人教版八年级数学上册重难考点微专题01角平分线+平行线通关专练特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点微专题01角平分线+平行线通关专练特训(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，则线段EF的长是（ ）

A．1B．2C．3D．4
2．（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F则CF的长为（ ）

A．2B．3C．3.5D．4
3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为（ ）

A．2B．1C．3D．4
4．（2023春·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）

A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
5．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，BC⊥OB于点C．若EC=1，则OF=（ ）
A．2B．1.5C．3D．1
6．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点B，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=3，AD=4，则EF的长是（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AB+AC=8，则△ADE的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．（2023春·海南海口·九年级海口实验中学校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，BC=4，点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥BC交AB于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（ ）
A．107B．157C．207D．257
9．（2023春·河南商丘·九年级专题练习）如图，△ABC中，D、E分别BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=8，则DF的长是（ ）
A．2B．3C．52D．4
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，若AB=12，DE=7，则AE的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．（2023春·江苏扬州·七年级期中）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．不确定
12．（2022秋·江苏·八年级期末）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB=15，则AC为（ ）
A．15B．18C．20D．23
13．（2021秋·河南新乡·八年级校考期中）如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE=7，AD=5，则AB=（ ）
A．10B．12C．14D．16
14．（2022·安徽·统考二模）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线BD，CD交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．若BE=2，CF=3，BC=9，则AE的长为（ ）
A．2.5B．4.5C．3.75D．6.75
15．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E，F为AB上一点，连接DF、EF．已知DC=5，CE=12，则△DEF的面积（ ）
A．30B．32.5C．60D．78
二、填空题
16．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，则FG的长为 __．

17．（2023春·山西太原·八年级山西实验中学校考阶段练习）如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，则△FEC是______．
18．（2023春·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，DE为△ABC的中位线，且BF平分∠ABC交DE于点F．若AB=6，BC=10，则EF=_____________．
19．（2023春·陕西西安·八年级西安市华山中学校考阶段练习）如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC，E点在AB边上，如果△BED周长为25cm，BD=8cm，则AB=___________cm．
20．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC=35，EF=5，DE=13，则△EBD的面积为________．
21．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D、交AC于F，若AB=4，AC=3，则△ADF周长为_____．
22．（2023春·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，交AC于点E，若BC=9，则AE的长为______.
23．（2020秋·江苏南京·八年级南京第五初中校考阶段练习）如图，已知△ABC，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC＝3，AB＝4，BC＝5，则DE的长为________．
24．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E．
（1）若AE＝4，则DE的长为______；
（2）若AB＝10，则DE的长为______．
25．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10cm，那么BC的长为 _____．
三、解答题
26．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．求证：△ACD为等腰三角形．

27．（2023春·上海闵行·七年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，已知BD平分∠ABC，DE∥BC，点M是BD的中点．请说明EM⊥BD．

解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠CBD=______（角平分线的意义）．
因为DE∥BC（已知），
所以∠CBD=∠BDE（______）．
所以∠BDE=______（______）．
所以EB=ED（______）．
因为点M是BD的中点（已知），
所以EM⊥BD（______）．
28．（2023春·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．

(1)若∠B=37°，求∠CAD的度数；
(2)若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．
29．（2023春·广东清远·八年级统考期中）请将下列证明过程补充完整．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC，求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（ ），
∠2=∠C（ ），
∵AD平分∠CAE，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∴∠B=∠C（ ），
∴AB=AC（ ）．
30．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知△ABC中，过点B作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，作DE∥AC交AB于E．求证：AE=BE．

31．（2023春·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，与射线OA，OB分别交于点C，D，再分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点N，画射线ON，过点N作MN∥OB，交OA于点M．
(1)射线ON是∠AOB的 ；
(2)证明：OM=MN．
32．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC．
(1)求证：DB=DE；
(2)若∠A=60°，∠C=50°，求∠BED的大小．
33．（2023秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如右图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
(1)求证：BE=DE；
(2)若∠A=75°，∠C=37°，求∠BDE的度数．
34．（2022秋·重庆·八年级校考期中）尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在△ABC外，连接AF、AD、BD，且AF∥BC，∠ABD=∠CAF，BD=AC．
(1)用尺规完成以下基本作图：
作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，求证：AD=CE；请完善下面的证明过程．
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=__________．
∵AF∥BC．
∴∠CBE=__________．
∴∠ABE=∠AEB．
∴__________．
在△ACE和△BDA中，
AE=AB∠ABD=∠CAF__________
∴△ACE≌△BDA．
∴__________．
35．（2021春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
(1)若∠C=36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：EF=EC．
微专题01 角平分线+平行线通关专练
一、单选题
1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，则线段EF的长是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由角的等量关系可分别得出△ABE和△DCF是等腰三角形，得出AB=AE，DC=DF，再结合AB=4，AD=6，利用线段的和差即可解决．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=4，
∴∠DFC=∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC=4，
同理可证：AE=AB=4，
∴EF=AE+DF−AD=4+4−6=2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
2．（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F则CF的长为（ ）

