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考点08 角平分线的5大常考点题型归类-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）
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这是一份考点08 角平分线的5大常考点题型归类-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版），文件包含考点08角平分线的5大常考点题型归类-原卷版docx、考点08角平分线的5大常考点题型归类-解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
考点08 角平分线的5大常考点题型归类
1 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
2 角平分线的作法
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
3 角平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
考点1 角的平分线的性质-有关线段、角度和面积问题
考点2 角平分线的作法
考点3 角平分线的判定
考点4 角平分线的实际应用
考点5 角平分线的性质定理及其证明
考点1 角的平分线的性质-有关线段、角度和面积问题
1．（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考期末）如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是10，，则的面积是（ ）
A．2.5 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论．
【详解】解：如图
过点作，，垂足分别为、，
是角平分线，
，
设，
解得，
是中的中线，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角分线上的点到角的两边的距离相等．
2．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】如图，过D作于E，利用三角形的面积公式求出，再根据角平分线的性质得出答案．
【详解】解：如图，过D作于E，
∵，，
∴，
∴，
∵，即，是的角平分线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，，分别平分，过点且与垂直．若，，则的面积为（ ）
A．20 B．16 C．40 D．32
【答案】A
【分析】过点作于点，由平行线的性质可得，由角平分线的性质可得，再计算出的长度，最后由三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：过点作于点，如图所示，
，
，
分别平分，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质，是解题的关键．
4．（2021秋·广东江门·八年级统考阶段练习）在中，，BD是的角平分线，过点D作于点E，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得到，得出，代入求出即可．
【详解】解：，，
，
∵是的角平分线，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，O是内一点，且O到三边的距离相等（即），若，则（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【分析】根据题意可得，点O是三角形三条角平分线的交点，再由的度数可得的度数，再根据三角形的内角和等于即可求出的度数．
【详解】解：∵到三边、、的距离，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理是解答本题的关键．
6．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）如图，在中，，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、．分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作线段，交于点，则的面积是（ ）
A．20 B．10 C．5 D．2.5
【答案】C
【分析】作交于，由作图可得：为的平分线，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作交于，
，
由作图可得：为的平分线，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
7．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，
由角平分线的性质定理得：，
的三边，，长分别是，，，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
8．（2020秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，平分于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】过作交于，当于重合时，最小，即可求解．
【详解】解：如图，过作交于，
当于重合时，最小，
平分，，
，
的最小值为，
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，掌握定理是解题的关键．
9．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出为的外角平分线，然后列式计算求出，即可判断D选项．
【详解】解：，，
，
故A选项正确，不符合题意；
平分，
，
在中，，
，
故B选项错误，符合题意；
平分，
，
在中，，
故C选项正确，不符合题意；
、分别是和的平分线，
到、、的距离相等，
是的外角平分线，
，
故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键
考点2 角平分线的作法
10．（2022秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．说明的依据是 B．点M，N到的距离不相等
C． D．上任意一点到两边的距离相等
【答案】B
【分析】根据作图可得证明即可判断A；过点N作于点P，过点M作于点Q，证明，即可判断B；根据作图即可判断C；点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，证明即可判断D．
【详解】解：A、由作图可知：
∵，
∴，
∴，
故A正确，不符合题意；
B、过点N作于点P，过点M作于点Q，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故B错误，符合题意；
C、由作图可得：，故C正确，不符合题意；
D、点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴上任意一点到两边的距离相等，
故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等．
11．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，过直线外的点P作直线的平行线，下列作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，结合尺规作图的意义理解判断即可．
【详解】A、根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行判定，不符合题意；
C、是角的平分线作图，无法判定，符合题意；
D、
，
根据基本作图，以的点Q为圆心，以为半径画弧，交于点B，分别以P，B为圆心，以为半径画弧，二弧交于点Q，C，根据作图，得到
故都等边三角形，得到，根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，尺规作图，正确理解尺规作图，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
12．（2023·河南开封·统考模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
【答案】D
【分析】由作图可得：平分 可判断A，再求解 可得 可判断B，再证明 可判断C，过作于 再证明 再利用 ，可判断D 从而可得答案．
【详解】解：
由作图可得：平分 故A不符合题意；
故B不符合题意；
在的垂直平分线上，故C不符合题意；
过作于
平分
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
13．（2021秋·四川巴中·八年级校考期中）用尺规作一个角的平分线的示意图如图，能说明的依据是（ ）
A． B．
