2024年广东省深圳市中考二模数学试题(含解析)

这是一份2024年广东省深圳市中考二模数学试题(含解析)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分100分，考试时长90分钟
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个手机应用图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．第届亚运会将于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积平方米，将数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图．直线，将一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直线，上，如果．那么度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
5．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点O是的外接圆的圆心，若，则为（ ）
A．B．C．D．
7．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是 ：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．甲、乙两地相距，一辆汽车上午从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线B．
C．点在线段的垂直平分线上D．
10．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝ ．
12．一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
15．如图，在矩形中，是的中点，过点E作的垂线交于点，对角线分别交，于点，，当时，则的值为 ．
三、解答题（本题共7小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．计算：
(1)
(2)．
17．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
(1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；
(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
(3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
(4)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
18．“母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束元、元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的倍，若消费者用元购买百合的数量比用元购买康乃馨的数量少束．
(1)求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；
(2)花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低元，康乃馨的售价每束降低元．求花店应如何进货才能获得最大利润．（假设购进的两种鲜花全部销售完）
19．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．
(1)转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
(2)将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
20．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，与相交于点E．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
21．如图，是的直径，点在上，于点，交于点，过点作，分别交，的延长线于点，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
22．（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选A．
【点睛】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．
2．A
【分析】A既是轴对称图形，又是中心对称图形;
B是轴对称图形，不是中心对称图形;
C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;
D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;
【详解】请在此输入详解！
3．C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．
4．C
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，过E作EF∥直线a，
则EF∥直线b，
∴∠3=∠1，∠4=∠2=20°，
∴∠1=45°∠2=25°；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行内错角相等是解题的关键．
5．D
【分析】根据对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴得：，，
故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B不符合题意；
∵，，∴，故选项C不符合题意；
∵，，∴，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的概念，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．B
【分析】根据圆周角定理即可得到的度数．
【详解】解：∵点O是的外接圆的圆心，
∴、同对着，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．A
【分析】设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据两种酒共用30钱，共2斗的等量关系列出方程组即可．
【详解】设醇酒为x斗，行酒为y斗，由题意，则有
，
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出相应的方程是解题的关键．
8．B
【分析】根据路程、速度和时间的关系结合函数图像解答即可.
【详解】解：∵汽车匀速行驶了一半的路程后将速度提高了，甲、乙两地相距，
∴汽车1小时行驶了60km，汽车的速度为，
∴1小时以后的速度为，
汽车行驶完后面的路程需要的时间为分钟，
故该车到达乙地的时间是当天上午；
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的图像，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键.
9．D
【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
10．C
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
11．2
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【详解】解：∵，m﹣n＝﹣3，
∴﹣3（m+n）＝﹣6，
∴m+n＝2，
故答案为：2
【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
12．6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
故答案为：6
【点睛】本题考查了概率公式，根据概率，运用公式建立起分式方程是解题的关键．
13．##
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键．
14．
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．
15．##
【分析】设，，根据矩形性质和勾股定理可得，再证得，可得，，进而可得，再由，可得，得出，联立得，求得，再证得，即可求得答案．
【详解】解：四边形是矩形，设，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查含特殊角三角函数值的混合运算和整式的乘法．
（1）先计算负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值和二次根式，再进行加减计算；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
（2）
17．(1)40；36；见解析
(2)70；70；66.5
(3)280
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；
（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
（2）由条形统计图可知众数为：70
由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
（3）等级达到优秀的人数大约有（人）；
（4）画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，众数，平均数，树状图等知识点，解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比．
18．(1)康乃馨的售价为每束元，百合的售价为每束元；
(2)购进百合束，购进康乃馨束．
【分析】本题考查了分式方程，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
（）设康乃馨的售价为每束元，根据消费者用元购买百合的数量比用元购买康乃馨的数量少束得：，解方程并检验可得答案；
（）设购进百合束，根据使用不超过元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，有，，设花店获得利润为元，可得：，再根据一次函数性质可得答案；
【详解】（1）设康乃馨的售价为每束元，则百合的售价为每束元；
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：康乃馨的售价为每束元，百合的售价为每束元；
（2）设购进百合束，则购进康乃馨束，
∵使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，
∴，
解得，
设花店获得利润为元，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值（元），
此时，
答：购进百合束，购进康乃馨束．
19．(1)
(2)减少了
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）如图2中，作于O．解直角三角形求出即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
【详解】（1）如图2中，作于O．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
∴
，
∴下降高度：
．
20．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据切线的性质得，再由，得，由平行线的性质得，又因为等腰三角形得，等量代换即可得证；
（2）在中，由勾股定理即可求半径．
【详解】（1）证明：连接OD；
∵与BC相切于点D
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的平分线；
（2）解：∵
∴在中；
∵，
，
设圆的半径为r，
∴
解得，
∴圆的半径为3
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理，熟悉角平分线的定义与性质是解决本题的关键．
21．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由是的直径，点在上，可得，证明，则，进而结论得证；
（2）证明四边形是矩形，则，由，可得，即，设，则，勾股定理得，，由，可得，解得，则，进而可得结果．
【详解】（1）证明：∵是的直径，点在上，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
设，则，
由勾股定理得，，
∵，
∴，解得，
∴，
∴的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，正切，矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【分析】（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证；
（2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．
【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
23．(1)
(2)或或
(3)存在，或或或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标；
（3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）设直线AB的解析式为：，
∵直线AB经过，，
∴，
∴，
∴直线AB的表达式为．
∵轴，可设，，其中．
当M在N点上方时，．
解得，（舍去）．
∴．
当M在N点下方时， ．
解得，．
∴，．
综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．
理由如下：
①如图，若AC是四边形的边．
当时，
∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，
∵，，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
∴点与点D重合．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
此时直线的解析式为．
∵直线与平行且过点，
∴直线的解析式为．
∵点是直线与拋物线的交点，
∴．
解得，（舍去）．
∴．当时，四边形是矩形．
∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
②如图，若AC是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．
可得，．
∴．
∴．
∴．
∵点P不与点A，C重合，
∴和．
∴．
∴．
∴如图，满足条件的点P有两个．即，．
当时，四边形是矩形．
∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．
∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．
∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．
综上，满足条件的点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键．