2024年天津市重点中学数学九年级下学期4月模拟考试试题

这是一份2024年天津市重点中学数学九年级下学期4月模拟考试试题，共19页。试卷主要包含了方程x，已知a≠0，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列命题是真命题的是( )
A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等
D．三角形外心是三条角平分线的交点
2．一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有个（ ）
A．45B．48C．50D．55
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA＝B．tanA＝C．csB＝D．tanB＝
4．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．，，三点在同一直线上
D．
5．方程x（x﹣1）＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
6．已知a≠0，下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a3÷a2＝aD．（a2）3＝a5
7．已知锐角α，且sinα=cs38°，则α=（ ）
A．38°B．62°C．52°D．72°
8．如图，将一边长AB为4的矩形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，若EF＝2，则矩形的面积为（ ）
A．32B．28C．30D．36
9．在△ABC中，∠C=90°，∠B =30°，则cs A的值是（ ）
A． B． C． D．1
10．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知x=-1是关于x的方程2ax2+x－a2=0的一个根，则a的值是（ ）
A．1B．－1C．0D．无法确定
12．下列各点在反比例函数y=-图象上的是( )
A．(3,2)B．(2,3)C．(-3,-2)D．( - ,2 )
二、填空题（每题4分，共24分）
13．为了对1000件某品牌衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格衬衣的频率稳定在常数0.98附近，由此可估计这1000件中不合格的衬衣约为__________件．
14．如图，在中，，点是边的中点，，则的值为___________．
15．如图，中，，，，将绕顶点逆时针旋转到处，此时线段与的交点恰好为的中点，则的面积为______.
16．计算：的结果为____________．
17．分式方程的解是__________．
18．如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，E为BC上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED绕点E顺时针旋转得到，A′E交AD于P， D′E交CD于Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，AED停止转动．
（1）求线段AD的长；
（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与的位置关系，并说明理由；
（3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长．
20．（8分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
21．（8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过（1，0），（0，3）两点．
（1）求b，c的值；
（2）写出当y＞0时，x的取值范围．
22．（10分）小明和同学们在数学实践活动课中测量学校旗杆的高度．如图，已知他们小组站在教学楼的四楼，用测角仪看旗杆顶部的仰角为，看旗杆底部的俯角是为，教学楼与旗杆的水平距离是，旗杆有多高（结果保留整数）？（已知，，，，）
23．（10分）如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，分别与交于点.
（1）过点作于点，求证：是的切线；
（2）连接，若，求的长.
24．（10分）试证明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程.
25．（12分）解不等式组,并把解集在数轴上表示出来：
26．在学习概率的课堂上，老师提出的问题：只有一张电影票，小丽和小芳想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小丽和小芳都公平的方案.甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小丽先抽一张，小芳从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小丽看电影，否则小芳看电影.
（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲同学的方案修改为只用2、3、5、7四张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？并说明理由.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据圆的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形外心的定义，对照选项逐一分析即可．
【详解】解：A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，是真命题；
B．平分弦(弦不是直径)的直径垂直于弦，故原命题是假命题；
C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，弦对着两个圆周角，故是假命题；
D．三角形外心是三条边垂直平分线的交点，故是假命题；
故选：A．
本题考查了圆的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形外心的定义，掌握圆的性质和相关定理内容是解题的关键．
2、A
【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数．
【详解】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，
∴白球与红球的数量之比为1：9，
∵白球有5个，
∴红球有9×5=45（个），
故选A．
3、D
【分析】根据三角函数的定义求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝1．
∴AC＝，
∴sinA＝，tanA＝，csB＝，tanB＝．
故选：D．
本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．
4、B
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出答案．
【详解】∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′，A，O，A′三点在同一直线上，AC∥A′C′，
无法得到CO：CA′=1：2，
故选：B．
此题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
5、C
【分析】由题意推出x＝0，或（x﹣1）＝0，解方程即可求出x的值．
【详解】解：∵x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选C．
此题考查的是一元二次方程的解法,掌握用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键.
6、C
【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算，选出正确答案．
【详解】A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，原式计算错误，故本选项错误；
C、a3÷a2＝a，计算正确，故本选项正确；
D、（a2）3＝a6，原式计算错误，故本选项错误．
故选：C．
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
7、C
【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值求解即可．
【详解】∵sinα=cs38°，
∴α=90°-38°=52°．
故选C.
