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考点12 圆的有关性质中的9大高频考点归类-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）
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这是一份考点12 圆的有关性质中的9大高频考点归类-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版），共8页。
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2 弦、弧、弦心距
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
弦心距：圆心到弦的距离叫弦心距。
3 垂径定理和常见辅助线的做法
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：
（1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
（2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。
4 圆心角及其定理．
1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的.
2、弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
【注意】
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等．
（2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”．
5 圆周角概念
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
① 角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.
2、圆心角与圆周角的区别与联系
6 圆周角定理及其推论
1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等.
2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图：
即∠ABC =12∠AOC
3、圆周角定理的推论
圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
7 解决船或车能否通过圆弧形拱桥的问题的方法
通常是补全弧所在圆的圆心，构造直角三角形，利用勾股定理求出圆的半径，进而判断船或车的宽度或高度是否在允许通过的范围内.若在范围内，则可以通过；否则，不能通过。
8在同圆或等圆中，根据弧、弦、圆心角之间的关系求角的度数或证明线段相等的方法：
先要根据条件灵活地对等弧、等弦或等圆心角进行转化，再利用等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的性质等求解或证明
9 圆内接四边形
1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆.
2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°.
注：圆内接四边形的对角互补是证明两角互补的一个常用依据，而互补关系又是证明角相等及直线位置关系的一个桥梁，这是解决圆内接四边形问题常用的方法。
考点1 圆的基础
考点2 弦、弧、弦心距
考点3 垂径定理和常见辅助线的做法
考点4 圆心角及其定理．
考点5 圆周角概念
考点6 圆周角定理及其推论
考点7 解决船或车能否通过圆弧形拱桥的问题的方法
考点8在同圆或等圆中，根据弧、弦、圆心角之间的关系求角的度数或证明线段相等的方法
考点 9 圆内接四边形
考点1 圆的基础
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的有（ ）
①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧．
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023秋·九年级单元测试）如图，⊙O的直径CD垂直弦于点E，且，则（ ）
A．4B．2C．D．
3．（2022春·九年级课时练习）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ）
A．2B．5C．9D．11
4．（2021秋·七年级课时练习）若一个圆的半径为，那么该圆的面积等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2020春·浙江台州·八年级统考期末）如图，把一个半径为的小圆放在半径为的大圆的内部，若小圆把大圆分成面积相等的两部分，则∶的值为（ ）
A．2∶1B．3∶2C．7∶5D．∶1
考点2 弦、弧、弦心距
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，是的直径，若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
8．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
9．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，是⊙O的内接三角形，点B是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，是的直径，弦垂直平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
考点3 垂径定理和常见辅助线的做法10
11．（2023秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在中，尺规作图的部分作法如下：
（1）分别以弦的端点为圆心，适当的长为半径画弧，使两弧相交于点；
（2）作直线交于点．
若，则的长等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
12．（2019秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（ ）
A．1.2 mB．1.4 mC．1.6 mD．1.8 m
13．（2021春·九年级课时练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )
A．弧AB =弧CDB．弧AB＞弧CDC．弧AB＜弧CDD．无法确定
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．B．，
C．为等腰三角形D．为等边三角形
15．（2012·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【 】
A．CM=DMB．C．∠ACD=∠ADCD．OM=MD
16．（2018春·九年级单元测试）如图，中弦垂直于直径于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①④
17．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（ ）
A．2B．3C．5D．6
18．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．2米B．3米C．4米D．5米
19．（2023春·广西防城港·九年级校考阶段练习）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（ ）
A．B．C．D．
20．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高cm，底面直径cm，球的最高点到瓶底面的距离为cm，则球的半径为（ ）cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
A．7.5B．7C．6.5D．6
考点4 圆心角及其定理
21．（2020秋·九年级课时练习）下列各角中，是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2018·九年级单元测试）如图中是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
24．（2022春·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（ ）
A．B．C．D．
25．（2018春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在⊙O中，点A、B、C、D分别在圆上，则图中弧的条数是（ ）
A．12条B．11条C．9条D．8条
考点5 圆周角概念
26．（2022秋·全国·九年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．确定一个圆需要知道圆心和半径B．过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
C．顶点在圆上的角是圆周角D．任意三角形都有一个外接圆
27．（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）下列图形中的是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
28．（2022春·九年级课时练习）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C．②以D为圆心，DO长为半径画，与OB交于点E，连接DC并延长，使DC的延长线交于点P，连接DE，则的度数为（ ）．
A．15°B．20°C．30°D．40°
29．（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；…按此规律运动到点处，则点与点间的距离是（ ）．
A．4B．C．2D．0
30．（2022春·九年级课时练习）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．55°
考点6 圆周角定理及其推论
31．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，内接于，连接、，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的两条直径，点是弧的中点，连接，若，则的度数（ ）
A．B．C．D．
33．（2023春·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若所对应圆心角的度数为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
34．（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，是的直径，点、是上的两点，连接、、、，且，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
35．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
36．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，点C，D，E都在上，则等于（ ）
AI
A．B．C．D．
37．（2022·福建南平·校考模拟预测）如图，为的直径，点C，D在上，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
38．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，已知，，，关于优弧，下列结论正确的是（ ）
A．经过点和点B．经过点，不一定经过点
C．经过点，不一定经过点D．不一定经过点和点
39．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴，点在轴的负半轴，经过四点，若，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
40．（2022春·九年级课时练习）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
考点7 解决船或车能否通过圆弧形拱桥的问题的方法
41．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．
(1)求拱桥的半径．
(2)有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．
42．（2023秋·全国·九年级专题练习）赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥（如图1），因赵县古称赵州而的得名．赵州桥始建于硝代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即米，如图2），拱顶到水面的距离4米（即弧的中点C到的距离等于4米）．
(1)在图2中画出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)问一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能否顺利通过？
43．（2020·浙江杭州·九年级专题练习）2014年9月，台风“凤凰”来袭，杭州地区被雨水“围攻”，如图，京杭大运河上有一拱桥为圆弧形，跨度米，拱高米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面到拱顶距离只有4米，问是否要采取紧急措施？请说明理由．
44．（2022秋·九年级单元测试）好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由.
