第2个新节目，有12种方法，
第三步：从排好的12个节目空出的13个位置中，加入第3个新节目，有13种方法，
所以由分步乘法计数原理得，加入3个新节目后的节目单的排法有（种）。故选：D。
6. 将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种B．12种C．9种D．6种
【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：
当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； ^
当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
因此，不同的放球方法有12种，故选B.
二、多选题
7. 一个袋子里有 10 张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有
12 张不同的中国联通手机卡。甲使用的是移动定制手机(仅使用一张移动卡的手机)，乙使用的是联通定制手机(仅使用一张联通卡的手机)，丙使用的是双网双待手机(可以使用一张移动卡和一张联通卡的手机)，则下列叙述正确的是( )
A．甲从装移动手机卡的袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有 10 种不同的取法
B．乙从装联通手机卡的袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有 12 种不同的取法
C．丙从两个袋子得到一张移动卡和一张联通卡供自己使用，共有 22 种不同的取法
D．丙从两个袋子得到一张移动卡和一张联通卡供自己使用，共有 120 种不同的取法
【解析】甲从装移动手机卡的袋子中取一张移动卡，共有 10 种取
法，所以 A 正确；乙从装联通手机卡的袋子中取一张联通卡，共有12 种取法，所以 B 正确；丙从两个袋子得到一张移动卡和一张联通卡，分两步：第 1 步，从装移动手机卡的袋子中取一张移动卡，共有10 种取法，第 2 步，从装联通手机卡的袋子中取一张联通卡，共有12 种取法。根据分步乘法计数原理，共有 10×12＝120(种)取法，所以 D 正确，C 错误。故选 ABD。
8. 已知集合 A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程的说法正确的是( )
A．可表示 3 个不同的圆
B．可表示 6 个不同的椭圆
C．可表示 3 个不同的双曲线
D．表示焦点位于 x 轴上的椭圆有 3 个
【解析】当时，方程表示圆，故有 3 个，选项 A 正确；当且时，方程表示椭圆，焦点在 x，y 轴上的椭圆分别有 3 个，故有 3×2＝6(个)，选项 B 正确；若椭圆的焦点在 x 轴上，则，当时，；当时，,即所求的椭圆共有 2＋1＝3(个)，选项 D 正确；当时，方程表示双曲线，故有 3×1＋1×3＝6(个)，选项 C 错误。故选 ABD。
三、填空题
9. 某小区有 4 个门，规定只能从主门进，从任一个门出，则共有不同走法________种．
【解析】由分步乘法计数原理得，共有 1×4＝4(种)不同走法。
10．用 1,2,3 这 3 个数字组成的没有重复数字的整数有________个
【解析】分三类：
第一类为一位整数，有 3 个；
第二类为两位整数，有 12,13,21,23,31,32，共 6 个；
第三类为三位整数，有 123,132,213,231,312,321，共 6 个．
∴组成的没有重复数字的整数有 3＋6＋6＝15(个)。
11. 计划在 4 个体育馆举办排球、篮球、足球 3 个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 项的安排方案共有多少种
【解析】把 3 个项目分配到 4 个体育馆，所有方案共有 4×4×4＝64(种)，其中，3 个项目被分配到同一体育馆进行有 4 种方法，故满足条件的分配方案有 64－4＝60(种)。
四、解答题
12. 现有 3 名医生、5 名护士、2 名麻醉师。
(1)从中选派 1 名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
(2)从这些人中选出 1 名医生、1 名护士和 1 名麻醉师组成 1 个医疗小组，有多少种不同的选法？
【解析】(1)分三类：第 1 类，选出的是医生，有 3 种选法；第 2 类，选出的是护士，有 5 种选法；第 3 类，选出的是麻醉师，有 2 种选法。根据分类加法计数原理，共有 3＋5＋2＝10(种)选法。
(2)分三步：第 1 步，选 1 名医生，有 3 种选法；第 2 步，选 1
名护士，有 5 种选法；第 3 步，选 1 名麻醉师，有 2 种选法。根据分步乘法计数原理知，共有 3×5×2＝30(种)选法。
13. 有一项活动，需从 3 位教师、8 名男同学和 5 名女同学中选人参加．
(1)若只需 1 人参加，则有多少种不同的选法？
(2)若需教师、男同学、女同学各 1 人参加，则有多少种不同的选法？
【解析】(1)选 1 人，可分 3 类：
第 1 类，从教师中选 1 人，有 3 种不同的选法；
第 2 类，从男同学中选 1 人，有 8 种不同的选法；
第 3 类，从女同学中选 1 人，有 5 种不同的选法．
共有 3＋8＋5＝16(种)不同的选法。
(2)选教师、男同学、女同学各 1 人，分 3 步进行：
第 1 步，选教师，有 3 种不同的选法；
第 2 步，选男同学，有 8 种不同的选法；
第 3 步，选女同学，有 5 种不同的选法．
共有 3×8×5＝120(种)不同的选法。
14. 某电视台连续播放 6 个广告，其中有 3 个不同的商业广告、2 个不同的宣传广告、1 个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，2 个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？(用 1，2，3，4，5，6 表示广告的播放顺序)
【解析】完成这件事有三类方法.
第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是 2，4，6，分 6 步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36(种)不同的播放方式；
第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是 1，4，6，分 6 步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36(种)不同的播放方式；
第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是 1，3，6，同样分 6 步完成这件事，共有 3×3×2×2×1×1＝36(种)不同的播放方式.
由分类加法计数原理得：6 个广告不同的播放方式有 36＋36＋36＝108(种)。
课程目标
核心素养
1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理;
2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.
3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
1.数学抽象：两个计数原理
2.逻辑推理：准确运用两个计数原理解决问题
3.数学运算：运用计数原理解决计数问题
4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法。这一原理被称为分类加法计数原理。
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同的方法。这一原理被称为分步乘法计数原理。
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是相互依存的，并且既不能重
复，也不能遗漏
区别二
每类方法都能独立完成这件事。它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就能完成
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任
何一步也不可，只有各步骤都完成了才能
完成这件事
男生人数
女生人数
总人数
高三(1)班
30
20
50
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55