C． D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】A
【分析】如图所示，连接，利用证明，即可证明．
【详解】解：如图所示，连接，
由作图方法可知，
又∵，
∴，
∴，即，
故选A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用作图痕迹可判断，平分，加上为公共边，然后利用全等三角形的判定方法求解．
【详解】解：由作图痕迹得，平分，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
15．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，已知和线段，请用尺规作图法在线段上找一点，使得点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作的平分线，它与线段的交点即满足条件．
【详解】解：作的平分线，与线段的交点即为要找的点P，如图；
【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意分析出作角平分线是关键．
16．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使点到，边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】由题意，结合角平分线的性质可知，作的角平分线交于点E即可．
【详解】解：如图，点E为所作．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．
17．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）（1）作图（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
已知：，．
求作：射线，使射线与交于点C，且．
（2）说明
请根据你的作图，说明的道理．
（3）应用
若在中，，，则的面积为________．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）24
【分析】（1）根据角平分线的基本作法作图；
（2）连接和，由作图得，，利用证明，进而可得结论；
（3）过作交于，根据角平分线的性质可得，再由三角形的面积公式求解．
【详解】解：（1）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，连接，交于，
即为所求；
（2）连接和，
由作图得：，，
∵
∴，
∴
即：；
（3）过作交于，
∵，，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
考点3 角平分线的判定
18．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（ ）
A．45° B．48° C．60° D．66°
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质定理证得，，进而得出，从而判定平分，再利用外角的性质求出即可．
【详解】解：作于点F，于点H，于点G，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴平分，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线．
19．（2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点在内，且到三边的距离相等，可知是角平分线的交点，则，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵点在内，且到三边的距离相等，
∴是角平分线的交点，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
20．（2022秋·河南许昌·八年级统考期中）如图，用一把长方形直尺的一边压住射线，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线，两把直尺的另一边交于点P，则射线就是的平分线的依据是（ ）
A．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．等腰三角形中线、高线、角平分线合一
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
【答案】A
【分析】作，垂足分别为，根据已知得到，根据“在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”即可证明射线就是的平分线．
【详解】解：如图，作，垂足分别为，
∵两把直尺完全相同，
∴，
∵，
∴，
即射线就是的平分线．
故选：A
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，理解题意，根据题意作出辅助线得到是解题关键．
21．（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由证明得出，，①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，③正确；作于，于，则，即可判定，得出，由角平分线的判定方法得，假设平分，则可求出，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故④错误；即可得出结论．
【详解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，
即，
故①②正确；
由三角形的外角性质得：
，
，
，
故③正确；
作于，于，如图所示，
则，
在和中，
，
，
，
平分，
，
假设平分，则，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
，
，
而，故④错误；
正确的个数有个；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的外角性质、角平分线的判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，点是的中点，，，平分且，下列结论：；；；．结论中成立的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】过E作于F，根据角平分线定义即可判断①，根据线段中点定义即可判断③；求出平分，求出，即可判断②；取的中点M，连接，根据梯形中位线性质和直角三角形斜边上中线性质即可判断④．
【详解】过E作于F，
∵平分，
，故①正确；
∵点E是的中点，
，故③正确；
平分，
，
，
平分
，
故②正确；
取的中点M，连接，
∵E为的中点，
M为的中点，
，
，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，梯形的中位线性质和角平分线性质等知识点，能熟记角平分线性质和梯形中位线性质是解此题的关键，①角平分线上的点到角两边的距离相等，②梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半．
23．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，点B、C分别在的两边上，点D是内一点，，垂足分别为E、F，且．求证：点D在的平分线上．
【答案】见解析
【分析】证明，得，再根据角平分线的性质即可解决．
【详解】证明：∵，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点D在的平分线上；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是得到．
24．（2023秋·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E，F，，求证：是的角平分线．
【答案】见解析
【分析】首先可证明，再根据三角形角平分线的逆定理即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴和是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，直角三角形全等的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并灵活运用全等三角形的性质和判定定理．
25．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知垂足为，垂足为，，．
(1)求证：平分；
(2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得平分；
（2）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，结合，根据线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
平分；
（2）解：，