A．2B．3C．3.5D．4
【答案】B
【分析】直接利用平行四边形的性质结合角平分线的性质得出CD=AB=6，∠DAF=∠F，进而求出DF=AD=9的长即可由FC=DF−CD得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD=9，
∴FC=DF−CD=9−3=3，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．利用平行线与角平分线得出∠DAF=∠F是解题的关键．
3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为（ ）

A．2B．1C．3D．4
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠DBO=∠BOD,∠ECO=∠COE，进而可得BD=OD,CE=OE，即得DE=BD+CE，再结合已知数据求解即可.
【详解】解：∵OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠CBO,∠EOC=∠BCO，
∴∠DBO=∠BOD,∠ECO=∠COE，
∴BD=OD,CE=OE，
∴DE=DO+EO=BD+CE，
∵DE=5，BD=3，
∴CE=DE−BD=5−3=2；
故选：A.
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定等知识，属于常见题型，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键.
4．（2023春·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）

A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质得到AD∥CB，BC=AD=8cm，CD=AB=5cm，再利用平行线的性质和角平分线的定义得到∠DEC=∠EDC，进而求得CE=CD=5cm即可求解．
【详解】解：在▱ABCD中，AD∥CB，BC=AD=8cm，CD=AB=5cm，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，则∠DEC=∠EDC，
∴CE=CD=5cm，
∴BE=BC−CE=3cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的形、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定，证得CE=CD是解答的关键．
5．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，BC⊥OB于点C．若EC=1，则OF=（ ）
A．2B．1.5C．3D．1
【答案】A
【分析】过E点作EH⊥OA于H点，根据角平分线的性质得到EH=EC=1，再根据平行线的性质得到∠FEO=∠BOE=15°，则FE=FO，接着计算出∠EFH=30°，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到EF=2，从而得到OF的长．
【详解】解：过E点作EH⊥OA于H点，如图，
∵∠AOE=∠BOE=15°，
∴OE平分∠AOB，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，
∵EF∥OB，
∴∠FEO=∠BOE=15°，
∴∠FEO=∠FOE，
∴FE=FO，
∵∠EFH=∠FEO+∠FOE=30°，
∴EF=2EH=2，
∴OF=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质．
6．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点B，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=3，AD=4，则EF的长是（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质证明DF=CD，AE=AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴∠DFC=∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC=3，
同理可证：AE=AB=3，
∵AD=4，
∴AF=AD−DF=4−3=1，DE=AD−AE=4−3=1，
∴EF=4−1−1=2，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AB+AC=8，则△ADE的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，平行线的性质得到∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，等量代换得到∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，根据等腰三角形的判定定理得到BD=FD，CE=FE，即可得到结论．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，
∵DE∥BC，
∴∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，
∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，
∴BD=FD，CE=FE，
∵AB+AC=8，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE
=AD+BD+CE+AE=AB+AC
=8．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，证明BD=FD，CE=FE是解本题的关键．
8．（2023春·海南海口·九年级海口实验中学校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，BC=4，点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥BC交AB于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（ ）
A．107B．157C．207D．257
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD=∠BDQ，得到QB=QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=AB2−BC2=3，
∵PQ∥BC，
∴∠CBD=∠BDQ，
∵ BD平分∠ABC时，
∴ ∠CBD=∠QBD，
∴∠QBD=∠BDQ，
∴QB=QD，
∵ D为线段PQ的中点，
∴QP=2QD=2QB，
∵PQ∥BC，
∴△CPQ∼△CAB，
∴APAC=AQAB=PQBC，即AP3=5−QB5=2QB4，
解得QB=107，AP=157，