本题考查了锐角三角函数的性质，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
8、A
【分析】连接BD交EF于O，由折叠的性质可推出BD⊥EF，BO＝DO，然后证明△EDO≌△FBO，得到OE＝OF，设BC＝x，利用勾股定理求BO，再根据△BOF∽△BCD，列出比例式求出x，即可求矩形面积．
【详解】解：连接BD交EF于O，如图所示：
∵折叠纸片使点D与点B重合，折痕为EF，
∴BD⊥EF，BO＝DO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO
在△EDO和△FBO中，
∵∠EDO=∠FBO，DO=BO，∠EOD=∠FOB=90°
∴△EDO≌△FBO（ASA）
∴OE＝OF＝EF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设BC＝x，
BD＝＝，
∴BO＝，
∵∠BOF＝∠C＝90°，∠CBD＝∠OBF，
∴△BOF∽△BCD，
∴＝，
即：＝，
解得：x＝8，
∴BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝4×8＝32，
故选：A．
本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9、A
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠B =30°，
∴∠A=90°-30°=60°．
cs A=cs60°=.
故选：A．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
10、B
【分析】根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】反比例函数的图象经过第一、三象限
故选B.
本题考查了反比例函数的性质：当时，图象分别分布在第一、三象限；当时，图象分别分布在第二、四象限.
11、A
【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=-1代入2ax2+x－a2=0得到关于a的方程，然后解此方程即可．
【详解】解：∵x=-1是关于x的方程2ax2+x－a2=0的一个根，
∴2a-1-a2=0
∴1-2a+a2=0，
∴a1=a2=1，
∴a的值为1
故选：A
本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型
12、D
【分析】将各选项点的横坐标代入，求出函数值，判断是否等于纵坐标即可.
【详解】解：A.将x=3代入y=-中，解得y=-2，故(3,2)不在反比例函数y=-图象上，故A不符合题意；
B. 将x=2代入y=-中，解得y=-3，故(2,3)不在反比例函数y=-图象上，故B不符合题意；
C. 将x=-3代入y=-中，解得y=2，故(-3,-2)不在反比例函数y=-图象上，故C不符合题意；
D. 将x= -代入y=-中，解得y=2，故( - ,2 ) 在反比例函数y=-图象上，故D符合题意；
故选：D.
此题考查的是判断一个点是否在反比例函数图象上，解决此题的关键是将点的横坐标代入，求出函数值，判断是否等于纵坐标即可.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】用总件数乘以不合格衬衣的频率即可得出答案．
【详解】这1000件中不合格的衬衣约为：(件)；
故答案为：1．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14、
【分析】作高线DE，利用勾股定理求出AD，AB的值，然后证明，求DE的长，再利用三角函数定义求解即可．
【详解】过点D作于E
∵点是边的中点，
∴，
在中，由
∴
∴
由勾股定理得

∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
本题考查了三角函数的问题，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．
15、
【分析】A1B1与OA相交于点E，作B1H⊥OB于点H，如图，利用勾股定理得到AB=1，再根据直角三角形斜边上的中线性质得OD=AD=DB，则∠1=∠A，接着根据旋转的性质得∠3=∠2，A1B1=AB=1，OB1=OB=8，OA1=OA=2，易得∠2+∠1=90°，所以∠OEB1=90°，于是可利用面积法计算出OE，再由四边形OEB1H为矩形得到B1H=OE，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】A1B1与OA相交于点E，作B1H⊥OB于点H，如图，
∵∠AOB=90°，AO=2，BO=8，
∴AB1．
∵D为AB的中点，
∴OD=AD=DB，
∴∠1=∠A．
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转得到△A1OB1，
∴∠3=∠2，A1B1=AB=1，OB1=OB=8，OA1=OA=2．
∵∠3+∠A=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠OEB1=90°．
∵OE•A1B1OB1•OA1，
∴OE．
∵∠B1EO=∠EOB=∠OHB1=90°，
∴四边形OEB1H为矩形，
∴B1H=OE，
∴的面积===．
故答案为：．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和矩形的判定与性质．
16、
【分析】根据二次根式的乘法法则得出．
【详解】．
故答案为：．
本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则：．
17、
【分析】等式两边同时乘以，再移项即可求解．
【详解】
等式两边同时乘以得：
移项得：,
经检验，x=2是方程的解.
故答案为：．
本题考查了解分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
18、
【分析】作辅助线证明△AOD≌△DOE≌△EOB≌△CDE,且都为等边三角形,利用等边三角形面积公式S=即可解题.
