2023-2024学年天津市重点中学数学九年级下学期检测模拟试题

这是一份2023-2024学年天津市重点中学数学九年级下学期检测模拟试题，共19页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知与各边相切于点，，则的半径，已知反比例函数的图象经过点，下列图案中，是中心对称图形的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（1，3）
2．如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（ ）
A．极差是8℃B．众数是28℃C．中位数是24℃D．平均数是26℃
3．已知a、b、c、d是比例线段．a=2、b=3、d=1．那么c等于（ ）
A．9B．4C．1D．12
4．已知与各边相切于点，，则的半径（ ）
A．B．C．D．
5．下面是“育”“才”“水”“井"四个字的甲骨文，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是（ ）
A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④
8．已知反比例函数的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限
9．下列图案中，是中心对称图形的是( )
A．B． C． D．
10．如图，点是矩形的边，上的点，过点作于点，交矩形的边于点，连接．若，，则的长的最小值为( )
A．B．C．D．
11．如图，已知⊙O中，半径 OC 垂直于弦AB，垂足为D，若 OD=3，OA=5，则AB的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
12．如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )
A．4B．2.4C．4.8D．5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．函数y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交点的坐标为_____．
14．关于x的方程2x2－ax＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________．
15．如图，矩形中，，点在边上，且，的延长线与的延长线相交于点，若，则______.
16．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(2，4)，B(3，0)，在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A' 的坐标为__________．
17．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为_____．
18．如图，直线y＝ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b＝0的解是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300，设PQ垂直于AB，且垂足为C．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m， ）
20．（8分）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx-1．其图象如图所示．
⑴a＝ ；b＝ ；
⑵销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
⑶由图象可知，销售单价x在 时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
21．（8分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C
处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长
(≈1.73)．
22．（10分）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为多少cm？
23．（10分）某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资. 已知生产每件产品的成本是40元，在销售过程中发现：当销售单价定为120元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为（元），年销售量为（万件），年获利为（万元）。（年获利＝年销售额—生产成本—投资）
（1）试写出与之间的函数关系式；
（2）请通过计算说明，到第一年年底，当取最大值时，销售单价定为多少？此时公司是盈利了还是亏损了？
24．（10分）已知是关于的一元二次方程的两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
25．（12分）富平因取“富庶太平”之意而得名，是华夏文明重要发祥地之一.某班举行关于“美丽的富平”的演讲活动.小明和小丽都想第一个演讲，于是他们通过做游戏来决定谁第一个来演.讲游戏规则是：在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b、c，(除颜色外其它均相同)，小丽从袋子中摸出一个球，放回后搅匀，小明再从袋子中摸出一个球，若两次摸到的球颜色相同，则小丽获胜，否则小明获胜，请你用树状图或列表的方法分别求出小丽与小明获胜的概率，并说明这个游戏规则对双方公平吗？
26．已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点.
（1）求此抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）若点是轴上方抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连结.设点的横坐标为.
①试用含的代数式表示的长；
②直线能否把分成面积之比为1：2的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由.
（3）如图2，若点也在此抛物线上，问在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．
【详解】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+3是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，3）．
故选：D．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
2、B
【解析】分析：根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．
详解：由图可得，
极差是：30-20=10℃，故选项A错误，
众数是28℃，故选项B正确，
这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误，
平均数是：℃，故选项D错误，
故选B．
点睛：本题考查折线统计图、极差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，能够判断各个选项中结论是否正确．
3、B
【分析】根据比例线段的定义得到a：b=c：d，即2：3=c：1，然后利用比例性质求解即可．
【详解】∵a、b、c、d是比例线段，
∴a：b=c：d，即2：3=c：1，
∴3c=12，解得：c=2．
故选：B．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
4、C
【分析】根据内切圆的性质，得到，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，作BG⊥AC于点G，然后求出BG的长度，利用面积相等即可求出内切圆的半径.
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，作BG⊥AC于点G，
∵是的内切圆，
∴，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，
∴AC=8，AB=7，BC=5，
在Rt△BCG和Rt△ABG中，设CG=x，则AG=，由勾股定理，得：
，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C.
本题考查了三角形内切圆的性质，利用勾股定理解直角三角形，以及利用面积法求线段的长度，解题的关键是掌握三角形内切圆的性质，熟练运用三角形面积相等进行解题.
5、C
【解析】根据中心对称图形与轴对称图形的区别判断即可，轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合,关键抓两点：一是沿某直线折叠,二是两部分互相重合；中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,关键也是抓两点：一是绕某一点旋转,二是与原图形重合．
【详解】解：A.不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
本题考查的知识点是轴对称图形与中心对称图形的判断，熟记二者的区别是解题的关键.
6、A
【详解】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A.