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9．（2023春·河南商丘·九年级专题练习）如图，△ABC中，D、E分别BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=8，则DF的长是（ ）
A．2B．3C．52D．4
【答案】D
【分析】首先根据条件D、E分别是BC、AC的中点可得DE∥AB，再求出∠BFD=∠DBF，根据等角对等边可得到DB=DF．
【详解】解：∵△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，BD=12BC=4，
∴∠ABF=∠BFD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABF，
∴∠BFD=∠DBF，
∴DB=DF=4，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是证明DE∥AB，可得到∠BFD=∠DBF．
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，若AB=12，DE=7，则AE的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】由角平分线的定义和平行线的性质，得到∠ABD=∠EDB，则BE=DE=7，即可求出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠ABD=∠EDB，
∴BE=DE=7，
∴AE=AB−BE=12−7=5；
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是掌握所学的知识进行计算．
11．（2023春·江苏扬州·七年级期中）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．不确定
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义和MN∥BC可以得出MB=ME，NC=NE，继而可以得出△AMN的周长=AB+AC，从而可以得出答案．
【详解】解：∵MN∥BC，
∴∠MEB=∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠MBE=∠EBC，
∴∠MEB=∠MBE．
∴MB=ME．
同理，NC=NE，
∴C△AMN=AM+ME+EN+AN=AB+AC=9．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等角对等边，利用角平分线及平行线的性质得出∠MEB=∠MBE是解题的关键.
12．（2022秋·江苏·八年级期末）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB=15，则AC为（ ）
A．15B．18C．20D．23
【答案】B
【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明MO=BM，∠NO=CN，再根据等角对等边证明MO=BM，NO=CN，求出AB+AC=33，即可得出答案．
【详解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴MO=BM，NO=CN，
∴MN=MO+ON=BM+CN，
∴AM+MN+AN=AM+BM+AN+NC=AB+AC=33，
∵AB=15，
∴AC=33−15=18，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是根据已知条件证明MN=MO+ON=BM+CN，求出AB+AC=33．
13．（2021秋·河南新乡·八年级校考期中）如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE=7，AD=5，则AB=（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，等量代换得到∠ABE＝∠DEB，求得BD＝DE＝7，即可得到结论．
【详解】解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴BD＝DE＝7，
∵AB＝AD＋BD，
∴AB＝5＋7＝12．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
14．（2022·安徽·统考二模）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线BD，CD交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．若BE=2，CF=3，BC=9，则AE的长为（ ）
A．2.5B．4.5C．3.75D．6.75
【答案】A
【分析】由角平分线的性质得到∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，由两直线平行内错角相等得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，进而证明BE=ED，CF=DF，解得EF的长，再根据平行线判定△AEF∼△ABC，最后根据相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB
∵EF∥BC
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB
∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC
∴BE=ED，CF=DF
∵BE=2，CF=3
∴EF=DE+DF=BE+FC=2+3=5
∵EF∥BC
∴△AEF∼△ABC
∴AEAB=EFBC=59
∴AEAE+BE=59
∴4AE=10
∴AE=2.5
故选：A．
【点睛】本题考查等角对等边、平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E，F为AB上一点，连接DF、EF．已知DC=5，CE=12，则△DEF的面积（ ）
A．30B．32.5C．60D．78
【答案】B
【分析】在Rt△DCE中，依据勾股定理求出DE=13，由“BD是△ABC的角平分线，DE∥AB”，依据角平分线的定义、平行线的性质、等量代换及等角对等边，可得BE=DE=13，由等底等高的三角形面积相等可知，△DEF和△DEB的面积相等，即可求解．
【详解】解：∵在Rt△DCE中，∠C=90∘，DC=5，CE=12，
∴DE=DC2+CE2=13，
∵BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，
∴∠EBD=∠FBD，∠FBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE=13，
∵DE∥AB，
∴△DEF和△DEB的面积相等，
∴S△DEF=S△BED=12BE×CD=12×13×5=32.5，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识的掌握情况，解题的关键是理解△DEF和△DEB的面积相等．
二、填空题
16．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，则FG的长为 __．

