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专题04 图形的相似（考点清单，11个考点）-九年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版）
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这是一份专题04 图形的相似（考点清单，11个考点）-九年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版），文件包含专题04图形的相似考点清单11个考点原卷版docx、专题04图形的相似考点清单11个考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
【考点1】比例性质 【考点2】比例线段
【考点3】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【考点4】相似多边形的性质 【考点5】 相似三角形的概念
【考点6】相似三角形的判定 【考点7 】相似三角形的性质
【考点8 】相似三角形的判定和性质综合【考点9 】相似三角形的应用综合
【考点10 】图形的位似 【考点11 】作图-位似
【考点1】比例性质
1．已知，则的值为（ ）
A．5B．﹣5C．D．
【答案】B
【解答】解：∵，
∴p＝q，
∴＝＝＝﹣5．
故选：B．
2．已知5x＝3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A、∵＝，
∴3x＝5y，
故A不符合题意；
B、∵＝，
∴5x＝3y，
故B符合题意；
C、∵＝，
∴3x＝5y，
故C不符合题意；
D、∵＝，
∴xy＝15，
故D不符合题意；
故选：B．
3．，则的值为（ ）
A．B．C．﹣2D．2
【答案】D
【解答】解：∵，
∴a+2b＝4a，
∴b＝a，
∴＝＝2．
故选：D．
4．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵＝，
∴设a＝3k，b＝5k，
则＝＝＝．
故选：C．
【考点2】比例线段
5．下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．1cm，2cm，2cm，4cm
C．3cm，5cm，9cm，13cmD．1cm，2cm，2cm，3cm
【答案】B
【解答】解：∵1×4≠2×3，
∴选项A不成比例；
∵1×4＝2×2，
∴选项B成比例；
∵3×13≠5×9，
∴选项C不成比例；
∵3×1≠2×2，
∴选项D不成比例
故选：B．
6．已知线段a、b、c，当a＝4，b＝5时，则a、b的比例中项c等于（ ）
A．B．C．±6D．6
【答案】B
【解答】解：根据比例中项的概念，得c2＝ab＝20，
所以c＝±2，
又线段不能是负数，﹣2应舍去，
所以c＝2．
故选：B．
7．已知线段a，b，c，其中c是a，b的比例中项，若a＝3cm，b＝27cm，则线段c的长为（ ）
A．81cmB．9cmC．﹣9cmD．±9cm
【答案】B
【解答】解：∵c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝3cm，b＝27cm，
∴c2＝81，
∵c＞0，
∴c＝9cm．
故选：B．
8．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解答】解：∵，
∴b＝3a，d＝3c，
∴＝，
故选：B．
9．已知四个数2，﹣3，4，x成比例，则x的值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
【答案】B
【解答】解：由题意得，2：（﹣3）＝4：x，
∴2x＝﹣12，
∴x＝﹣6．
故选：B．
【考点3】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
10．已知直线DE分别交△ABC边AB、AC于D、E点，那么不能推出DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，故A不符合题意；
∵，
∴，
∴DE∥BC，故B不符合题意；
由不能推得DE∥BC，故C符合题意；
∵，
∴，
∴，即．
∴DE∥BC，故D不符合题意．
故选：C．
11．如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，，EF＝6，DF的长（ ）
A．3B．4C．5D．10
【答案】D
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
∴DE＝4，
∴DF＝DE+EF＝4+6＝10．
故选：D．
12．如图，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，则AC的长度是（ ）
A．12B．18C．15D．
【答案】B
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝18．
故选：B．
13．如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝12，则DF的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵，BD＝12，
∴，
解得：DF＝8，
故选：D．
14．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，若BD＝4，AD＝8，CE＝5，则AE的长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AD：DB＝AE：EC，
∵BD＝4，AD＝8，CE＝5，
∴8：4＝AE：5，
∴AE＝10．
故选：C．
【考点4】相似多边形的性质
15．如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，若∠A＝110°，∠C＝68°，∠B1＝88°，则∠D的度数为（ ）
A．74°B．84°C．94°D．104°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠B1＝88°，
∴∠B＝∠B1＝88°．
∵四边形ABCD的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，∠A＝110°，∠C＝68°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣110°﹣88°﹣68°＝94°．
故选：C．
16．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，如果矩形DMNC和矩形ABCD相似，则它们的相似比为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解答】解：设矩形ABCD的长AD＝x，宽AB＝y，
则DM＝AD＝x，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴，即 ，
即y2＝x2．
∴y：x＝1：＝．
故选：A．
17．已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（ ）
A．24cmB．27cmC．28cmD．32cm
【答案】A