【详解】解：连接DE,OD,OE,
在圆中,OA=OD=OE=OB,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∴△AOD≌△DOE≌△EOB≌△CDE,且都为等边三角形,
∵AB=4,即OA=OD=OE=OB=2,
易证阴影部分面积=S△CDE==.
本题考查了圆的性质,等边三角形的判定和面积公式,属于简单题,作辅助线证明等边三角形是解题关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）5；（2）∥，理由见解析；（3）
【分析】（1）求出AE＝，证明△ABE∽△DEA，由可求出AD的长；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，证明△PEF∽△QEC，再证△EPQ∽△A'ED'，可得出∠EPQ＝∠EA'D'，则结论得证；
（3）由（2）知PQ∥A′D′，取A′D′的中点N，可得出∠PEM为定值，则点M的运动路径为线段，即从AD的中点到DE的中点，由中位线定理可得出答案．
【详解】解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝，
∵∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∴△ABE∽△DEA，
∴，
∴，
∴AD＝5；
（2）PQ∥A′D′，理由如下：
∵，∠AED＝90°
∴＝＝2，
∵AD＝BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，
过点E作EF⊥AD于点F，
则∠FEC＝90°，
∵∠A'ED'＝∠AED＝90°，
∴∠PEF＝∠CEQ，
∵∠C＝∠PFE＝90°，
∴△PEF∽△QEC，
∴，
∵，
∴，
∴PQ∥A′D′；
（3）连接EM，作MN⊥AE于N，
由（2）知PQ∥A′D′，
∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，
又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，
∴PM＝ME，
∴∠EPQ＝∠PEM，
∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′
∴∠EPF＝∠NEM，
又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，
∴△PEF∽△EMN，
∴＝为定值，
又∵EF＝AB＝2，
∴MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，
∵M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，
∴M的轨迹为△ADE的中位线，
∴线段PQ的中点M所经过的路径长＝＝．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20、（1）
（2），
【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ ＞1．
即 ，解得，．
（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．
如果k＝－1，原方程为 ．
解得，，．
（如果k＝－2，原方程为 ，解得，，．）
21、（1）b=-2,c=3；（2）当y＞0时，﹣3＜x＜1．
【分析】（1）由题意求得b、c的值；
（2）当y>0时，即图象在第一、二象限的部分，再求出抛物线和x轴的两个交点坐标，即得x的取值范围；
【详解】（1）根据题意，将（1，0）、（0，3）代入，得：

解得：
（2）由（1）知抛物线的解析式为
当y=0时，
解得：或x=1，
则抛物线与x轴的交点为
∴当y＞0时，﹣3＜x＜1．
考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，数形结合是解题的关键.
22、旗杆的高约是．
【分析】过点B作于点，由题意知，，，，根据锐角三角函数即可分别求出AC和CD，从而求出结论．
【详解】解：过点B作于点，由题意知，，，
∵，
∴m，
∵，
∴m，
∴m，
答：旗杆的高约是．
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
23、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，ND，可知∠CND=90°，再证，即可证，最后根据切线的定义求得答案；
【详解】解：如图
连接，，
在中，为斜边中线，
∴，
∵是的直径.
∴，
∴，
∵等腰三线合一，
∴，
∵在中，为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线.
（2）连接， 则四边形为矩形，
，
∴
,
，

∴
∴
本题考查的是圆的切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和勾股定理，是一道综合性较强的习题，能够充分调动所学知识多次利用勾股定理求解是解题的关键.
24、证明见解析.
【分析】由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到＞0，根据一元二次方程的定义证明结论．
【详解】解：利用配方法把二次项系数变形有，
∵（m+1）2≥0，
∴，
因为，所以不论为何值，方程是一元二次方程.
本题考查的是一元二次方程的概念、配方法的应用，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键．
25、
【分析】分别求出各不等式的解，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解
【详解】解：由不等式①得：
由不等式②得：
∴不等式组的解集：
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解题步骤是解本题的关键．
26、（1）甲同学的方案不公平.理由见解析；（2）公平，理由见解析.
【解析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．
（2）解题思路同上．
【详解】（1）甲同学的方案不公平.
理由如下：列表法，所有结果有12种，数字之和为奇数的有：8种，故小丽获胜的概率为：，则小芳获胜的概率为：，故此游戏两人获胜的概率不相同，即游戏规则不公平；
（2）公平，理由如下：
所有结果有12种，其中数字之和为奇数的有：6种，故小丽获胜的概率为：，则小芳获胜的概率为：，故此游戏两人获胜的概率相同，即他们的游戏规则公平.
本题考查树状图或列表法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上的完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．