7、B
【分析】根据圆的正多边形性质及圆周角与弦的关系解题即可．
【详解】解：①
∴BC∥AD，故本选项正确；
②∵BC=CD=DE，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，
∴∠BAE=3∠CAD，故本选项正确；
③在△BAC和△EAD中，
BA=AE，BC=DE，∠B=∠E，
∴△BAC≌△EAD(SAS)，故本选项正确；
④∵AB+BC>AC，∴2CD>AC，故本选项错误．
故答案为①②③．
此题考查圆的正多边形性质及圆周角与弦的关系，理解定义是关键．
8、B
【详解】解：将点（m，3m）代入反比例函数得，
k=m•3m=3m2＞0；
故函数在第一、三象限，
故选B．
9、D
【分析】根据中心对称图形的定义逐一进行分析判断即可.
【详解】A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意，
故选D.
本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键.
10、A
【分析】由可得∠APB=90°，根据AB是定长，由定长对定角可知P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点是DP的长为最小值时的位置，用DO减去圆的半径即可得出最小值．
【详解】解：∵，
∴∠APB=90°，
∵AB=6是定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，
取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点是DP的长为最小值时的位置，如图所示：
∵，，
∴，
由勾股定理得：DO=5，
∴，即的长的最小值为2，
故选A．
本题属于综合难题，主要考查了直径所对的角是圆周角的应用：由定弦对定角可得动点的轨迹是圆，发现定弦和定角是解题的关键．
11、D
【解析】利用垂径定理和勾股定理计算．
【详解】根据勾股定理得,
根据垂径定理得AB=2AD=8
故选：D.
考查勾股定理和垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.
12、C
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案．
【详解】连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴
∴
∵AC=6，
∴AO=3，
∴
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是
∴BC⋅AE=24，

故选C.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、（0，3）．
【分析】令x＝0，求出y的值，然后写出与y轴的交点坐标即可．
【详解】解：x＝0时，y＝3，
所以．图象与y轴交点的坐标是（0，3）．
故答案为（0，3）．
本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标，掌握二次函数与一元二次方程的联系是解答本题的关键.
14、．
【详解】试题分析：设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系得到1•m=，解得m=．
考点：根与系数的关系．
15、
【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a的值，再利用tanA即可求解.
【详解】设BC=EC=a,
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△ECF，
∴,即
解得a=（-舍去）
∴tanF==
故答案为：.
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.
16、 (1，2)
【分析】根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，结合题中是在第一象限内进行变换进一步求解即可.
【详解】由题意得：在第一象限内，以原点为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A' 的坐标为A(2×，4×)，即(1，2).
故答案为：(1，2).
本题主要考查了直角坐标系中位似图形的变换，熟练掌握相关方法是解题关键.
17、1
【解析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠B＝60°，AC＝1，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝60°，AC＝1，
∴BC＝，
∵AB⊥CD，
∴CE＝BC•sin60°＝＝2，
∴CD＝2CE＝1．
故答案为1．
本题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD＝90°是关键
18、x＝﹣1
【分析】所求方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图像与x轴交点横坐标，根据已知条件中点B即可确定．
【详解】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（﹣1，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程之间的关系是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）∠BPQ=30°；（2）树PQ的高度约为15.8m.
【分析】(1）根据题意题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，在Rt△PBC中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数；
（2）设CQ=x，在Rt△QBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC=x；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°，由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.
【详解】（1）依题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，
在Rt△PBC中，
∵∠PBC=60°，∠PCB=90°，
∴∠BPQ=30°；
（2）设CQ=x，
在Rt△QBC中，
∵∠QBC=30°，∠QCB=90°，
∴BQ=2x，BC=x，
又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，
∴∠PBQ=30°，
由（1）知∠BPQ=30°，
∴PQ=BQ=2x，
∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，
又∵∠A=45°，
∴AC=PC，
即3x=10+x，
解得：x=，
∴PQ=2x=≈15.8（m），
答：树PQ的高度约为15.8m.
本题考查了解直角三角形的应用，涉及到三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等，准确识图是解题的关键.
20、（1）-1，20；（2）当x=10时，该商品的销售利润最大，最大利润是25元；（3）7≤x≤13
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用配方法求出二次函数最值即可；
（3）根据题意令y=16，解方程可得x的值，结合图象可知x的范围．
【详解】解：（1）y=ax2+bx-1图象过点（5，0）、（7，16），
∴
解得：
故答案为-1，20
⑵∵
∴当x=10时，该商品的销售利润最大，最大利润是25元．
⑶根据题意，当y=16时，得：-x2+20x-1=16，
解得：x1=7，x2=13，
即销售单价7≤x≤13时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数图象是解题关键．
21、隧道AB的长约为635m.
【分析】首先过点C作CO⊥AB，根据Rt△AOC求出OA的长度，根据Rt△CBO求出OB的长度，然后进行计算.
【详解】如图，过点C作CO⊥直线AB，垂足为O，则CO=1500m
∵BC∥OB
∴∠DCA=∠CAO=60°，∠DCB=∠CBO=45°
∴在Rt△CAO 中，OA==1500×=500m
在Rt△CBO 中，OB=1500×tan45°=1500m
∴AB=1500－500≈1500－865=635(m)
答：隧道AB的长约为635m．
考点：锐角三角函数的应用.