【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的周长比是3：4，
设较大多边形的周长为为xcm，
由题意得，18：x＝3：4，
解得，x＝24，
故选：A．
18．两个相似五边形，一组对应边的长分别为4cm和6cm，若它们的面积之和为260cm2，则较大五边形的面积是（ ）
A．100cm2B．180cm2C．75cm2D．30cm2
【答案】B
【解答】解：∵两个相似五边形的一组对应边的长分别是4cm，6cm，
∴这两个相似五边形的相似比为2：3，
设较大的五边形的面积为x cm2，依据它们的面积之和为260cm2，
∴m+m＝260，
解得x＝180，
即较大的五边形的面积为180cm2．
故选：B．
19．如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD、BC的中点E、F的连线对折，要使对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则原矩形ABCD的长AD和宽DC的比应为（ ）
A．2：1B．：1C．：1D．1：1
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝AD，
∵矩形AEFB与原矩形ABCD相似，
∴＝，
∴＝，
∴AD2＝CD2，
∴AD2＝2CD2，
∴AD：CD＝：1，
故选：C．
【考点5】 相似三角形的概念
20．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，
A．因为，对应边，，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
B．因为，对应边，又∠A＝∠A，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，
故此选项符合题意；
C．因为，对应边，
即：，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
D．因为，对应边，，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
故选：B．
21．给出下列四个命题：
（1）等腰三角形都是相似三角形；
（2）直角三角形都是相似三角形；
（3）等腰直角三角形都是相似三角形；
（4）等边三角形都是相似三角形．其中真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：（3）（4）正确，
（3）符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
（4）符合三组对应边的比相等的两个三角形相似．
而（1）（2）不满足判定三角形相似的条件．
故选：B．
【考点6】相似三角形的判定
22．如图，在△AOB和△COD中，已知∠AOC＝∠BOD，则添加下列条件能判定△AOB和△COD相似的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠B＝∠BOCC．D．
【答案】A
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOB＝∠COD．
A、∠A＝∠D，对应的两角相等，可以证明，符合题意；
B、∠B＝∠BOC，不是对应角，不可以证明，不符合题意；
C、，不是对应边成比例，不可以证明，不符合题意；
D、，不是夹角的对应边成比例，不可以证明，不符合题意．
故选：A．
23．如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A＝∠CBDB．∠CBA＝∠CDB
C．AB•CD＝BD•BCD．BC2＝AC•CD
【答案】C
【解答】解：∵∠C是公共角，
∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B不符合题意，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意．
∵∠C＝∠C，
若再添加，即BC2＝AC⋅CD，可证明△CAB∽△CBD，故D不符合题意．
故选：C．
24．如图，AB＝AC，作△ADC，使得点B，D在AC异侧，且AD＝CD，∠ADC＝∠BAC，E是BC延长线上一点，连接AB交CD于点F．求证：△ABC∽△DAC．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD＝CD，
∴，
∵∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DAC．
25．如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
【答案】证明过程请看解答．
【解答】证明：∵AD•AC＝AB•AE，
∴＝，
∵∠DAE＝∠BAC．
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
26．如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE．
求证：△ABC∽△DAE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠CAB，
又∵∠B＝∠DAE，
∴△ABC∽△DAE．
27．如图8，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），且AP⊥PE，PE交边DC于点E．
（1）求证：①△ABP∽△PCE；②CE•AB＝PC•BP；
（2）若AP＝2PE，求证：△APE∽△PCE．
【答案】（1）①证明见解答过程；②证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠PCD＝90°，
∴∠PAB+∠APB＝90°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴∠EPC+∠APB＝90°．
∴∠PAB＝∠EPC，
∴△ABP∽△PCE；
②∵△ABP∽△PCE，
∴＝，
∴CE•AB＝PC•BP；
（2）∵△ABP∽△PCE，
∴＝＝，
∵AP＝2PE，
∴AB＝2PC，BP＝2CE，
∵AB＝BC，
∴BP＝PC＝2CE，
∴＝，
又∠APE＝∠C＝90°，
∴△APE∽△PCE．
28．在△ABC中，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F，E，连接EF．求证：
（1）△BAF∽△BCE；
（2）△BEF∽△BCA．
【答案】（1）（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AFB＝∠CEB＝90°．
∵∠B＝∠B，
∴△BAF∽△BCE．
（2）∵△BAF∽△BCE，
∴＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BCA．
【考点7 】相似三角形的性质
29．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
【答案】B
【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
30．若两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，则这两个三角形的周长的比为（ ）