在和中
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，能正确根据全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
26．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点作于，
∵，平分，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴平分；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
考点4 角平分线的实际应用
27．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】C
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个．
【详解】解：
∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，
∴内角平分线的交点不满足条件；
如图：点P是两条外角平分线的交点，
过点P作，，，
∴，，
∴，
∴点P到的三边的距离相等，
∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有3个．
∴可供选择的地址有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
28．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三角形三个内角的角平分线的交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
29（2023·全国·八年级假期作业）如图，公路，公路交公路于，交公路于，若要建一汽车旅店到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．处 B．处 C．处 D．处
【答案】B
【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个．
【详解】解：和的平分线的交点到、、距离相等，
这两个角的平分线的交点满足条件；
和的平分线的交点到、、距离相等，
这两个角的平分线的交点满足条件；
满足这条件的点有2个；
故选：B．
【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
30．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图所示，三条笔直的公路，，两两相交，交点分别为点、点和点，要在三角形的区域内建一个到三条公路距离相等的仓库，请用直尺和圆规在图中画出点的位置（保留作图痕迹）并说明理由．
【答案】见解析
【分析】作△ABC的任意两个内角平分线，交于点P即可．
【详解】解：如图，点P即为所求；
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
31．（2022春·山东菏泽·八年级山东省郓城第一中学校考阶段练习）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？
【答案】1m
【分析】先连接角平分线交点与各个定点，然后过交点作各个边的高，根据三角形的面积和周长来求交点到各个边的距离．
【详解】如图，连接IA，IB，IC，作于一点D，于点E， 于点F
∵I为的三条角平分线的交点
∴IA，IB，IC分别为三个内角的角平分线
∴ID=IE=IF
∵，㎡
∴
即
∴
∵m
∴
∴m
∴ID=IE=IF=1m
即点I到每条边的距离为1m．
【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，解题的关键是利用三角形的面积联系三角形的周长求得高．
32．（2022秋·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
【答案】(1)=
(2)见解析
【分析】（1）根据题目挖掘条件证明△ACD≌△ABD即可
（2）在AB边上取点E，使AC=AE，证明△ACD≌△AED，利用全等对应角和∠ABD+∠ACD=180°得到∠DEB=∠B，从而推出结论
【详解】（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°
∴∠C=90°
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠BAD
∵AD=AD
∴△ACD≌△ABD（AAS）
∴BD=CD
（2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD
∵AD=AD，AC=AE
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴DC=DE，∠AED=∠C
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°
∴∠DEB=∠B
∴DE=DB
∴DB=DC
【点睛】本题考查全等三角形的证明，以及角平分线常见辅助线；注意第二小题难点在于辅助线
33．（2023春·八年级课时练习）小明的学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
(1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：；
(2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数；
(3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点，使得，角平分线交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点．若，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)25°，25°；
(3)55°
【分析】（1）由余角的性质可得∠B＝∠ACD，由角平分线的性质和外角的性质可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求∠GAF＝130°，由角平分线的性质可求∠GAF＝65°，由余角的性质可求解；
（3）由平角的性质和角平分线的性质可求∠EAN＝90°，由外角的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
（2）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠GAB＝∠B+∠ACB＝40°+90°＝130°，
∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF130°＝65°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠GAF＝90°﹣65°＝25°，
又∵∠CAE＝∠GAF＝65°，∠ACB＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣65°＝25°；
（3）证明：∵C、A、G三点共线，AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
考点5 角平分线的性质定理及其证明
34．（2021春·七年级课时练习）中，三个角的平分线交于O点，于E，试猜想和的关系，并说明理由．
【答案】和是相等关系．理由见解析．
【分析】在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，利用三角形的内角和定理，得出∠ABO＋∠BCO＋∠CAO＝90°，由，得出，根据外角性质得出，进而得出结论．
【详解】和是相等关系，
∵在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，
∴∠ABO＝∠CBO，∠DAC＝∠BAD，∠BCN＝∠ACN，
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠ABO＋∠BCO＋∠CAO＝90°，
，
，
，
是的外角，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
35．（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考阶段练习）如图，在中，，AD平分，于点F，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据角平分线性质求出DE＝DF，根据HL推出△BED≌△CFD即可．
【详解】证明：∵在△AEC中，∠E＝90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解题关键是推出△BED≌△CFD，注意：全等三角形的对应边相等．
36．（2021秋·江苏南京·七年级南京外国语学校仙林分校校考期末）如图，直线、相交于点，，平分.
