人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质多媒体教学ppt课件

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1.借助单位圆、正弦函数的概念画正弦曲线.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤与方法,能利用“五点法”画出简单的正弦、余弦函数图象.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
基础落实·必备知识全过关
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目 录 索 引
知识点1 正弦函数的图象
1.正弦曲线正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫做正弦曲线.
2.正弦函数图象的画法(1)几何法:①在单位圆上,将点A绕着点O旋转x0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B的纵坐标y0=sin x0.由此,以x0为横坐标,y0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T(x0,sin x0).②将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度).
(2)“五点法”:在函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,以下五个点:(0,0), ,(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)正弦函数y=sin x的图象向左右和上下无限延伸.(　　)(2)正弦函数y=sin x在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同.(　　)(3)函数y=sin x与y=sin(-x)的图象完全相同.(　　)(4)直线y= 与函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象有两个交点.(　　)
2.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　)
解析 y=sin(-x)=-sin x,y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称,故选B.
知识点2 余弦函数的图象
1.余弦曲线余弦函数y=cs x,x∈R的图象叫做余弦曲线.
名师点睛正弦、余弦曲线的对称性
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=cs x与y=cs(-x)的图象完全相同.(　　)(2)函数y=cs x的图象关于(0,0)对称.(　　)2.函数y=cs x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为　 .
3.[北师大版教材例题]画出函数y=cs(x-π)在一个周期上的图象.
解 按五个关键点列表.
于是得到函数y=cs(x-π)在区间[π,3π]上的五个关键点为
描点,并用光滑曲线将它们顺次连接起来,就画出函数y=cs(x-π)在一个周期上的图象.也可以利用诱导公式y=cs(x-π)=-cs x,画出y=-cs x的图象.
探究点一　用“五点法”作三角函数的图象
【例1】 用“五点法”作出下列函数的简图:(1)y=sin x-1,x∈[0,2π];
(2)y=1- cs x,x∈[-2π,2π].
描点、连线,得到函数y=1- cs x在区间[0,2π]上的简图,再将该图象向左平移2π个单位长度即可得到函数在区间[-2π,2π]上的简图,如图.
规律方法　用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acs x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤(1)列表:
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到所求函数的简图.作图象时,函数自变量要用弧度制,x轴、y轴上尽量统一单位长度.
变式训练1 画出函数y=3+2cs x,x∈[0,2π]的简图.
描点、连线,如图所示.
探究点二　利用“图象变换法”作三角函数的图象
【例2】 利用图象变换法作出下列函数的简图:(1)y=1-cs x,x∈[0,2π];
解 作出函数y=cs x,x∈[0,2π]的简图,再将该图象关于x轴对称,得到函数y=-cs x,x∈[0,2π]的简图,最后将该图象向上平移1个单位长度,即得函数y=1-cs x,x∈[0,2π]的简图(如图①).
再将该图象在x轴上方的图象保持不动,下方的图象关于x轴对称,即得函数y=|sin x|,x∈[0,4π]的简图(如图②).
规律方法　图象变换的规律1.平移变换(1)函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的;(2)函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.
2.对称变换(1)函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的部分对称翻折到x轴上方得到;(2)函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其对称翻折到y轴左侧得到;(3)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;(4)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(5)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.
变式训练2 如何利用图象变换法作出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简图?
再将x∈[0,2π]上的图象作出关于y轴对称的图象,即得所求图象,如图.
探究点三　正弦(余弦)函数图象的综合应用
角度1.利用图象解三角不等式
规律方法　用三角函数的图象解sin x>a(或cs x>a)的方法(1)作出y=a,y=sin x(或y=cs x)的图象.(2)确定图象交点的横坐标.(3)确定sin x>a(或cs x>a)的解集.
变式训练3 求下列函数的定义域.
解 要使函数有意义,需满足2cs2x+sin x-1≥0,即2sin2x-sin x-1≤0,
角度2.利用图象求方程的解或函数零点的个数问题【例4】 方程lg x=sin x的解的个数为(　　)A.0B.1C.2D.3
解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=lg x与y=sin x,x>0的图象,
所以函数图象有三个交点,故方程有三个解.
规律方法　数形结合思想是一种重要的数学思想,在研究方程的根以及根的个数问题时,若方程中涉及的函数是基本初等函数,其图象容易作出,这时可以将方程的根转化为函数图象的交点,数形结合解决问题,使抽象的代数问题能够直观形象地解决.
本节要点归纳1.知识清单:(1)正弦函数、余弦函数的图象.(2)“五点法”作图.(3)函数图象的应用.2.方法归纳:化归、数形结合.3.常见误区:(1)五个关键点的选取;(2)利用平移得到余弦函数的图象.
解析 函数y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称,故选D.
2.函数y=cs(x+3π)的图象与余弦函数y=cs x的图象(　　)A.关于x轴对称B.关于原点对称C.关于原点和x轴对称D.关于原点和y轴对称
解析 因为y=cs(x+3π)=-cs x,所以其图象与余弦函数y=cs x的图象关于原点和x轴都对称.
3.函数y=cs x+|cs x|,x∈[0,2π]的大致图象为(　　)
4.函数y=x2-cs x的零点个数为　 . 
解析 在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2,y=cs x的图象,如图所示.由图可知两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cs x的零点个数为2.