A．2：3B．4：9C．16：81D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，
∴这两个三角形的相似比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为4：9；
故选：B．
31．已知△ADE与△ABC相似，且周长比为1：3，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
【答案】D
【解答】解：由题意可知△ADE与△ABC相似，且周长比为1：3，△ABC与△ADE的面积比为相似比的平方，故为1：9．
故选：D．
32．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）
A．16B．8C．2D．1
【答案】B
【解答】解：设另一个三角形的周长为x，则
4：x＝，
解得：x＝8．
故另一个三角形的周长为8，
故选：B．
33．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，
∴S△ABC：S△ADE＝1：3，
∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵CB＝，
∴DE＝．
故选：A．
34．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，P，Q分别是BC，CD上的点，CQ＝4，若△ABP与△PCQ相似，则BP的长为（ ）
A．3或B．3或12
C．3、12或D．3、12或
【答案】D
【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝9，BC＝AD＝15，
∵△ABP与△PCQ相似，
∴分△ABP∽△PCQ与△ABP∽△QCP两种情况求解：
①当△ABP∽△PCQ时，设BP＝x，则PC＝15﹣x，
∴，即，
解得：x＝3或x＝12，
②当△ABP∽△QCP时，设BP＝x，则PC＝15﹣x，
∴，即，
解得：，
综上所述，BP的长为3或12或．
故选：D．
【考点8 】相似三角形的判定和性质综合
35．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△CFB；
（2）若CF＝2，求AB的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AB的长是3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠E＝∠CBF，
∵∠A＝∠C，
∴△ABE∽△CFB．
（2）解：∵DE＝AD，AD＝CB，
∴DE＝CB，
∵DE∥CB，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴DF＝CF＝×2＝1，
∴AB＝CD＝CF+DF＝2+1＝3，
∴AB的长是3．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，矩形DEFG的顶点D，E在边AB上，顶点G，F分别在边AC，BC上．
（1）求证：；
（2）若AD＝GD，求△ADG与△FEB面积的比值．
【答案】（1）证明见解析；（2）9：4．
【解答】（1）证明：在矩形DEFG中，∠GDE＝∠FED＝90°，
∴∠GDA＝∠FEB＝90°，
∵∠C＝∠GDA＝90°，
∴∠A+∠AGD＝∠A+∠B＝90°，
∴∠AGD＝∠B，
在△ADG和△FEB中，
∵∠AGD＝∠B，∠GDA＝∠FEB＝90°，
∴△ADG∽△FEB，
∴＝；
（2）解：∵四边形DEFG为矩形，
∴GD＝EF，
∵△ADG∽△FEB，
∴＝（）2＝（）2＝．
故答案为：9：4．
37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AC＝3，AB＝4，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB
∴，
即，
∴AD＝．
38．如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，沿直线CE将△CBE翻折，使得点B落在AD边上，记作点F．
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）若，且CD＝10，求BC的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）14.5．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴∠CFD+∠DCF＝90°，
由折叠得：∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠AFE+∠CFD＝90°，
∴∠AFE＝∠DCF，
∴△AEF∽△DFC；
（2）解：∵△AEF∽△DFC，
∴＝＝，
∵，且CD＝10，
∴＝，
∴AF＝4，
由折叠得：BE＝EF，
设BE＝x，则AE＝10﹣x，EF＝BE＝x，
由勾股定理得：AE2+AF2＝EF2，
∴42+（10﹣x）2＝x2，
∴x＝5.8，
∴AE＝10﹣5.8＝4.2，
∴＝，
∴DF＝10.5，
∴BC＝AF+DF＝4+10.5＝14.5．
39．如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若BC＝12，EC＝6，AE＝4，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）8．
【解答】（1）证明：∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠D，
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED；
（2）解：∵△AEB∽△CED，
∴，
又∵BC＝CD，
∴，
即，
∴AB＝8．
【考点9 】相似三角形的应用综合
40．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（ ）米．
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解答】解：点O作镜面的法线FO，由入射角等于反射角可知∠COF＝∠DOF，
∵∠COA＝90°﹣∠COF，
∠DOB＝90°﹣∠DOF，
∴∠COA＝∠DOB，
又∵∠CAO＝∠OBD＝90°，
∴△ACO∽△BDO，
∴＝，
∵AC＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，
∴＝，
∴BD＝4米，
答：树高为4米，
故选：A．
41．如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m，则旗杆DE的高度为（ ）
A．9mB．10mC．11mD．12m
【答案】D
【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比，
∴＝，
∵AB＝2m，BC＝1m，EF＝6m，
∴＝，
∴DE＝12（m），
故选：D．
42．如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆30m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上7cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（ ）