（1）若，求的度数；
（2）是的角平分线吗？为什么？
【答案】（1）；（2）是，见解析.
【分析】(1)由，得∠AOE= 90°，故可求得∠EOF；
(2)欲证OB是∠DOF的角平分线，即证∠DOB=∠FOB，因为∠AOC与∠BOD是对顶角，得∠AOC=∠BOD，故证∠AOC=∠BOF即可得出结果．
【详解】（1）∵，
∴.
又∵，
∴；
（2）∵，
∴.
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
【点睛】本题主要考查垂直的定义、角平分线的定义、对顶角的性质以及角的和差关系，熟练掌握垂直的定义、角平分线的定义、对顶角的性质以及角的和差关系是解决本题的关键．
37．（2021春·湖北十堰·七年级统考期末）已知，中，，平分，是上一点，于，
（1）当与重合时，如图1，
①若，，求的度数；
②问与，之间有何关系？请证明你的结论；
（2）如图2，是延长线上一点，若，于点，试探究与的关系．
【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）
【分析】（1）①首先根据三角形内角和求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CAE的度数，然后根据直角三角形中两锐角互余求出∠CAN的度数，即可求出∠EAN的度数；②首先根据角平分线的性质得到∠BAE=，然后根据三角形内角和得到∠BAC=180°-∠B-∠C，然后根据∠AEC=∠B+∠BAE，最后根据∠CMN+∠AEN=90°通过角度之间的等量代换即可表示出与，之间的关键．
（2）根据直角三角形CMN和CDF得到∠CMN=∠D，然后根据外角的性质和即可得出与的关系．
【详解】解：（1）①∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②．
证明：∵平分，∴，
∵
∴
∴
；
（2）∵于点，
∴∠CFD=90°，
又∵∠MNC=90°，∠MCN=∠DCF，
∴∠CMN=∠D，
又∵∠ACB=∠D+∠CAD，∠D=∠CAD，
∴∠ACB=2∠D，
∴∠ACB=2∠CMN，即∠CMN=∠ACB．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的性质．
38．（2020秋·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考阶段练习）已知，在中，，，平分，平分．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接，作，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠DBC、∠BCD，再利用三角形内角和定理求出答案；
（2）作，根据BD平分且得到DF=DE=1，同理得到DG=DF=1，再利用三角形的面积公式求出答案．
【详解】（1）平分，
，
平分，
，
；
（2）过点作，垂直分别为,
平分，
，
平分，
，
．
【点睛】此题考查角平分线的计算，角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形内角和定理，正确掌握角的平分线的性质是解题的关键．
39．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】
已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系．
【初步感知】
如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、
、之间的数量关系是．
【问题再探】
（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；
（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________；
【拓展延伸】
（1）如图4，、的外角平分线相交于点P．
①若，，则________°；
②若且，则________°；
③直接写出与、之间的数量关系；
（2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）．
【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2）
【分析】[问题再探]（1）如图2中，结论：．连接，延长到．利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）利用四边形内角和定理解决问题即可．
[拓展延伸]（1）①求出，再利用结论，构建关系式即可解决问题．
②根据，可得结论．
③根据，可得结论．
（2）结论：．设，．构建方程组求解即可．
【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：．
理由：连接，延长到．
，，
．
（2）如图3中，结论：．
理由：连接．
，，
，
．
[拓展延伸]①如图4中，
，，
，
、的外角平分线相交于点，
，
，
故答案为：25．
②，，
，
，
故答案为：20．
③，
．
（2）如图5中，结论：．
理由：设，．
则有．
②①可得，，
即，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形转化为三角形解决，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
考点08 角平分线的5大常考点题型归类
1 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
2 角平分线的作法
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
3 角平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
考点1 角的平分线的性质-有关线段、角度和面积问题
考点2 角平分线的作法
考点3 角平分线的判定
考点4 角平分线的实际应用
考点5 角平分线的性质定理及其证明
考点1 角的平分线的性质-有关线段、角度和面积问题
1．（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考期末）如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是10，，则的面积是（ ）
A．2.5 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论．
【详解】解：如图
过点作，，垂足分别为、，
是角平分线，
，
设，
解得，
是中的中线，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角分线上的点到角的两边的距离相等．
2．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】如图，过D作于E，利用三角形的面积公式求出，再根据角平分线的性质得出答案．
【详解】解：如图，过D作于E，
∵，，
∴，
∴，
∵，即，是的角平分线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，，分别平分，过点且与垂直．若，，则的面积为（ ）
A．20 B．16 C．40 D．32
【答案】A
【分析】过点作于点，由平行线的性质可得，由角平分线的性质可得，再计算出的长度，最后由三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：过点作于点，如图所示，
，
，
分别平分，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质，是解题的关键．
4．（2021秋·广东江门·八年级统考阶段练习）在中，，BD是的角平分线，过点D作于点E，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得到，得出，代入求出即可．