【答案】2
【分析】根据平行线的性质得到∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，由角平分线的定义得到∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，于是得到BE=EG，CD=DF，代入数据即可得到结论．
【详解】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，
∴∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，
∴∠EGB=∠EBG，∠DCF=∠DFC，
∴BE=EG，CD=DF，
∵BE=3，CD=4，ED=5，
∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG，即3+4=5+FG，
∴FG=2，
故答案为2．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．
17．（2023春·山西太原·八年级山西实验中学校考阶段练习）如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，则△FEC是______．
【答案】等腰三角形
【分析】根据角平分线的定义得出∠ACE=∠BCE，根据平行线的性质得出∠FEC=∠BCE，等量代换得出∠ACE=∠FEC，根据等角对等边得出FE=FC，即可求解．
【详解】解：∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠BCE，
∴∠ACE=∠FEC，
∴FE=FC，
∴△FEC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
18．（2023春·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，DE为△ABC的中位线，且BF平分∠ABC交DE于点F．若AB=6，BC=10，则EF=_____________．
【答案】2
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ED∥BC，ED=12BC，再根据角平分线的性质以及平行线的性质求出∠DBF=∠DFB，根据等角对等边的性质可得BD=FD，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=10，
∴ED∥BC，ED=12BC=5，
∴∠DFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠DBF=∠DFB，
∴BD=FD，
∵AB=6，ED是△ABC的中位线，
∴BD=12AB=3，
∴EF=DE−DF=DE−BD=5−3=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及等角对等边的性质，熟记性质以及定理，求出BD=FD是解题的关键．
19．（2023春·陕西西安·八年级西安市华山中学校考阶段练习）如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC，E点在AB边上，如果△BED周长为25cm，BD=8cm，则AB=___________cm．
【答案】17
【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠EDA=∠EAD，根据等角对等边得出ED=EA，根据△BED周长为25cm，BD=8cm，求出AB即可．
【详解】解：∵AD是角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴ED=EA，
∵C△BED=BD+ED+BE=25cm，
∴BD+AE+BE=25cm，
即BD+AB=25cm，
∵BD=8cm，
∴AB=25−8=17cm．
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是证明ED=EA．
20．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC=35，EF=5，DE=13，则△EBD的面积为________．
【答案】55
【分析】过E作EM⊥BC于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得EM，根据平行线和角平分线的性质易证∠DCE=∠DEC，根据等角对等边求得CD，从而求得BD，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过E作EM⊥BC于M，
∵BE平分∠ABC，EM⊥BC，EF⊥AB，EF=5，
∴EM=EF=5，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠DCE，
∵ED∥AC，
∴∠ACE=∠DEC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴CD=DE=13，
∵BC=35，
∴BD=BC−CD=35−13=22，
∴S△EBD=12BD·EM=12×22×5=55，
故答案为：55．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．
21．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D、交AC于F，若AB=4，AC=3，则△ADF周长为_____．
【答案】7
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得出BD=DE，EF=FC，进而解答即可．
【详解】解：∵DF∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，∠FEC=∠ECB，
∵BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠DBE=∠EBC，∠FCE=∠ECB，
∴∠DBE=∠DEB，∠FEC=∠FCE，
∴BD=DE，EF=FC，
∴C△ADF=AD+DF+AF
=AD+AF+DE+EF
=AD+AF+BD+FC
=AB+AC
=4+3
=7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，平行线的性质以及角平分线的定义，有效的进行线段的等量代换是解题的关键．
22．（2023春·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，交AC于点E，若BC=9，则AE的长为______.
【答案】32
【分析】先根据含30°直角三角形的性质，得出AC=12BC=92，再证明∠ECD=∠EDC=30°，得出CE=DE，得出AE=12DE=12CE，即可得出答案．
【详解】解：∵∠A=90°，∠B=30°，BC=9，
∴AC=12BC=92，∠ACB=90°−30°=60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=12×60°=30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=30°，∠EDC=∠BCD=30°，
∴∠ECD=∠EDC=30°，
∴CE=DE，
∵∠A=90°，∠EDC=30°，
∴AE=12DE=12CE，
∴AE=13AC=13×92=32．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是根据含30°直角三角形的性质和等腰三角形的判定，得出AE=12DE=12CE．
23．（2020秋·江苏南京·八年级南京第五初中校考阶段练习）如图，已知△ABC，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC＝3，AB＝4，BC＝5，则DE的长为________．
【答案】7
【分析】BE为∠ABC的角平分线，∠EBC=∠ABE，CD为∠ACB的角平分线，则∠ACD=∠DCB，因为BC∥DE，根据平行线的性质，内错角相等，可得出AD=AC，AB=AE，所以DE=AD+AE=AB+AC，从而可求出DE的长度．
【详解】解：∵BE为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的角平分线，
∴∠EBC=∠ABE，∠ACD=∠DCB；
∵DE∥BC，
∴∠DCB=∠CDE，∠EBC=∠BED；
∴∠ADC=∠ACD，∠ABE=∠AEB，
∴AD=AC，AB=AE；
∴DE=AD+AE=AB+AC=3+4=7；
故答案为：7．
【点睛】本题综合考查了勾股定理、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
24．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E．
（1）若AE＝4，则DE的长为______；
（2）若AB＝10，则DE的长为______．
【答案】 4 5
【分析】(1)根据平行线的性质和角平分线的定义可得DE=AE=4．
(2)由∠ADB=90°，可得 ∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90°．易证∠ADE=∠BAD, ∠BDE=∠ABD，可得EB=ED=AE,则可求出DE的长．
【详解】(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠CAD，
∴∠BAD=∠ADE，
∴DE=AE．
∵AE=4，
∴DE=4．
故答案为4．
(2)∵BD丄AD，
∴∠ADB=90º．
∴∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90º．
∵DE=AE，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠BDE=∠ABD，
∴EB=ED，
∴EB=ED=AE=12AB=12×10=5，
∴DE=5．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，以及等角对等边．熟练掌握以上性质是解题的关键．
25．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10cm，那么BC的长为 _____．
【答案】10cm
【分析】由角平分线的性质、平行线的性质可得OD=BD，OE=CE，从而BC的长等于△ODE的周长，问题即解决．
【详解】∵BO平分∠ABC
∴∠ABO=∠DBO
∵OD∥AB
∴∠DOB=∠ABO
∴∠DBO=∠DOB
∴OD=BD
同理OE=CE
∵OD+DE+OE=10cm
∴BC=BD+DE+CE=OD+DE+OE=10cm
故答案为：10cm
【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定，关键是利用角平分线的性质、平行线的性质得到两个等腰三角形．
三、解答题
26．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．求证：△ACD为等腰三角形．