A．3mB．4mC．5mD．6m
【答案】A
【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∴＝，
∵AM＝0.7m，AN＝30m，BC＝0.07m，
∴EF＝＝＝3（m）．
故选：A．
43．如图，我校小辰同学在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆FC测量学校教学楼的高度．若标杆FC＝2.5米，小辰同学眼高离地面AB＝1.5米测得DC＝23米，BC＝1米，请你帮他求出学校体育馆ED的高度．
【答案】学校体育馆ED的高度是25.5米．
【解答】解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.5米，FC＝2.5米，DC＝23米，BC＝1米，
∴FG＝2.5﹣1.5＝1（米），BD＝24米，
∵FG∥EH，
∴，，
解得：EH＝24米，
∴ED＝24+1.5＝25.5（米），
答：学校体育馆ED的高度是25.5米．
44．小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图，路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小明测得窗户距离地面高度BF＝0.6m，窗高BC＝1.4m，某一时刻，FD＝0.6m，DE＝2.4m，其中O、F、D、E四点在同一条直线上，C、B、F三点在同一条直线上，且OA⊥OE，CF⊥OE，请求出路灯的高度OA．
【答案】路灯的高度OA为4.8m．
【解答】解：∵OA⊥OE，BF⊥OE，
∴BF∥OA，
∴△DFB∽△DOA，△ECF∽△EAO，
∴＝，＝，
∴，＝，
∴OA＝OD＝4.8（m），
答：路灯的高度OA为4.8m．
45．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD．
（1）求证：△ABP∽△CDP．
（2）测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD．
【答案】（1）证明见解析；
（2）古城墙的高度CD为8米．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP，
∵光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，
∴∠APB＝∠CPD，
∴△ABP∽△CDP；
（2）解：∵△ABP∽△CDP，
∴，
∴，
∴CD＝8，
∴该古城墙的高度CD为8米．
46．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
【答案】22米．
【解答】解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴＝，＝，
∵DC＝HG，
∴＝，
∴，
∴CA＝40（米），
∵＝，
∴，
∴AB＝22（米），
答：大雁塔的高度AB为22米．
【考点10 】图形的位似
47．如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．4B．10C．D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心，
∴＝，四边形ABCD与四边形EFGH相似，
∵，
∴＝，
∴＝，
∴四边形EFGH的周长：四边形ABCD的周长＝，
∴四边形EFGH的周长＝×25＝10．
故选：B．
48．如图，△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'＝2AA'，则△A′B′C′和△ABC的相似比为（ ）
A．1：4B．1：3C．4：9D．2：3
【答案】D
【解答】解：∵OA'＝2AA'，
∴OA：OA'＝2：3，
∵△A′B′C和△ABC是位似三角形，
∴AC∥A′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴＝＝，
故选：D．
49．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先将△ABC绕点（﹣1，0）顺时针旋转90度得到△A1B1C1，再以原点为位似中心作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，若△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1：2，则点A1的对应点A2的坐标是（ ）
A．（4，2）B．（6，4）
C．（6，4）或（﹣6，﹣4）D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
【答案】D
【解答】解：设点P的坐标为（﹣1，0），连接AP、A1P，过点A作AD⊥x轴于D，A1E⊥x轴于E，
由题意得：∠DAP+∠APD＝90°，∠EPA1+∠APD＝90°，
∴∠DAP＝∠EPA1，
在△DAP和△EPA1中，
，
∴△DAP≌△EPA1（AAS），
∴A1E＝DP＝1，PE＝AD＝3，
∴点A1的坐标为（2，1），
∵△A1B1C1与△A2B2C2是位似图形，位似比为1：2，
∴点A2的坐标是（4，2）或（﹣4，﹣2），
故选：D．
50．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（4，2）B．（5，1 ）C．（﹣4，2）D．（0，0）
【答案】A
【解答】解：如图所示：位似中心的坐标是（4，2）．
故选：A．
51．在平面直角坐标系中，点A（﹣6，2），B（﹣4，﹣6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，1）B．（﹣2，﹣3）
C．（﹣2，﹣3）或（2，3）D．（﹣3，1）或（3，﹣1）
【答案】D
【解答】解：∵点A（﹣6，2），B（﹣4，﹣6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣6×）或（﹣6×，2×），
即A'（﹣3，1）或（3，﹣1），
故选：D．
【考点11 】作图-位似
52．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．
（1）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O1A1B1，并写出点A1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1，并写出点A的对应点A2的坐标；
【答案】（1）画图见解析，A1（0，2）
（2）画图见解析，A2（4，2）
【解答】解：（1）如图所示△O1A1B1即为所求，A1（0，2）；
（2）如图所示，△OA2B2即为所求，A2（4，2）
53．如图，请画出△ABC的一个位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1以O为位似中心，且相似比为2：1．
【答案】见解析．
【解答】解：如图所示，△A1B1C1，△A'B'C'即为所求（作出一个即可）．
54．图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍；
（2）在图②中，在线段BC上作点D，使得CD＝3BD；
（3）在图③中，作△BEF∽△BAC，且相似比为3：4．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．