【详解】解：，，
，
∵是的角平分线，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，O是内一点，且O到三边的距离相等（即），若，则（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【分析】根据题意可得，点O是三角形三条角平分线的交点，再由的度数可得的度数，再根据三角形的内角和等于即可求出的度数．
【详解】解：∵到三边、、的距离，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理是解答本题的关键．
6．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）如图，在中，，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、．分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作线段，交于点，则的面积是（ ）
A．20 B．10 C．5 D．2.5
【答案】C
【分析】作交于，由作图可得：为的平分线，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作交于，
，
由作图可得：为的平分线，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
7．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，
由角平分线的性质定理得：，
的三边，，长分别是，，，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
8．（2020秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，平分于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】过作交于，当于重合时，最小，即可求解．
【详解】解：如图，过作交于，
当于重合时，最小，
平分，，
，
的最小值为，
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，掌握定理是解题的关键．
9．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出为的外角平分线，然后列式计算求出，即可判断D选项．
【详解】解：，，
，
故A选项正确，不符合题意；
平分，
，
在中，，
，
故B选项错误，符合题意；
平分，
，
在中，，
故C选项正确，不符合题意；
、分别是和的平分线，
到、、的距离相等，
是的外角平分线，
，
故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键
考点2 角平分线的作法
10．（2022秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．说明的依据是 B．点M，N到的距离不相等
C． D．上任意一点到两边的距离相等
【答案】B
【分析】根据作图可得证明即可判断A；过点N作于点P，过点M作于点Q，证明，即可判断B；根据作图即可判断C；点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，证明即可判断D．
【详解】解：A、由作图可知：
∵，
∴，
∴，
故A正确，不符合题意；
B、过点N作于点P，过点M作于点Q，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故B错误，符合题意；
C、由作图可得：，故C正确，不符合题意；
D、点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴上任意一点到两边的距离相等，
故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等．
11．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，过直线外的点P作直线的平行线，下列作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，结合尺规作图的意义理解判断即可．
【详解】A、根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行判定，不符合题意；
C、是角的平分线作图，无法判定，符合题意；
D、
，
根据基本作图，以的点Q为圆心，以为半径画弧，交于点B，分别以P，B为圆心，以为半径画弧，二弧交于点Q，C，根据作图，得到
故都等边三角形，得到，根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，尺规作图，正确理解尺规作图，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
12．（2023·河南开封·统考模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
【答案】D
【分析】由作图可得：平分 可判断A，再求解 可得 可判断B，再证明 可判断C，过作于 再证明 再利用 ，可判断D 从而可得答案．
【详解】解：
由作图可得：平分 故A不符合题意；
故B不符合题意；
在的垂直平分线上，故C不符合题意；
过作于
平分
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
13．（2021秋·四川巴中·八年级校考期中）用尺规作一个角的平分线的示意图如图，能说明的依据是（ ）
A． B．
C． D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】A
【分析】如图所示，连接，利用证明，即可证明．
【详解】解：如图所示，连接，
由作图方法可知，
又∵，
∴，
∴，即，
故选A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用作图痕迹可判断，平分，加上为公共边，然后利用全等三角形的判定方法求解．
【详解】解：由作图痕迹得，平分，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
15．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，已知和线段，请用尺规作图法在线段上找一点，使得点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作的平分线，它与线段的交点即满足条件．
【详解】解：作的平分线，与线段的交点即为要找的点P，如图；
【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意分析出作角平分线是关键．
16．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使点到，边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】由题意，结合角平分线的性质可知，作的角平分线交于点E即可．
【详解】解：如图，点E为所作．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．
17．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）（1）作图（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
已知：，．
求作：射线，使射线与交于点C，且．
（2）说明
请根据你的作图，说明的道理．
（3）应用
若在中，，，则的面积为________．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）24
【分析】（1）根据角平分线的基本作法作图；
