难点08 与圆有关的位置关系常考题型（8大热考题型）-2025年中考数学一轮复习知识清单（全国通用）

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题型一：点与圆的位置关系
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上B．点在内C．点在外D．无法确定
【变式1-1】（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-2】（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
【变式1-3】（2021·青海·中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知的半径是4，，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定
2．（2024·云南怒江·一模）平面内，的半径为10，若点P在内，则的长可以是（ ）
A．8B．10C．D．
3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外B．点在上
C．点在内D．无法确定
4．（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（ ）
A．甲图四点共圆，乙图四点共圆B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆
C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，，，．若在中点M处建一个网络基站，该基站的覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ）
A．X，Y，ZB．X，ZC．Y，ZD．Y
6．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在网格（每个小正方形的边长均为）中选取个格点（格线的交点称为格点），如果以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有个在圆内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．
(1)过，，三点的圆的圆心坐标为______；
(2)请通过计算判断点与的位置关系．
题型二：确定圆的条件
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·江西·中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）

A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式2-1】（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【中考模拟即学即练】
1．（2023·山东青岛·二模）已知：如图，点P是的边BC上的一点．
求作：，使点O在的角平分线上，且经过B、P两点．
2．（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2023·贵州贵阳·二模）下列四个命题，正确的是（ ）
①经过三点一定可以画一个圆；
②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；
③三角形的外心一定在三角形的外部；
④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等．
A．①②B．①④C．②④D．③④
4．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
5．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小．
(1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹）
(2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径．
6．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹）
题型三：三角形的外接圆问题
【中考母题学方法】
【典例1】（2020·河北·中考真题）有一题目：“已知；点为ΔABC的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画ΔABC以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
【变式3-1】（2022·江苏常州·中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ．
【变式3-2】（2023·内蒙古·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）

A．8B．4C．3.5D．3
【变式3-3】（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．

【变式3-4】（2022·广西玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
【变式3-5】（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
【中考模拟即学即练】
1．（2023·河北秦皇岛·一模）在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（ ）
甲：；
乙：；
丙：的外接圆半径为4
A．只有甲B．只有乙C．只有丙D．乙和丙
2．（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，则下列结论中错误的是( )
A．B．
C．D．点是的外心
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，，是的中点，点是的外接圆圆心，则（ ）

A．B．C．D．

4．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（ ）

A．B．C．D．
5．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．

6．（2023·广东湛江·模拟预测）如图，已知．
(1)用直尺和圆规作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，求的半径．
7．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，已知点为线段外一点，连接，，且，，求面积的最大值；
（2）如图2，某城市有一个废旧机车工厂，现在想利用这个废旧机车工厂改造为机车主题公园，其中为原有机车的铁轨，长，计划保留放置各种年代的机车头作为网红留念打卡地标．两侧为面积相等的现代与未来两个主题活动区，要求，点为的中点，按照设计要求，求出符合条件的的最大面积．
题型四：直线与圆的位置关系
【中考母题学方法】
【典例1】（2022·四川凉山·中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
【变式5-1】（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
【变式5-2】（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．包含
2．（2024·湖北·模拟预测）的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．相切D．以上都不是
3．（2023·湖北孝感·一模）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．相交D．相切或相交
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（ ）

A．B．
C．D．
5．（2024·上海嘉定·三模）设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个.
6．（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，．
(1)求的长；
(2)如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由．
题型五：切线的证明
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由．
【变式5-1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：是的切线．
【变式5-2】（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
【变式5-3】（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
【变式5-4】（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
【中考模拟即学即练】
1．（2025·广西柳州·一模）如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，求的长．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，点是的中点，．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，是的弦，C是延长线上一点，过点B作交于E，交于F，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，求的长．
4．（2023·北京东城·模拟预测）已知：如图，在中，是AB边上一点，圆过、、三点，．
(1)求证：直线是圆的切线；
(2)若，，圆的半径为，求的长．
5．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
6．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在矩形中，点O在对角线上，且．
(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，，求的半径．
7．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，为的直径，点E，F是上异于A，B的两点，延长相交于点D，在的延长线上取点C，连接，已知，，
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，，求的长．
8．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，．为射线上一动点，以为直径的交于点，过点作于点．
(1)若为的中点，求证：为的切线．
(2)若，请直接写出与线段的交点个数及相应的的取值范围．
9．（2024·四川眉山·二模）如图，与相交于，两点，经过圆心，点是的优弧上任意一点（不与点，重合）．连结，，，；
(1)证明：；
(2)请说明当点在什么位置时，直线与相切；
(3)请说明当的度数为何值时，与的半径相等．
题型六：切线的性质
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【变式6-1】（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
【变式6-4】（2024·浙江·中考真题）如图，AB是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为

