人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法导学案

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一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n=n0(n0∈N∗)时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n=k(k∈N∗,k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。用框图可表示：
② 两个步骤之间的关系
记P(n)是一个关于正整数n的命题。我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1)P(n0)为真；（2）若P(k)(k∈N∗ ,k≥,n0)为真，则P(k+1)也为真。
结论：P(n)为真。
在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当n=n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k+1)也为真。
完成这两步，就有P(n0)真，P(n0+1)真······P(k)真，P(k+1)真······。从而完成证明。
概念辨析
（1）数学归纳法的两个步骤分别是数学归纳法的两个必要条件，二者缺一不可。步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可。如果缺少步骤（2），无法对当n取n0以后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）就没有意义了。
（2）步骤（2）中，证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用归纳假设，即必须用上“假设当n=k(k∈N∗,k≥n0)时命题成立”这一条件。
（3）在步骤（2）的证明中，“当n=k(k∈N∗k≥n0)时命题成立”这一假设起着已知条件的作用，“当n=k+1时命题也成立”则是求证的目标，在这一步中，首先要凑出假设里给出的形式，再进一步凑出当n=k+1时的结论。
（4）用数学归纳法可证明有关正整数n的问题，但并不是所有的有关正整数n的问题都可以用数学归纳法来证明。例如用数学归纳法证明(1+1n)n(n∈N∗)的单调性就难以实现。
例1-1（2022·辽宁高二期中）用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12n−11)时，第一步应验证不等式（ ）。
A..1+12