（2）连接和，由作图得，，利用证明，进而可得结论；
（3）过作交于，根据角平分线的性质可得，再由三角形的面积公式求解．
【详解】解：（1）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，连接，交于，
即为所求；
（2）连接和，
由作图得：，，
∵
∴，
∴
即：；
（3）过作交于，
∵，，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
考点3 角平分线的判定
18．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（ ）
A．45° B．48° C．60° D．66°
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质定理证得，，进而得出，从而判定平分，再利用外角的性质求出即可．
【详解】解：作于点F，于点H，于点G，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴平分，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线．
19．（2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点在内，且到三边的距离相等，可知是角平分线的交点，则，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵点在内，且到三边的距离相等，
∴是角平分线的交点，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
20．（2022秋·河南许昌·八年级统考期中）如图，用一把长方形直尺的一边压住射线，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线，两把直尺的另一边交于点P，则射线就是的平分线的依据是（ ）
A．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．等腰三角形中线、高线、角平分线合一
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
【答案】A
【分析】作，垂足分别为，根据已知得到，根据“在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”即可证明射线就是的平分线．
【详解】解：如图，作，垂足分别为，
∵两把直尺完全相同，
∴，
∵，
∴，
即射线就是的平分线．
故选：A
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，理解题意，根据题意作出辅助线得到是解题关键．
21．（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由证明得出，，①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，③正确；作于，于，则，即可判定，得出，由角平分线的判定方法得，假设平分，则可求出，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故④错误；即可得出结论．
【详解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，
即，
故①②正确；
由三角形的外角性质得：
，
，
，
故③正确；
作于，于，如图所示，
则，
在和中，
，
，
，
平分，
，
假设平分，则，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
，
，
而，故④错误；
正确的个数有个；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的外角性质、角平分线的判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，点是的中点，，，平分且，下列结论：；；；．结论中成立的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】过E作于F，根据角平分线定义即可判断①，根据线段中点定义即可判断③；求出平分，求出，即可判断②；取的中点M，连接，根据梯形中位线性质和直角三角形斜边上中线性质即可判断④．
【详解】过E作于F，
∵平分，
，故①正确；
∵点E是的中点，
，故③正确；
平分，
，
，
平分
，
故②正确；
取的中点M，连接，
∵E为的中点，
M为的中点，
，
，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，梯形的中位线性质和角平分线性质等知识点，能熟记角平分线性质和梯形中位线性质是解此题的关键，①角平分线上的点到角两边的距离相等，②梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半．
23．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，点B、C分别在的两边上，点D是内一点，，垂足分别为E、F，且．求证：点D在的平分线上．
【答案】见解析
【分析】证明，得，再根据角平分线的性质即可解决．
【详解】证明：∵，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点D在的平分线上；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是得到．
24．（2023秋·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E，F，，求证：是的角平分线．
【答案】见解析
【分析】首先可证明，再根据三角形角平分线的逆定理即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴和是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，直角三角形全等的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并灵活运用全等三角形的性质和判定定理．
25．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知垂足为，垂足为，，．
(1)求证：平分；
(2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得平分；
（2）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，结合，根据线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
平分；
（2）解：，
在和中
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，能正确根据全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
26．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点作于，
∵，平分，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴平分；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
考点4 角平分线的实际应用
27．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】C
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个．
【详解】解：
∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，
∴内角平分线的交点不满足条件；