45．（2018秋·浙江舟山·九年级校考期中）如图，某地有一座圆弧形拱桥，
（1）如图1，请用尺规作出圆弧所在圆的圆心O；
（2）如图2，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．桥下水面宽度AB为7.2 m，现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥.
考点8在同圆或等圆中，根据弧、弦、圆心角之间的关系求角的度数或证明线段相等的方法
46．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点C、D．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的半径长；
47．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．
(1)已知，，求圆O的半径；
(2)如果，求弦所对的圆心角的度数．
48．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在中，弦、交于点，且．求证：．
49．（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考期末）如图，是O的直径，四边形内接于O，交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
50．（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知如图所示，为直径上一点，，为过点的两条弦，且；
(1)求证：；
(2)求证：．
考点9 圆内接四边形
51．（2022秋·四川广安·九年级统考期末）如图，四边形是的内接四边形，，求和的度数．
52．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，是上两点，，C为弧上一点．
(1)写出弦对的弧的度数；
(2)若是劣弧的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
53．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)连接，，当__________时，四边形为菱形；
(3)若，，则__________．
54．（2023秋·江苏·九年级专题练习）【特例感知】
（1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为______°，点D到直线的距离为______；
【类比迁移】
（2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长．
55．（2023秋·全国·九年级专题练习）（1）如图1，是的直径，C、D是上的两点，若，，求
①的度数
②的度数
（2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．
圆心角
圆周角
区 别
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的.
在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个.
联 系
两边都与圆相交
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2 弦、弧、弦心距
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
弦心距：圆心到弦的距离叫弦心距。
3 垂径定理和常见辅助线的做法
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：
（1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
（2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。
4 圆心角及其定理．
1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的.
2、弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
【注意】
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等．
（2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”．
5 圆周角概念
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
① 角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.
2、圆心角与圆周角的区别与联系
6 圆周角定理及其推论
1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等.
2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图：
即∠ABC =12∠AOC
3、圆周角定理的推论
圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
7 解决船或车能否通过圆弧形拱桥的问题的方法
通常是补全弧所在圆的圆心，构造直角三角形，利用勾股定理求出圆的半径，进而判断船或车的宽度或高度是否在允许通过的范围内.若在范围内，则可以通过；否则，不能通过。
8在同圆或等圆中，根据弧、弦、圆心角之间的关系求角的度数或证明线段相等的方法：
先要根据条件灵活地对等弧、等弦或等圆心角进行转化，再利用等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的性质等求解或证明
9 圆内接四边形
1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆.
2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°.
