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第1章第05讲 易错易混集训：利用勾股定理求解易错-八年级上册数学（北师大版）讲义
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第05讲 易错易混集训：利用勾股定理求解易错目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc31537" 【典型例题】 PAGEREF _Toc31537 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc15263" 【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】 PAGEREF _Toc15263 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc16673" 【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】 PAGEREF _Toc16673 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc5156" 【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】 PAGEREF _Toc5156 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc2227" 【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】 PAGEREF _Toc2227 \h 10【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是__【答案】7或25【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．【详解】解：直角三角形的两边长分别为3和4，分两种情况：当3、4都为直角边时，第三边长的平方；当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方．故答案为：7或25．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为___．【答案】10或【分析】分两种情况：6和8分别为两直角边；8为斜边，6为直角边；分别利用勾股定理求解即可．【详解】解：当6和8分别为两直角边时，斜边长；当8为斜边，6为直角边时，则另一条直角边长；故答案为：10或．【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题关键．2．（2023春·广东广州·八年级校考期中）已知一个直角三角形的三边长分别为a，b，c．若，，则这个直角三角形的面积为______．【答案】 或【分析】此题有两种情况：当a，b为直角边，此时用面积公式即可求解；当a，c为直角边，用勾股定理求出b，再用面积公式即可求解；【详解】解：当a，b为直角边时， ；当a，c为直角边时，根据勾股定理， ，即 ， 故答案为 或 ．【点睛】本题考查勾股定理，正确分类讨论是解题关键．3．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_____．【答案】或【分析】先根据非负数的性质求出a与b的长，再分两种情况根据勾股定理计算即可．【详解】解：由题意得，，，解得：，，当为直角边时，直角三角形的第三条边长，当为斜边时，直角三角形的第三条边长，故答案为：或．【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．4．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．【答案】5或##或【解析】【分析】分两种情况讨论：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：当为直角边时， 当为斜边时，则为直角边， 故答案为：或【点睛】本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考阶段练习）若在中，，，高，则的长为 _____；【答案】或【分析】根据高的定义可得，进而根据勾股定理分别求得，分类讨论即可求解．【详解】解：如图， 为边上的高，，在中，，在中，，当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，，的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形高的定义，勾股定理，分类讨论解题的关键．【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）的高长为3，且，，则的周长是___________．【答案】或【分析】分情况利用勾股定理求出各边的长，继而根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：如图1： ，，，所以三角形的周长；如图2： ，，，所以三角形的周长；故答案为：或．【点睛】本题考查勾股定理，关键是根据题意画出图形，分情况讨论．2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．【答案】或【解析】【分析】根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．3．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在中，是边上的高，， ，，则的面积为______．【答案】30或18/18或30【分析】分两种情况求解，首先利用勾股定理即可求得的长，再利用三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：分两种情况：（1）如图，当在的内部时，是边上的高，，在中，，在中，，，，（2）如图，当在的外部时，是边上的高，，在中，，在中，，，，故答案为：30或18．【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式，注意分类讨论求得的长是解决本题的关键．4．（2023春·广东广州·八年级广州市天河中学校考期中）如图，在中，，动点从点出发沿射线BC以的速度运动，设运动的时间为，为直角三角形时，则的值_______．【答案】或【分析】当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的值即可．【详解】在中，由勾股定理得：，，由题意得：．，①当为直角时，如图①，点与点重合，，；②当为直角时，如图②，．，，在中，，在中，，即，解得，故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理以及直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分类讨论，否则会出现漏解．【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】例题：如图是一个直角三角形纸片，，BC，AC的长分别为3cm，4cm.现要给它再拼接一个直角三角形纸片，两纸片不重叠且无缝隙，使得拼成的图形是等腰三角形，则拼接成的等腰三角形的周长为________.【答案】18cm或16cm【分析】分BC为重合边和AC为重合边计算即可.【详解】解：由勾股定理，得：（cm），当BC为重合边时，周长为（cm）；当AC为重合边时，周长为（cm）.故答案为18cm或16cm.【点睛】本题考查了勾股定理和图形的剪拼，主要利用了等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题型．【变式训练】1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．【答案】5或8或【解析】【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①当AB＝BP时，如图1，t＝5；②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．故答案为：5或t＝8或t＝．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．2．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．(1)求边的长；(2)当为直角三角形时，求t的值；(3)当为等腰三角形时，求t的值．【答案】(1)3cm(2)3或(3)5或6或【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论；（2）由题意可得：，，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；（3）当为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴．（2）解：当时，点与点重合，∴，即；当时，如下图所示：∴．∵，∴，解得：．综上：当为直角三角形时，或；（3）解：当时，如下图所示：∵，∴，即．当时，如下图所示：∴；当时，如下图所示：则，，在中，，即，解得： ．综上：当为轴对称图形时，或或．【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键．【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）．（杯壁厚度不计）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．【详解】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022秋·山东威海·七年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在外侧距下底处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是______．