【变式6-5】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的圆心在x轴上，点在上，若与y轴相切，则的半径为 ．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，BC与相切于点，AB交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东·模拟预测）如图，，为的两条弦，过点的切线交延长线于点，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点A和点B是切点，交于点E，交于点若，则的半径长为（ ）
A．米B．2米C．米D．3米
56．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，已知正方形纸片的边长为，的半径为，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使恰好与相切于点（与除切点外无重叠部分），延长交边于点，则的长是 ．

6．（2024·湖南·模拟预测）如图，为的直径，点为圆上一点，连接，过点作的切线，连接交于点，交于点，连接，且平分．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
7．（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，为边上一点，过点，且与相切于点，连接，，．
(1)求证：为直角三角形．
(2)延长与交于点，连接，若，求的长．
8．（2024·安徽六安·模拟预测）已知四边形是的内接四边形，是的直径，是四边形的一个外角，平分．
(1)如图1，，求的度数；
(2)如图2，过点D作的切线交的延长线于点F，，，求的长．
题型七：三角形内切圆问题
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·四川攀枝花·中考真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
71．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

【典例2】（2023·山东聊城·中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【变式7-1】（2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ）
A．2r，B．0，C．2r，D．0，
【变式7-2】（2023·山东·中考真题）在中，，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．内切圆的半径D．当时，是直角三角形
【变式7-3】．（2024·湖南永州·中考真题）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（ ）

A．B．C．D．一定经过的内心
【变式7-4】．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．

【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线DE剪下一块三角形，则的周长为（ ）
A．9B．12C．15D．18
2．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（ ）
A．2B．3C．D．
3．（2023·河北邢台·二模）如图，将折叠，使边落在AB边上，展开后得到折痕AD，再将折叠，使边落在AB边上，展开后得到折痕，若AD与的交点为，则点是（ ）
A．的外心B．的内心
C．的重心D．的中心
4．（2024·宁夏银川·二模）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ；
6．（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明：
(1)所在的直线经过点I；
(2)点D是的中点．
7．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
题型八：切线长定理
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2023·内蒙古通辽·中考真题）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为 ．

【变式8-2】（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F．
(1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________；
(2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．
求证：是的切线．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·陕西西安·模拟预测）一根截面是圆形的钢管放在形架内，其横截面如图所示，形架的两边与相切，钢管的半径是，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ．
3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，与四边形各边都相切，切点分别为，，，，四边形的周长为，则 ．
4．（2024·河南商丘·一模）如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为 ．
5．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，点是上的一点，射线，，．与相切时，连接，求的长．
6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的值．
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知D为上一点，点C在直径的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)过点B作的切线交的延长线于点E，若，，求的长．
8．（2024·贵州黔东南·一模）如图，，分别切于点A，B，点C是劣弧上一动点（不与点A，B重合），过点C作的切线，分别交，于点D，E，连接，，．分别交，于点M，N．

(1)求证：的周长不随点C的运动而变化．
(2)求证：．
(3)当，时，求的长．
题型一：点与圆的位置关系
题型二： \l "题型二：确定圆的条件" 确定圆的条件
题型三： \l "题型三：三角形的外接圆问题" 三角形的外接圆问题
题型四： \l "题型四：直线与圆的位置关系" 直线与圆的位置关系
题型五： \l "题型五：切线的证明" 切线的证明
题型六： \l "题型六：切线的性质" 切线的性质
题型七： \l "题型七：三角形内切圆问题" 三角形内切圆问题
题型八： \l "题型八：切线长定理" 切线长定理