【解答】解：（1）如图①，△A'B'C即为所求．
（2）如图②，取格点M，N，使，连接MN交BC于点D，
可知△BDM∽△CDN，
∴，
∴CD＝3BD，
则点D即为所求．
（3）∵△BEF∽△BAC，且相似比为3：4，
∴，
如图③，△BEF即为所求．
【考点1】比例性质 【考点2】比例线段
【考点3】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【考点4】相似多边形的性质 【考点5】 相似三角形的概念
【考点6】相似三角形的判定 【考点7 】相似三角形的性质
【考点8 】相似三角形的判定和性质综合【考点9 】相似三角形的应用综合
【考点10 】图形的位似 【考点11 】作图-位似
【考点1】比例性质
1．已知，则的值为（ ）
A．5B．﹣5C．D．
【答案】B
【解答】解：∵，
∴p＝q，
∴＝＝＝﹣5．
故选：B．
2．已知5x＝3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A、∵＝，
∴3x＝5y，
故A不符合题意；
B、∵＝，
∴5x＝3y，
故B符合题意；
C、∵＝，
∴3x＝5y，
故C不符合题意；
D、∵＝，
∴xy＝15，
故D不符合题意；
故选：B．
3．，则的值为（ ）
A．B．C．﹣2D．2
【答案】D
【解答】解：∵，
∴a+2b＝4a，
∴b＝a，
∴＝＝2．
故选：D．
4．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵＝，
∴设a＝3k，b＝5k，
则＝＝＝．
故选：C．
【考点2】比例线段
5．下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．1cm，2cm，2cm，4cm
C．3cm，5cm，9cm，13cmD．1cm，2cm，2cm，3cm
【答案】B
【解答】解：∵1×4≠2×3，
∴选项A不成比例；
∵1×4＝2×2，
∴选项B成比例；
∵3×13≠5×9，
∴选项C不成比例；
∵3×1≠2×2，
∴选项D不成比例
故选：B．
6．已知线段a、b、c，当a＝4，b＝5时，则a、b的比例中项c等于（ ）
A．B．C．±6D．6
【答案】B
【解答】解：根据比例中项的概念，得c2＝ab＝20，
所以c＝±2，
又线段不能是负数，﹣2应舍去，
所以c＝2．
故选：B．
7．已知线段a，b，c，其中c是a，b的比例中项，若a＝3cm，b＝27cm，则线段c的长为（ ）
A．81cmB．9cmC．﹣9cmD．±9cm
【答案】B
【解答】解：∵c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝3cm，b＝27cm，
∴c2＝81，
∵c＞0，
∴c＝9cm．
故选：B．
8．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解答】解：∵，
∴b＝3a，d＝3c，
∴＝，
故选：B．
9．已知四个数2，﹣3，4，x成比例，则x的值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
【答案】B
【解答】解：由题意得，2：（﹣3）＝4：x，
∴2x＝﹣12，
∴x＝﹣6．
故选：B．
【考点3】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
10．已知直线DE分别交△ABC边AB、AC于D、E点，那么不能推出DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，故A不符合题意；
∵，
∴，
∴DE∥BC，故B不符合题意；
由不能推得DE∥BC，故C符合题意；
∵，
∴，
∴，即．
∴DE∥BC，故D不符合题意．
故选：C．
11．如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，，EF＝6，DF的长（ ）
A．3B．4C．5D．10
【答案】D
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
∴DE＝4，
∴DF＝DE+EF＝4+6＝10．
故选：D．
12．如图，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，则AC的长度是（ ）
A．12B．18C．15D．
【答案】B
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝18．
故选：B．
13．如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝12，则DF的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵，BD＝12，
∴，
解得：DF＝8，
故选：D．
14．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，若BD＝4，AD＝8，CE＝5，则AE的长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AD：DB＝AE：EC，
∵BD＝4，AD＝8，CE＝5，
∴8：4＝AE：5，
∴AE＝10．
故选：C．
【考点4】相似多边形的性质
15．如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，若∠A＝110°，∠C＝68°，∠B1＝88°，则∠D的度数为（ ）
A．74°B．84°C．94°D．104°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠B1＝88°，
∴∠B＝∠B1＝88°．
∵四边形ABCD的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，∠A＝110°，∠C＝68°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣110°﹣88°﹣68°＝94°．
故选：C．
16．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，如果矩形DMNC和矩形ABCD相似，则它们的相似比为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解答】解：设矩形ABCD的长AD＝x，宽AB＝y，
则DM＝AD＝x，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴，即 ，
即y2＝x2．
∴y：x＝1：＝．
故选：A．
17．已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（ ）
A．24cmB．27cmC．28cmD．32cm
【答案】A
【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的周长比是3：4，
设较大多边形的周长为为xcm，
由题意得，18：x＝3：4，
解得，x＝24，
故选：A．
18．两个相似五边形，一组对应边的长分别为4cm和6cm，若它们的面积之和为260cm2，则较大五边形的面积是（ ）
A．100cm2B．180cm2C．75cm2D．30cm2
【答案】B
【解答】解：∵两个相似五边形的一组对应边的长分别是4cm，6cm，