【答案】15【分析】展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作于E，求出、，根据勾股定理求出SF即可．【详解】解：如图展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作于E，则（），（），在中，由勾股定理得：（），故答案为15．【点睛】本题考查了勾股定理、平面展开-最短路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．2．（2022秋·七年级单元测试）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是、、，一只蚂蚁想从盒底的点爬到盒顶的点，它至少要爬行__________．【答案】【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，再根据勾股定理求出的长，最短者即为正确答案．【详解】解：如图1所示，当沿长方体的高展开时，由勾股定理得，如图2所示，当沿长方体的长展开时，由勾股定理得，∵，∴ ∴蚂蚁爬行的最短路程是．故答案为：．【点睛】此题考查了平面展开—最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．3．（2023春·八年级课时练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上．若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是________米．【答案】【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，过P作于G，连接，∵米，米，∴(米)，∴米，∴（米）．故这只蚂蚁的最短行程应该是米．故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为______（取3）．【答案】15【分析】要使滑行的距离最短，则沿着的线段滑行，先将半圆展开为长方形，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，求出和的长，再根据勾股定理求出的长度即可．【详解】解：将半圆面展开可得，如图所示：∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆∴，∵， ，∴，在中，．故答案为：15．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和两点之间线段最短，解题关键是把U型池的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，再利用勾股定理求解．5．（2023春·八年级课时练习）如图，在一个长米，宽米的长方形草地上放着一根长方形木块，已知该木块的较长边和草地宽平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是多少米？【答案】最短路程是10米【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，∴长为米；宽米．于是最短路径为：米．答：最短路程是10米．【点睛】本题主要考查了勾股定理求最短路径问题，两点之间线段最短，掌握勾股定理是解题的关键．6．（2023春·全国·八年级专题练习）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（2）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（3）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．【分析】（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案；（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案；（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．【详解】（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC1为蚂蚁需要爬行的最短路径长，∵正方体的棱长为5cm，∴AC=10，CC1=5，∴AC1==cm．∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．（2）分两种情况：①如图，当横向展开时：AC=10，CC1=6，∴AC1==cm，②如图，当竖向展开时：AD=11，DC1=5，∴AC1==cm，∵＜，∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．（3）圆柱侧面展开图如图所示：∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm，∴BC=5，AB=5，∴AC==cm，∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．【点睛】本题考查立体图形的侧面展开图及勾股定理，熟记各立体图形的侧面展开图是解题关键．
第05讲 易错易混集训：利用勾股定理求解易错目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc31537" 【典型例题】 PAGEREF _Toc31537 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc15263" 【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】 PAGEREF _Toc15263 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc16673" 【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】 PAGEREF _Toc16673 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc5156" 【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】 PAGEREF _Toc5156 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc2227" 【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】 PAGEREF _Toc2227 \h 10【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是__【答案】7或25【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．【详解】解：直角三角形的两边长分别为3和4，分两种情况：当3、4都为直角边时，第三边长的平方；当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方．故答案为：7或25．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为___．【答案】10或【分析】分两种情况：6和8分别为两直角边；8为斜边，6为直角边；分别利用勾股定理求解即可．【详解】解：当6和8分别为两直角边时，斜边长；当8为斜边，6为直角边时，则另一条直角边长；故答案为：10或．【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题关键．2．（2023春·广东广州·八年级校考期中）已知一个直角三角形的三边长分别为a，b，c．若，，则这个直角三角形的面积为______．【答案】 或【分析】此题有两种情况：当a，b为直角边，此时用面积公式即可求解；当a，c为直角边，用勾股定理求出b，再用面积公式即可求解；【详解】解：当a，b为直角边时， ；当a，c为直角边时，根据勾股定理， ，即 ， 故答案为 或 ．【点睛】本题考查勾股定理，正确分类讨论是解题关键．3．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_____．【答案】或【分析】先根据非负数的性质求出a与b的长，再分两种情况根据勾股定理计算即可．【详解】解：由题意得，，，解得：，，当为直角边时，直角三角形的第三条边长，当为斜边时，直角三角形的第三条边长，故答案为：或．【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．4．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．【答案】5或##或【解析】【分析】分两种情况讨论：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：当为直角边时， 当为斜边时，则为直角边， 故答案为：或【点睛】本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考阶段练习）若在中，，，高，则的长为 _____；【答案】或【分析】根据高的定义可得，进而根据勾股定理分别求得，分类讨论即可求解．【详解】解：如图， 为边上的高，，在中，，在中，，当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，，的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形高的定义，勾股定理，分类讨论解题的关键．【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）的高长为3，且，，则的周长是___________．【答案】或【分析】分情况利用勾股定理求出各边的长，继而根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：如图1： ，，，所以三角形的周长；如图2： ，，，所以三角形的周长；故答案为：或．【点睛】本题考查勾股定理，关键是根据题意画出图形，分情况讨论．