苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义课后练习题

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一、复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，
原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量OZ的eq \a\vs4\al(模)r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
二、复数加法与减法的几何意义
1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，
其对应的向量OZ1=(x1，y1)，OZ2=(x2，y2)，
如图1，且OZ1和OZ2不共线，
以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，
根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量OZ=OZ1+OZ2，
而OZ1+OZ2所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，
这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．
2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，
复数z1−z2与向量OZ1−OZ2等于Z2Z1）对应，
这就是复数减法的几何意义．
【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．
（2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．
（3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．
拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
题型一 复数对应的点所在象限
【例1】（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】，
故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.故选：A
【变式1-1】（2023春·河北承德·高三河北省滦平县第一中学校考阶段练习）若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由题意，
对应点坐标为，在第四象限．故选：D．
【变式1-2】（2023·全国·校联考一模）已知是关于的方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为是关于的方程的一个根，
所以方程的另外一个根为，则，
所以，
所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.
【变式1-3】（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）若复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为，
故由，可得，
故在复平面内对应的点，在第二象限内，故选：B
【变式1-4】（辽宁省名校联盟2023届高三下学期3月份联合考试数学试题）已知复数，（且），则对应的点在平面直角坐标系内的（ ）
A．轴上 B．轴上 C．一、二象限 D．三、四象限
【答案】A
【解析】，，
，
又，则对应的点在平面直角坐标系内的轴上故选：A
题型二 复数的坐标表示
【例2】（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（ ）
A．1－3i B．3－i C．3＋i D．－1＋3i
【答案】C
【解析】根据复数的几何意义可知,
设，则由，
所以,因此对应的复数为：3＋i，故选：C
【变式2-1】（2023·高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】因为对应的复数是，对应的复数为，又，
所以对应的复数为，又，
所以点对应的复数为，
所以点的坐标为．
【变式2-2】（2023·高一单元测试）在复平面内，复数对应点，复数对应点，把向量绕点顺时针旋转得到向量，则点P对应的复数是______．
【答案】
【解析】由题意知向量对应的复数是，
再由复数乘法的几何意义得，向量对应的复数是，
最后由复数加法的几何意义得，向量，
其对应的复数是，
所以点P对应的复数是.
【变式2-3】（2022·高一课前预习）已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.
（1）求对应的复数；
（2）求对应的复数；
（3）求△APB的面积.
【答案】（1）－2＋2i；（2）5；（3）.
【解析】由题意，画出平行四边形如下图示
（1）在平行四边形ABCD中，有
∴有 = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i
即对应的复数是－2＋2i
（2）∵= (3＋2i)－(－2＋2i)＝5
即对应的复数是5
（3）∵，
∴，而，
即
∴cs∠APB＝，故sin∠APB＝
故
即的面积为
题型三 求复数的模
【例3】（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）若复数满足（i是虚数单位），则的模长等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为
所以，所以
所以
故的模长为，故选：D
【变式3-1】（2022春·河南濮阳·高一校考阶段练习）设复数满足，则__________．
【答案】
【解析】复数z满足，则，
所以.
【变式3-2】（2023·高一课时练习）已知复数（i为虚数单位），求复数的模．
【答案】
【解析】因为复数，则，
所以，
则
.
【变式3-3】（2021·高一课前预习）（多选）表示
A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离
C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模
【答案】ACD
【解析】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,
所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B说法错误；
,可表示点到原点的距离,故C说法正确；
,可表示表示点到原点的距离,
即坐标为的向量的模,故D说法正确,故选:ACD
【变式3-4】（2023·高一单元测试）复数.若，则（ ）的值与a、b的值无关.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，
又，所以，
，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，即的值与a、b的值无关.故选：A.
题型四 复数模有关的最值问题
【例4】（2023·全国·高一专题练习）已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】设复数z在复平面内对应的点为Z，
因为复数z满足，
所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，
所以在复平面内点的轨迹为轴，
又表示点到点的距离，
所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，
所以的最小值为2，故选：B.
【变式4-1】（2022春·福建厦门·高一厦门外国语学校校考期中）已知z1､z2为复数，且|z1|=2，若z1+z2=2i，则|z1﹣z2|的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】z1+z2=2i，∴z2=2i﹣z1，则|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，
|z1|=2，∴z1在复平面内所对应的点P的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，
所对应的点坐标为A(0,1),
|z1﹣i|表示P,A的距离，
∴|z1﹣i|≤3,2|z1﹣i|≤2×3=6,z1=﹣2i时取等号，
|z1﹣z2|的最大值为6，故选：B.
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）若且，则最大值是_______________.
【答案】3
【解析】的几何意义为复平面动点到定点距离为1的点的轨迹，
可看成圆，表示圆上的点到原点的距离，
所以最大值为圆O1到原点距离加上半径1，即 .
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）已知，则 的最小值是_________．
【答案】1
【解析】因为，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上．
，表示Z到点所对应的点的距离，
，所以．