注：圆内接四边形的对角互补是证明两角互补的一个常用依据，而互补关系又是证明角相等及直线位置关系的一个桥梁，这是解决圆内接四边形问题常用的方法。
考点1 圆的基础
考点2 弦、弧、弦心距
考点3 垂径定理和常见辅助线的做法
考点4 圆心角及其定理．
考点5 圆周角概念
考点6 圆周角定理及其推论
考点7 解决船或车能否通过圆弧形拱桥的问题的方法
考点8在同圆或等圆中，根据弧、弦、圆心角之间的关系求角的度数或证明线段相等的方法
考点 9 圆内接四边形
考点1 圆的基础
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的有（ ）
①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧．
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023秋·九年级单元测试）如图，⊙O的直径CD垂直弦于点E，且，则（ ）
A．4B．2C．D．
3．（2022春·九年级课时练习）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ）
A．2B．5C．9D．11
4．（2021秋·七年级课时练习）若一个圆的半径为，那么该圆的面积等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2020春·浙江台州·八年级统考期末）如图，把一个半径为的小圆放在半径为的大圆的内部，若小圆把大圆分成面积相等的两部分，则∶的值为（ ）
A．2∶1B．3∶2C．7∶5D．∶1
考点2 弦、弧、弦心距
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，是的直径，若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
8．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
9．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，是⊙O的内接三角形，点B是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，是的直径，弦垂直平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
考点3 垂径定理和常见辅助线的做法10
11．（2023秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在中，尺规作图的部分作法如下：
（1）分别以弦的端点为圆心，适当的长为半径画弧，使两弧相交于点；
（2）作直线交于点．
若，则的长等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
12．（2019秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（ ）
A．1.2 mB．1.4 mC．1.6 mD．1.8 m
13．（2021春·九年级课时练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )
A．弧AB =弧CDB．弧AB＞弧CDC．弧AB＜弧CDD．无法确定
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．B．，
C．为等腰三角形D．为等边三角形
15．（2012·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【 】
A．CM=DMB．C．∠ACD=∠ADCD．OM=MD
16．（2018春·九年级单元测试）如图，中弦垂直于直径于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①④
17．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（ ）
A．2B．3C．5D．6
18．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．2米B．3米C．4米D．5米
19．（2023春·广西防城港·九年级校考阶段练习）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（ ）
A．B．C．D．
20．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高cm，底面直径cm，球的最高点到瓶底面的距离为cm，则球的半径为（ ）cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
A．7.5B．7C．6.5D．6
考点4 圆心角及其定理
21．（2020秋·九年级课时练习）下列各角中，是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2018·九年级单元测试）如图中是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
24．（2022春·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（ ）
A．B．C．D．
25．（2018春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在⊙O中，点A、B、C、D分别在圆上，则图中弧的条数是（ ）
A．12条B．11条C．9条D．8条
考点5 圆周角概念
26．（2022秋·全国·九年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．确定一个圆需要知道圆心和半径B．过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
C．顶点在圆上的角是圆周角D．任意三角形都有一个外接圆
27．（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）下列图形中的是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
28．（2022春·九年级课时练习）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C．②以D为圆心，DO长为半径画，与OB交于点E，连接DC并延长，使DC的延长线交于点P，连接DE，则的度数为（ ）．
A．15°B．20°C．30°D．40°
29．（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；…按此规律运动到点处，则点与点间的距离是（ ）．
A．4B．C．2D．0
30．（2022春·九年级课时练习）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．55°
考点6 圆周角定理及其推论
31．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，内接于，连接、，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的两条直径，点是弧的中点，连接，若，则的度数（ ）
A．B．C．D．
33．（2023春·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若所对应圆心角的度数为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
34．（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，是的直径，点、是上的两点，连接、、、，且，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
35．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
36．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，点C，D，E都在上，则等于（ ）
AI
A．B．C．D．
37．（2022·福建南平·校考模拟预测）如图，为的直径，点C，D在上，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
38．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，已知，，，关于优弧，下列结论正确的是（ ）
A．经过点和点B．经过点，不一定经过点
C．经过点，不一定经过点D．不一定经过点和点
39．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴，点在轴的负半轴，经过四点，若，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
40．（2022春·九年级课时练习）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
考点7 解决船或车能否通过圆弧形拱桥的问题的方法
41．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．
(1)求拱桥的半径．
(2)有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．
42．（2023秋·全国·九年级专题练习）赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥（如图1），因赵县古称赵州而的得名．赵州桥始建于硝代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即米，如图2），拱顶到水面的距离4米（即弧的中点C到的距离等于4米）．
(1)在图2中画出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)问一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能否顺利通过？
43．（2020·浙江杭州·九年级专题练习）2014年9月，台风“凤凰”来袭，杭州地区被雨水“围攻”，如图，京杭大运河上有一拱桥为圆弧形，跨度米，拱高米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面到拱顶距离只有4米，问是否要采取紧急措施？请说明理由．
44．（2022秋·九年级单元测试）好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由.
45．（2018秋·浙江舟山·九年级校考期中）如图，某地有一座圆弧形拱桥，
（1）如图1，请用尺规作出圆弧所在圆的圆心O；
（2）如图2，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．桥下水面宽度AB为7.2 m，现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥.
考点8在同圆或等圆中，根据弧、弦、圆心角之间的关系求角的度数或证明线段相等的方法
46．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点C、D．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的半径长；
47．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．
(1)已知，，求圆O的半径；
(2)如果，求弦所对的圆心角的度数．
48．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在中，弦、交于点，且．求证：．
49．（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考期末）如图，是O的直径，四边形内接于O，交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
50．（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知如图所示，为直径上一点，，为过点的两条弦，且；
(1)求证：；
(2)求证：．
考点9 圆内接四边形
51．（2022秋·四川广安·九年级统考期末）如图，四边形是的内接四边形，，求和的度数．
52．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，是上两点，，C为弧上一点．
(1)写出弦对的弧的度数；
(2)若是劣弧的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
53．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)连接，，当__________时，四边形为菱形；
(3)若，，则__________．
54．（2023秋·江苏·九年级专题练习）【特例感知】
（1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为______°，点D到直线的距离为______；
【类比迁移】
（2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长．
55．（2023秋·全国·九年级专题练习）（1）如图1，是的直径，C、D是上的两点，若，，求
①的度数
②的度数
（2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．
圆心角
圆周角
区 别
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的.
在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个.
联 系
两边都与圆相交
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