如图：点P是两条外角平分线的交点，
过点P作，，，
∴，，
∴，
∴点P到的三边的距离相等，
∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有3个．
∴可供选择的地址有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
28．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三角形三个内角的角平分线的交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
29（2023·全国·八年级假期作业）如图，公路，公路交公路于，交公路于，若要建一汽车旅店到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．处 B．处 C．处 D．处
【答案】B
【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个．
【详解】解：和的平分线的交点到、、距离相等，
这两个角的平分线的交点满足条件；
和的平分线的交点到、、距离相等，
这两个角的平分线的交点满足条件；
满足这条件的点有2个；
故选：B．
【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
30．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图所示，三条笔直的公路，，两两相交，交点分别为点、点和点，要在三角形的区域内建一个到三条公路距离相等的仓库，请用直尺和圆规在图中画出点的位置（保留作图痕迹）并说明理由．
【答案】见解析
【分析】作△ABC的任意两个内角平分线，交于点P即可．
【详解】解：如图，点P即为所求；
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
31．（2022春·山东菏泽·八年级山东省郓城第一中学校考阶段练习）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？
【答案】1m
【分析】先连接角平分线交点与各个定点，然后过交点作各个边的高，根据三角形的面积和周长来求交点到各个边的距离．
【详解】如图，连接IA，IB，IC，作于一点D，于点E， 于点F
∵I为的三条角平分线的交点
∴IA，IB，IC分别为三个内角的角平分线
∴ID=IE=IF
∵，㎡
∴
即
∴
∵m
∴
∴m
∴ID=IE=IF=1m
即点I到每条边的距离为1m．
【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，解题的关键是利用三角形的面积联系三角形的周长求得高．
32．（2022秋·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
【答案】(1)=
(2)见解析
【分析】（1）根据题目挖掘条件证明△ACD≌△ABD即可
（2）在AB边上取点E，使AC=AE，证明△ACD≌△AED，利用全等对应角和∠ABD+∠ACD=180°得到∠DEB=∠B，从而推出结论
【详解】（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°
∴∠C=90°
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠BAD
∵AD=AD
∴△ACD≌△ABD（AAS）
∴BD=CD
（2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD
∵AD=AD，AC=AE
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴DC=DE，∠AED=∠C
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°
∴∠DEB=∠B
∴DE=DB
∴DB=DC
【点睛】本题考查全等三角形的证明，以及角平分线常见辅助线；注意第二小题难点在于辅助线
33．（2023春·八年级课时练习）小明的学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
(1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：；
(2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数；
(3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点，使得，角平分线交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点．若，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)25°，25°；
(3)55°
【分析】（1）由余角的性质可得∠B＝∠ACD，由角平分线的性质和外角的性质可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求∠GAF＝130°，由角平分线的性质可求∠GAF＝65°，由余角的性质可求解；
（3）由平角的性质和角平分线的性质可求∠EAN＝90°，由外角的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
（2）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠GAB＝∠B+∠ACB＝40°+90°＝130°，
∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF130°＝65°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠GAF＝90°﹣65°＝25°，
又∵∠CAE＝∠GAF＝65°，∠ACB＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣65°＝25°；
（3）证明：∵C、A、G三点共线，AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
考点5 角平分线的性质定理及其证明
34．（2021春·七年级课时练习）中，三个角的平分线交于O点，于E，试猜想和的关系，并说明理由．
【答案】和是相等关系．理由见解析．
【分析】在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，利用三角形的内角和定理，得出∠ABO＋∠BCO＋∠CAO＝90°，由，得出，根据外角性质得出，进而得出结论．
【详解】和是相等关系，
∵在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，
∴∠ABO＝∠CBO，∠DAC＝∠BAD，∠BCN＝∠ACN，
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠ABO＋∠BCO＋∠CAO＝90°，
，
，
，
是的外角，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
35．（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考阶段练习）如图，在中，，AD平分，于点F，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据角平分线性质求出DE＝DF，根据HL推出△BED≌△CFD即可．
【详解】证明：∵在△AEC中，∠E＝90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解题关键是推出△BED≌△CFD，注意：全等三角形的对应边相等．
36．（2021秋·江苏南京·七年级南京外国语学校仙林分校校考期末）如图，直线、相交于点，，平分.