∴这两个相似五边形的相似比为2：3，
设较大的五边形的面积为x cm2，依据它们的面积之和为260cm2，
∴m+m＝260，
解得x＝180，
即较大的五边形的面积为180cm2．
故选：B．
19．如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD、BC的中点E、F的连线对折，要使对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则原矩形ABCD的长AD和宽DC的比应为（ ）
A．2：1B．：1C．：1D．1：1
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝AD，
∵矩形AEFB与原矩形ABCD相似，
∴＝，
∴＝，
∴AD2＝CD2，
∴AD2＝2CD2，
∴AD：CD＝：1，
故选：C．
【考点5】 相似三角形的概念
20．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，
A．因为，对应边，，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
B．因为，对应边，又∠A＝∠A，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，
故此选项符合题意；
C．因为，对应边，
即：，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
D．因为，对应边，，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
故选：B．
21．给出下列四个命题：
（1）等腰三角形都是相似三角形；
（2）直角三角形都是相似三角形；
（3）等腰直角三角形都是相似三角形；
（4）等边三角形都是相似三角形．其中真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：（3）（4）正确，
（3）符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
（4）符合三组对应边的比相等的两个三角形相似．
而（1）（2）不满足判定三角形相似的条件．
故选：B．
【考点6】相似三角形的判定
22．如图，在△AOB和△COD中，已知∠AOC＝∠BOD，则添加下列条件能判定△AOB和△COD相似的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠B＝∠BOCC．D．
【答案】A
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOB＝∠COD．
A、∠A＝∠D，对应的两角相等，可以证明，符合题意；
B、∠B＝∠BOC，不是对应角，不可以证明，不符合题意；
C、，不是对应边成比例，不可以证明，不符合题意；
D、，不是夹角的对应边成比例，不可以证明，不符合题意．
故选：A．
23．如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A＝∠CBDB．∠CBA＝∠CDB
C．AB•CD＝BD•BCD．BC2＝AC•CD
【答案】C
【解答】解：∵∠C是公共角，
∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B不符合题意，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意．
∵∠C＝∠C，
若再添加，即BC2＝AC⋅CD，可证明△CAB∽△CBD，故D不符合题意．
故选：C．
24．如图，AB＝AC，作△ADC，使得点B，D在AC异侧，且AD＝CD，∠ADC＝∠BAC，E是BC延长线上一点，连接AB交CD于点F．求证：△ABC∽△DAC．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD＝CD，
∴，
∵∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DAC．
25．如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
【答案】证明过程请看解答．
【解答】证明：∵AD•AC＝AB•AE，
∴＝，
∵∠DAE＝∠BAC．
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
26．如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE．
求证：△ABC∽△DAE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠CAB，
又∵∠B＝∠DAE，
∴△ABC∽△DAE．
27．如图8，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），且AP⊥PE，PE交边DC于点E．
（1）求证：①△ABP∽△PCE；②CE•AB＝PC•BP；
（2）若AP＝2PE，求证：△APE∽△PCE．
【答案】（1）①证明见解答过程；②证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠PCD＝90°，
∴∠PAB+∠APB＝90°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴∠EPC+∠APB＝90°．
∴∠PAB＝∠EPC，
∴△ABP∽△PCE；
②∵△ABP∽△PCE，
∴＝，
∴CE•AB＝PC•BP；
（2）∵△ABP∽△PCE，
∴＝＝，
∵AP＝2PE，
∴AB＝2PC，BP＝2CE，
∵AB＝BC，
∴BP＝PC＝2CE，
∴＝，
又∠APE＝∠C＝90°，
∴△APE∽△PCE．
28．在△ABC中，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F，E，连接EF．求证：
（1）△BAF∽△BCE；
（2）△BEF∽△BCA．
【答案】（1）（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AFB＝∠CEB＝90°．
∵∠B＝∠B，
∴△BAF∽△BCE．
（2）∵△BAF∽△BCE，
∴＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BCA．
【考点7 】相似三角形的性质
29．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
【答案】B
【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
30．若两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，则这两个三角形的周长的比为（ ）
A．2：3B．4：9C．16：81D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，
∴这两个三角形的相似比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为4：9；
故选：B．
31．已知△ADE与△ABC相似，且周长比为1：3，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
【答案】D