【答案】证明见解析
【分析】利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用等腰三角形的性质得出AC=AD即可.
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．

∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴AB=AD．
∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴△ACD为等腰三角形；
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记等角对等边是解本题的关键．
27．（2023春·上海闵行·七年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，已知BD平分∠ABC，DE∥BC，点M是BD的中点．请说明EM⊥BD．

解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠CBD=______（角平分线的意义）．
因为DE∥BC（已知），
所以∠CBD=∠BDE（______）．
所以∠BDE=______（______）．
所以EB=ED（______）．
因为点M是BD的中点（已知），
所以EM⊥BD（______）．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线和平行线的性质可得∠BDE=∠ABD，再由等角对等边可得EB=ED，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论．
【详解】解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠CBD=∠ABD（角平分线的意义）．
因为DE∥BC（已知），
所以∠CBD=∠BDE（两直线平行，内错角相等）．
所以∠BDE=∠ABD（等量代换）．
所以EB=ED（同一个三角形中，等角对等边）．
因为点M是BD的中点（已知），
所以EM⊥BD（等腰三角形三线合一）．
【点睛】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
28．（2023春·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．

(1)若∠B=37°，求∠CAD的度数；
(2)若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．
【答案】(1)53°
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形底角相等，再根据直角三角形的性质即可求得∠CAD；
（2）根据两直线平行内错角相等，再根据AD是∠BAC的角平分线即可得到∠DAC=∠F，从而证得AE=FE．
【详解】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C=37°，∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°−∠C=53°；
（2）证明：∵EF∥AB，
∴∠BAF=∠F，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAF=∠DAC，
∴∠DAC=∠F，
∴AE=FE．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、平行线、直角三角形的相关知识．
29．（2023春·广东清远·八年级统考期中）请将下列证明过程补充完整．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC，求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（ ），
∠2=∠C（ ），
∵AD平分∠CAE，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∴∠B=∠C（ ），
∴AB=AC（ ）．
【答案】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；同一个三角形中，等角对等边
【分析】只需要利用平行线的性质和角平分线的定义证明∠B=∠C，即可证明AB=AC．
【详解】证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等），
∵AD平分∠CAE，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∴∠B=∠C（等量代换），
∴AB=AC（同一个三角形中，等角对等边）
故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；同一个三角形中，等角对等边．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证明∠B=∠C是解题的关键．
30．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知△ABC中，过点B作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，作DE∥AC交AB于E．求证：AE=BE．