（1）若，求的度数；
（2）是的角平分线吗？为什么？
【答案】（1）；（2）是，见解析.
【分析】(1)由，得∠AOE= 90°，故可求得∠EOF；
(2)欲证OB是∠DOF的角平分线，即证∠DOB=∠FOB，因为∠AOC与∠BOD是对顶角，得∠AOC=∠BOD，故证∠AOC=∠BOF即可得出结果．
【详解】（1）∵，
∴.
又∵，
∴；
（2）∵，
∴.
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
【点睛】本题主要考查垂直的定义、角平分线的定义、对顶角的性质以及角的和差关系，熟练掌握垂直的定义、角平分线的定义、对顶角的性质以及角的和差关系是解决本题的关键．
37．（2021春·湖北十堰·七年级统考期末）已知，中，，平分，是上一点，于，
（1）当与重合时，如图1，
①若，，求的度数；
②问与，之间有何关系？请证明你的结论；
（2）如图2，是延长线上一点，若，于点，试探究与的关系．
【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）
【分析】（1）①首先根据三角形内角和求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CAE的度数，然后根据直角三角形中两锐角互余求出∠CAN的度数，即可求出∠EAN的度数；②首先根据角平分线的性质得到∠BAE=，然后根据三角形内角和得到∠BAC=180°-∠B-∠C，然后根据∠AEC=∠B+∠BAE，最后根据∠CMN+∠AEN=90°通过角度之间的等量代换即可表示出与，之间的关键．
（2）根据直角三角形CMN和CDF得到∠CMN=∠D，然后根据外角的性质和即可得出与的关系．
【详解】解：（1）①∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②．
证明：∵平分，∴，
∵
∴
∴
；
（2）∵于点，
∴∠CFD=90°，
又∵∠MNC=90°，∠MCN=∠DCF，
∴∠CMN=∠D，
又∵∠ACB=∠D+∠CAD，∠D=∠CAD，
∴∠ACB=2∠D，
∴∠ACB=2∠CMN，即∠CMN=∠ACB．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的性质．
38．（2020秋·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考阶段练习）已知，在中，，，平分，平分．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接，作，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠DBC、∠BCD，再利用三角形内角和定理求出答案；
（2）作，根据BD平分且得到DF=DE=1，同理得到DG=DF=1，再利用三角形的面积公式求出答案．
【详解】（1）平分，
，
平分，
，
；
（2）过点作，垂直分别为,
平分，
，
平分，
，
．
【点睛】此题考查角平分线的计算，角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形内角和定理，正确掌握角的平分线的性质是解题的关键．
39．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】
已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系．
【初步感知】
如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、
、之间的数量关系是．
【问题再探】
（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；
（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________；
【拓展延伸】
（1）如图4，、的外角平分线相交于点P．
①若，，则________°；
②若且，则________°；
③直接写出与、之间的数量关系；
（2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）．
【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2）
【分析】[问题再探]（1）如图2中，结论：．连接，延长到．利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）利用四边形内角和定理解决问题即可．
[拓展延伸]（1）①求出，再利用结论，构建关系式即可解决问题．
②根据，可得结论．
③根据，可得结论．
（2）结论：．设，．构建方程组求解即可．
【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：．
理由：连接，延长到．
，，
．
（2）如图3中，结论：．
理由：连接．
，，
，
．
[拓展延伸]①如图4中，
，，
，
、的外角平分线相交于点，
，
，
故答案为：25．
②，，
，
，
故答案为：20．
③，
．
（2）如图5中，结论：．
理由：设，．
则有．
②①可得，，
即，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形转化为三角形解决，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
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考点14 整式的乘法19大考点归类-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）： 这是一份考点14 整式的乘法19大考点归类-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版），共8页。试卷主要包含了科学计数法等内容，欢迎下载使用。