【解答】解：由题意可知△ADE与△ABC相似，且周长比为1：3，△ABC与△ADE的面积比为相似比的平方，故为1：9．
故选：D．
32．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）
A．16B．8C．2D．1
【答案】B
【解答】解：设另一个三角形的周长为x，则
4：x＝，
解得：x＝8．
故另一个三角形的周长为8，
故选：B．
33．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，
∴S△ABC：S△ADE＝1：3，
∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵CB＝，
∴DE＝．
故选：A．
34．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，P，Q分别是BC，CD上的点，CQ＝4，若△ABP与△PCQ相似，则BP的长为（ ）
A．3或B．3或12
C．3、12或D．3、12或
【答案】D
【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝9，BC＝AD＝15，
∵△ABP与△PCQ相似，
∴分△ABP∽△PCQ与△ABP∽△QCP两种情况求解：
①当△ABP∽△PCQ时，设BP＝x，则PC＝15﹣x，
∴，即，
解得：x＝3或x＝12，
②当△ABP∽△QCP时，设BP＝x，则PC＝15﹣x，
∴，即，
解得：，
综上所述，BP的长为3或12或．
故选：D．
【考点8 】相似三角形的判定和性质综合
35．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△CFB；
（2）若CF＝2，求AB的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AB的长是3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠E＝∠CBF，
∵∠A＝∠C，
∴△ABE∽△CFB．
（2）解：∵DE＝AD，AD＝CB，
∴DE＝CB，
∵DE∥CB，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴DF＝CF＝×2＝1，
∴AB＝CD＝CF+DF＝2+1＝3，
∴AB的长是3．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，矩形DEFG的顶点D，E在边AB上，顶点G，F分别在边AC，BC上．
（1）求证：；
（2）若AD＝GD，求△ADG与△FEB面积的比值．
【答案】（1）证明见解析；（2）9：4．
【解答】（1）证明：在矩形DEFG中，∠GDE＝∠FED＝90°，
∴∠GDA＝∠FEB＝90°，
∵∠C＝∠GDA＝90°，
∴∠A+∠AGD＝∠A+∠B＝90°，
∴∠AGD＝∠B，
在△ADG和△FEB中，
∵∠AGD＝∠B，∠GDA＝∠FEB＝90°，
∴△ADG∽△FEB，
∴＝；
（2）解：∵四边形DEFG为矩形，
∴GD＝EF，
∵△ADG∽△FEB，
∴＝（）2＝（）2＝．
故答案为：9：4．
37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AC＝3，AB＝4，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB
∴，
即，
∴AD＝．
38．如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，沿直线CE将△CBE翻折，使得点B落在AD边上，记作点F．
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）若，且CD＝10，求BC的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）14.5．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴∠CFD+∠DCF＝90°，
由折叠得：∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠AFE+∠CFD＝90°，
∴∠AFE＝∠DCF，
∴△AEF∽△DFC；
（2）解：∵△AEF∽△DFC，
∴＝＝，
∵，且CD＝10，
∴＝，
∴AF＝4，
由折叠得：BE＝EF，
设BE＝x，则AE＝10﹣x，EF＝BE＝x，
由勾股定理得：AE2+AF2＝EF2，
∴42+（10﹣x）2＝x2，
∴x＝5.8，
∴AE＝10﹣5.8＝4.2，
∴＝，
∴DF＝10.5，
∴BC＝AF+DF＝4+10.5＝14.5．
39．如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若BC＝12，EC＝6，AE＝4，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）8．
【解答】（1）证明：∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠D，
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED；
（2）解：∵△AEB∽△CED，
∴，
又∵BC＝CD，
∴，
即，
∴AB＝8．
【考点9 】相似三角形的应用综合
40．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（ ）米．
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解答】解：点O作镜面的法线FO，由入射角等于反射角可知∠COF＝∠DOF，
∵∠COA＝90°﹣∠COF，
∠DOB＝90°﹣∠DOF，
∴∠COA＝∠DOB，
又∵∠CAO＝∠OBD＝90°，
∴△ACO∽△BDO，
∴＝，
∵AC＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，
∴＝，
∴BD＝4米，
答：树高为4米，
故选：A．
41．如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m，则旗杆DE的高度为（ ）
A．9mB．10mC．11mD．12m
【答案】D
【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比，
∴＝，
∵AB＝2m，BC＝1m，EF＝6m，
∴＝，
∴DE＝12（m），
故选：D．
42．如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆30m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上7cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（ ）
A．3mB．4mC．5mD．6m
【答案】A
【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∴＝，
∵AM＝0.7m，AN＝30m，BC＝0.07m，
∴EF＝＝＝3（m）．
故选：A．
43．如图，我校小辰同学在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆FC测量学校教学楼的高度．若标杆FC＝2.5米，小辰同学眼高离地面AB＝1.5米测得DC＝23米，BC＝1米，请你帮他求出学校体育馆ED的高度．