【答案】证明见解析
【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质，推出∠BAD=∠EDA，进而得到AE=ED，根据垂线的定义，推出∠ABD=∠BDE，进而得到BE=ED，即可证明AE=BE．
【详解】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD，
∴∠BAD=∠EDA，
∴AE=ED，
∵AD⊥BD，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠EDA+∠BDE=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=ED，
∴AE=BE．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，垂线的定义，熟练掌等角对等边的性质是解题关键．
31．（2023春·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，与射线OA，OB分别交于点C，D，再分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点N，画射线ON，过点N作MN∥OB，交OA于点M．
(1)射线ON是∠AOB的 ；
(2)证明：OM=MN．
【答案】(1)平分线；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据尺规作图过程，即可得到答案；
（2）根据角平分线的定义得到∠AON=∠BON，再利用平行的性质，得到∠BON=∠MNO，最后根据等角对等边的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：由尺规作图过程可知，射线ON是∠AOB的平分线．
故答案为：平分线．
（2）证明：∵ON是∠AOB的平分线，
∴∠AON=∠BON，
∵MN//OB，
∴∠BON=∠MNO，
∴∠AON=∠MNO，
∴OM=MN．
【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形等角对等边的性质是解题关键．
32．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC．
(1)求证：DB=DE；
(2)若∠A=60°，∠C=50°，求∠BED的大小．
【答案】(1)见解析
(2)35°
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠DBE=∠EBC，根据平行线的性质得出∠DEB=∠EBC，证明∠DEB=∠DBE，即可得出DB=DE；
（2）∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−60°−50°=70°，根据角平分线的定义得出∠EBC=12∠ABC=35°，根据平行线的性质得出∠BED=∠EBC=35°即可．
【详解】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DB=DE．
（2）解：∵∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−60°−50°=70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠EBC=12∠ABC=35°，
∵DE∥BC，
∴∠BED=∠EBC=35°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
33．（2023秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如右图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
(1)求证：BE=DE；
(2)若∠A=75°，∠C=37°，求∠BDE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)34°．
【分析】（1）根据BD平分∠ABC，可得∠CBD=∠EBD，再由DE∥BC，可得∠CBD=∠EDB，从而得到∠EBD=∠EDB，即可求证；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC=68°，再由BD平分∠ABC，DE∥BC，即可求解．
【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠EBD=12∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE；
（2）解：在△ABC中，∠A=75°，∠C=37°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−75°−37°=68°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠EBD=12∠ABC=34°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠CBD=34°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形内角和定理是解题的关键．
34．（2022秋·重庆·八年级校考期中）尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在△ABC外，连接AF、AD、BD，且AF∥BC，∠ABD=∠CAF，BD=AC．
(1)用尺规完成以下基本作图：
作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，求证：AD=CE；请完善下面的证明过程．
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=__________．
∵AF∥BC．
∴∠CBE=__________．
∴∠ABE=∠AEB．
∴__________．
在△ACE和△BDA中，
AE=AB∠ABD=∠CAF__________
∴△ACE≌△BDA．
∴__________．
【答案】(1)见解析
(2)∠ABE；∠AEB；AB=AE；AC=BD；AD=CE
【分析】（1）根据基本作图作已知角平分线的作法作出BE，再连接CE即可；
（2）先由角平分线定义与平行线的性质证得∠ABE=∠AEB，从而得到AB=AE，然后利用SAS证△ACE≌△BDA，则全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解： 如图所示，
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE．
∵AF∥BC．
∴∠CBE=∠AEB．
∴∠ABE=∠AEB．
∴ AB=AE．
在△ACE和△BDA中，
AE=AB∠ABD=∠CAFAC=BD
∴△ACE≌△BDA．
∴ AD=CE．
【点睛】本是考查尺规基本作图--作已知角的平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，证得AB=AE是解题的关键．
35．（2021春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
(1)若∠C=36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：EF=EC．
【答案】(1)∠BAD=54°
(2)见解析
【分析】（1）利用等边对等角求出∠ABC=∠C=36°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题；
（2）证明∠FBE=∠FEB得到EF=BF，根据平行线的性质及等角对等边证得AF=AE即可解决问题．
【详解】（1）解：∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠C=36°，
∴∠ABC=∠C=36°．
∵D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-36°=54°；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC．
∵EF∥BC，
∴∠FEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠FEB，
∴EF=BF．
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ABC,∠AEF=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∴AB-AF=AC-AE，即BF=CE，
∴EF=EC．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角求角度，三线合一的性质，等角对等边证明边相等，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及判定是解题的关键．