22、4.8cm
【分析】连接AP，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠A＝90°，可知四边形AEPF为矩形，则AP＝EF，当AP的值最小时，EF的值最小，利用垂线段最短得到AP⊥BC时，AP的值最小，然后利用面积法计算此时AP的长即可．
【详解】解：连接AP，
∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
当AP⊥BC时，EF的值最小，
∵，
∴ ．
解得AP＝4.8cm．
∴EF的最小值是4.8cm．
此题考查了直角三角形的判定及性质、矩形的判定与性质．关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．利用矩形对角线线段对线段进行转换求解是解题关键．
23、（1）；（2）当销售单价为180元，年获利最大，并且第一年年底公司亏损了，还差40万元就可收回全部投资．
【分析】（1）销售单价为x元，先用x表示出年销售量，再利用每件产品销售利润×年销售量=年获利列出函数解答；
（2）把（1）中所得的二次函数，利用配方法得到顶点式，然后进行判断，即可得到答案.
【详解】解：（1）由题意知，当销售单价定为元时，年销售量减少万件，
∴，
∴与之间的函数关系式是：.
由题意得：
，
∴与之间的函数关系是：.
（2）∵，
∵，
∴当时，取最大值，为，
∴当销售单价为180元，年获利最大，并且第一年年底公司还差40万元就可收回全部投资；
∴到第一年年底公司亏了40万元.
此题考查了二次函数的性质，二次函数的应用问题，配方法的运用，解题的关键是熟练掌握题意，正确找到题目的数量关系，列出关系式.
24、（1）；（2）.
【分析】（1）由方程有两个实数根可知，代入方程的系数可求出m的取值范围.
（2）将等式左边展开，根据根与系数的关系，，代入系数解方程可求出m，再根据m的取值范围舍去不符合题意的值即可.
【详解】解：（1）方程有两个实数根


（2）由根与系数的关系，得：
，
本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记公式是解题的关键.
25、小丽为，小军为，这个游戏不公平，见解析
【分析】画出树状图，得出总情况数及两次模到的球颜色相同和不同的情况数，即可得小丽与小明获胜的概率，根据概率即可得游戏是否公平.
【详解】根据题意两图如下：
共有种等情况数，其中两次模到的球颜色相同的情况数有种，不同的有种，
小丽获胜的概率是
小军获胜的概率是，所以这个游戏不公平.
本题考查游戏公平性的判断，判断游戏的公平性要计算每个参与者获胜的概率，概率相等则游戏公平，否则游戏不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
26、（1），顶点坐标为：；（2）①；②能，理由见解析，点的坐标为；（3）存在，点Q的坐标为：或.
【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，然后把一般式转化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）①先利用待定系数法求出直线的函数表达式，再设出点D、E的坐标，然后分点D在y轴右侧和y轴左侧利用或列式化简即可；
②根据题意容易判断：点D在y轴左侧时，不存在这样的点；当点D在y轴右侧时，分或两种情况，设出E、F坐标后，列出方程求解即可；
（3）先求得点M、N的坐标，然后连接CM，过点N作NG⊥CM交CM的延长线于点G，即可判断∠MCN=45°，则点C即为符合题意的一个点Q，所以另一种情况的点Q应为过点C、M、N的⊙H与y轴的交点，然后根据圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出CQ的长，进而可得结果.
【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点，
∴设抛物线的表达式为：，
把点代入并求得：，
∴抛物线的表达式为：，
即，∴抛物线的顶点坐标为：；
（2）①设直线的表达式为：，则，解得：，
∴直线的表达式为：，
设，则，
当时，∴，
当时，，
综上：，
②由题意知：当时，不存在这样的点；
当时，或，
∵，∴，
∴，解得（舍去），∴，
或，解得（舍去），（舍去），
综上，直线能把分成面积之比为1：2的两部分，且点的坐标为；
（3）∵点在抛物线上，∴，∴，
连接MC，如图，∵C（0，6），M（1，6）∴MC⊥y轴，过点N作NG⊥CM交CM的延长线于点G，∵N（2，4），∴CG=NG=2，∴△CNG是等腰直角三角形，∴∠MCN=45°，则点C即为符合题意的一个点Q，∴另一种情况的点Q应为过点C、M、N的⊙H与y轴的交点，连接HN，
∵，∴MN=，CM=1，
∵，∴∠MHN=90°，则半径MH=NH=，
∵∠MCQ=90°，∴MQ是直径，且，∴，
∵OC=6，∴OQ=3，∴Q（0，3）；
综上，在轴上存在点，使，且点Q的坐标为：或.
本题是二次函数综合题，综合考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、函数图象上点的坐标特征、三角形的面积问题、一元二次方程的求解、圆周角定理及其推论、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，属于试卷的压轴题，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键，熟知函数图象上点的坐标特征、正确进行分类是解（2）题的关键，将所求点Q的坐标转化为圆的问题、灵活应用数形结合的思想是解（3）题的关键.