【答案】学校体育馆ED的高度是25.5米．
【解答】解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.5米，FC＝2.5米，DC＝23米，BC＝1米，
∴FG＝2.5﹣1.5＝1（米），BD＝24米，
∵FG∥EH，
∴，，
解得：EH＝24米，
∴ED＝24+1.5＝25.5（米），
答：学校体育馆ED的高度是25.5米．
44．小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图，路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小明测得窗户距离地面高度BF＝0.6m，窗高BC＝1.4m，某一时刻，FD＝0.6m，DE＝2.4m，其中O、F、D、E四点在同一条直线上，C、B、F三点在同一条直线上，且OA⊥OE，CF⊥OE，请求出路灯的高度OA．
【答案】路灯的高度OA为4.8m．
【解答】解：∵OA⊥OE，BF⊥OE，
∴BF∥OA，
∴△DFB∽△DOA，△ECF∽△EAO，
∴＝，＝，
∴，＝，
∴OA＝OD＝4.8（m），
答：路灯的高度OA为4.8m．
45．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD．
（1）求证：△ABP∽△CDP．
（2）测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD．
【答案】（1）证明见解析；
（2）古城墙的高度CD为8米．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP，
∵光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，
∴∠APB＝∠CPD，
∴△ABP∽△CDP；
（2）解：∵△ABP∽△CDP，
∴，
∴，
∴CD＝8，
∴该古城墙的高度CD为8米．
46．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
【答案】22米．
【解答】解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴＝，＝，
∵DC＝HG，
∴＝，
∴，
∴CA＝40（米），
∵＝，
∴，
∴AB＝22（米），
答：大雁塔的高度AB为22米．
【考点10 】图形的位似
47．如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．4B．10C．D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心，
∴＝，四边形ABCD与四边形EFGH相似，
∵，
∴＝，
∴＝，
∴四边形EFGH的周长：四边形ABCD的周长＝，
∴四边形EFGH的周长＝×25＝10．
故选：B．
48．如图，△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'＝2AA'，则△A′B′C′和△ABC的相似比为（ ）
A．1：4B．1：3C．4：9D．2：3
【答案】D
【解答】解：∵OA'＝2AA'，
∴OA：OA'＝2：3，
∵△A′B′C和△ABC是位似三角形，
∴AC∥A′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴＝＝，
故选：D．
49．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先将△ABC绕点（﹣1，0）顺时针旋转90度得到△A1B1C1，再以原点为位似中心作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，若△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1：2，则点A1的对应点A2的坐标是（ ）
A．（4，2）B．（6，4）
C．（6，4）或（﹣6，﹣4）D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
【答案】D
【解答】解：设点P的坐标为（﹣1，0），连接AP、A1P，过点A作AD⊥x轴于D，A1E⊥x轴于E，
由题意得：∠DAP+∠APD＝90°，∠EPA1+∠APD＝90°，
∴∠DAP＝∠EPA1，
在△DAP和△EPA1中，
，
∴△DAP≌△EPA1（AAS），
∴A1E＝DP＝1，PE＝AD＝3，
∴点A1的坐标为（2，1），
∵△A1B1C1与△A2B2C2是位似图形，位似比为1：2，
∴点A2的坐标是（4，2）或（﹣4，﹣2），
故选：D．
50．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（4，2）B．（5，1 ）C．（﹣4，2）D．（0，0）
【答案】A
【解答】解：如图所示：位似中心的坐标是（4，2）．
故选：A．
51．在平面直角坐标系中，点A（﹣6，2），B（﹣4，﹣6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，1）B．（﹣2，﹣3）
C．（﹣2，﹣3）或（2，3）D．（﹣3，1）或（3，﹣1）
【答案】D
【解答】解：∵点A（﹣6，2），B（﹣4，﹣6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣6×）或（﹣6×，2×），
即A'（﹣3，1）或（3，﹣1），
故选：D．
【考点11 】作图-位似
52．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．
（1）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O1A1B1，并写出点A1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1，并写出点A的对应点A2的坐标；
【答案】（1）画图见解析，A1（0，2）
（2）画图见解析，A2（4，2）
【解答】解：（1）如图所示△O1A1B1即为所求，A1（0，2）；
（2）如图所示，△OA2B2即为所求，A2（4，2）
53．如图，请画出△ABC的一个位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1以O为位似中心，且相似比为2：1．
【答案】见解析．
【解答】解：如图所示，△A1B1C1，△A'B'C'即为所求（作出一个即可）．
54．图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍；
（2）在图②中，在线段BC上作点D，使得CD＝3BD；
（3）在图③中，作△BEF∽△BAC，且相似比为3：4．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．
【解答】解：（1）如图①，△A'B'C即为所求．
（2）如图②，取格点M，N，使，连接MN交BC于点D，
可知△BDM∽△CDN，
∴，
∴CD＝3BD，
则点D即为所求．
（3）∵△BEF∽△BAC，且相似比为3：4，
∴，
如图③，△BEF即为所求．
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