2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．【答案】或【解析】【分析】根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．3．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在中，是边上的高，， ，，则的面积为______．【答案】30或18/18或30【分析】分两种情况求解，首先利用勾股定理即可求得的长，再利用三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：分两种情况：（1）如图，当在的内部时，是边上的高，，在中，，在中，，，，（2）如图，当在的外部时，是边上的高，，在中，，在中，，，，故答案为：30或18．【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式，注意分类讨论求得的长是解决本题的关键．4．（2023春·广东广州·八年级广州市天河中学校考期中）如图，在中，，动点从点出发沿射线BC以的速度运动，设运动的时间为，为直角三角形时，则的值_______．【答案】或【分析】当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的值即可．【详解】在中，由勾股定理得：，，由题意得：．，①当为直角时，如图①，点与点重合，，；②当为直角时，如图②，．，，在中，，在中，，即，解得，故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理以及直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分类讨论，否则会出现漏解．【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】例题：如图是一个直角三角形纸片，，BC，AC的长分别为3cm，4cm.现要给它再拼接一个直角三角形纸片，两纸片不重叠且无缝隙，使得拼成的图形是等腰三角形，则拼接成的等腰三角形的周长为________.【答案】18cm或16cm【分析】分BC为重合边和AC为重合边计算即可.【详解】解：由勾股定理，得：（cm），当BC为重合边时，周长为（cm）；当AC为重合边时，周长为（cm）.故答案为18cm或16cm.【点睛】本题考查了勾股定理和图形的剪拼，主要利用了等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题型．【变式训练】1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．【答案】5或8或【解析】【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①当AB＝BP时，如图1，t＝5；②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．故答案为：5或t＝8或t＝．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．2．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．(1)求边的长；(2)当为直角三角形时，求t的值；(3)当为等腰三角形时，求t的值．【答案】(1)3cm(2)3或(3)5或6或【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论；（2）由题意可得：，，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；（3）当为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴．（2）解：当时，点与点重合，∴，即；当时，如下图所示：∴．∵，∴，解得：．综上：当为直角三角形时，或；（3）解：当时，如下图所示：∵，∴，即．当时，如下图所示：∴；当时，如下图所示：则，，在中，，即，解得： ．综上：当为轴对称图形时，或或．【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键．【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）．（杯壁厚度不计）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．【详解】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022秋·山东威海·七年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在外侧距下底处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是______．【答案】15【分析】展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作于E，求出、，根据勾股定理求出SF即可．【详解】解：如图展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作于E，则（），（），在中，由勾股定理得：（），故答案为15．【点睛】本题考查了勾股定理、平面展开-最短路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．2．（2022秋·七年级单元测试）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是、、，一只蚂蚁想从盒底的点爬到盒顶的点，它至少要爬行__________．【答案】【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，再根据勾股定理求出的长，最短者即为正确答案．【详解】解：如图1所示，当沿长方体的高展开时，由勾股定理得，如图2所示，当沿长方体的长展开时，由勾股定理得，∵，∴ ∴蚂蚁爬行的最短路程是．故答案为：．【点睛】此题考查了平面展开—最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．3．（2023春·八年级课时练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上．若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是________米．【答案】【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，过P作于G，连接，∵米，米，∴(米)，∴米，∴（米）．故这只蚂蚁的最短行程应该是米．故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为______（取3）．【答案】15【分析】要使滑行的距离最短，则沿着的线段滑行，先将半圆展开为长方形，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，求出和的长，再根据勾股定理求出的长度即可．【详解】解：将半圆面展开可得，如图所示：∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆∴，∵， ，∴，在中，．故答案为：15．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和两点之间线段最短，解题关键是把U型池的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，再利用勾股定理求解．5．（2023春·八年级课时练习）如图，在一个长米，宽米的长方形草地上放着一根长方形木块，已知该木块的较长边和草地宽平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是多少米？【答案】最短路程是10米【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，∴长为米；宽米．于是最短路径为：米．答：最短路程是10米．【点睛】本题主要考查了勾股定理求最短路径问题，两点之间线段最短，掌握勾股定理是解题的关键．6．（2023春·全国·八年级专题练习）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（2）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（3）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．【分析】（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案；（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案；（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．【详解】（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC1为蚂蚁需要爬行的最短路径长，∵正方体的棱长为5cm，∴AC=10，CC1=5，∴AC1==cm．∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．（2）分两种情况：①如图，当横向展开时：AC=10，CC1=6，∴AC1==cm，②如图，当竖向展开时：AD=11，DC1=5，∴AC1==cm，∵＜，∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．（3）圆柱侧面展开图如图所示：∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm，∴BC=5，AB=5，∴AC==cm，∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．【点睛】本题考查立体图形的侧面展开图及勾股定理，熟记各立体图形的侧面展开图是解题关键．
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